1、一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数二、幂级数第四节第四节 幂级数幂级数第七章第七章 无穷级数无穷级数三、幂级数的运算与性质三、幂级数的运算与性质如果给定一个定义在区间I上的函数列一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 ),(,),(),(),(321xuxuxuxun则由该函数列构成的表达式 )()()()(321xuxuxuxun称为定义在区间I上的函数项无穷级数，简称函数函数项级数。项级数。（1）对于每一个确定的值 ，函数项级数（1）成为常数项级数Ix 0 )()()()(0030201xuxuxuxun这个级数（2）可能收敛也可能发散。如果（1）收敛，我们称点 是函数项
2、级数（1）的收敛点；如果（2）发散，我们称 是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的所有收敛点的全体称为它的收敛收敛域域，所有发散点的全体称为它的发散域发散域。0 x0 x（2）函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项均为幂次函数的函数项级数，即所谓的幂级数。形如二、幂级数二、幂级数00()nnnaxx2010200()()()nnaa xxaxxaxx的函数项级数我们将其称之为以 为中心的幂级数，其中常数 称作幂级数的第 项系数。0 xnan（3）我们先来讨论幂级数得收敛域，为了研究方便，不妨设幂级数中的 =0，即讨论形如0 x2012nnaa xa xa x0nnna x的幂级数，我
3、们又称之为 的幂级数。这不影响讨论的一般性，因为只需作代换 ，就可将式（3）化成式（4）。0txx 几何级数（4）0 x 是中心在 的幂级数。它的收敛域是以原点为中心的对称区间(-1,1)。201nnnxxxx 定理定理1（阿贝尔定理）（阿贝尔定理）(3)若幂级数 在 处发散，则对于满足不等式 的一切 ，幂级数 发散。0nnnxax0nnnxa2xx2xx(2)若幂级数 在 处收敛，则对于满足不等式 的一切 ，幂级数 绝对收敛。0nnna x1xx1xx0nnnxax(1)幂级数 在 处收敛。0 x 0nnnxa阿贝尔定理给出了幂级数收敛域的结构情况，即若点 是幂级数（4）的收敛点，则到坐标原
4、点距离比点 近的点都是幂级数（4）的收敛点；若点 是幂级数的发散点，则到坐标原点距离比点 远的点都是幂级数的发散点。0 x0 x0 x0 x数轴上的点不是幂级数（4）的收敛点就是发散点，假设幂级数（4）不仅仅在 处收敛，也不是在整个数轴上收敛，设想从原点出发沿数轴向右行进，先遇到的必然都是收敛点，一旦遇到了一个发散点，那么以后遇到的都是发散点。自原点向左也有类似情况。因此，它在原点的左右两侧各有一个临界点，由定理定理1可知它们到原点的距离是一样的，记这个距离为R。有如下推论：0 x 推论：如果幂级数 不是仅在 一点收敛也不是在整个数轴上收敛，则必存在惟一的正数 ，使得0nnnxa0 xR(1)
5、当 时，幂级数绝对收敛；(2)当 时，幂级数发散；(3)当 时，幂级数可能发散也可能收敛。Rx Rx Rx我们把满足推论的实数 称为幂级数 的收敛半径。开区间 称为幂级数 的收敛区间。根据幂级数在端点 处的收敛性，就可以确定其收敛域有四种情形：或 。R0nnnxaRR，0nnnxaxR RRRRRR，、，、，,R R特殊地，如果幂级数 只在 处收敛，此时收敛域内仅有一点 其收敛半径 ；如果幂级数 对一切 均收敛，则规定其收敛半径 ，此时的收敛域为 。0nnnxa0 x0 x0R0nnnxaxR,定理定理2 设 为幂级数，且 ，为其收敛半径。(1)若 ，则 。(2)若 ，则 。(3)若 ，则 。
6、0nnnxa1limnnnaaR0 1R0R 0R 例例1 幂级数 的收敛半径、收敛区间和收敛域。11limlim111nnnnanan解：解：1(1)nnnxn1(1)nnnxn故收敛半径为 ，收敛区间为(-1,1)。当 时，级数 为莱布尼兹级数，是收敛的。当 时，级数 为调和级数，发散。11R1x 1(1)nnnxn1(1)nnn1x 11nn1,1所以原级数的收敛域为 。例例2 求幂级数 的收敛半径和收敛域。0!nnnx解：解：记 ，则有1!nan11(1)!limlim01!nnnnanan故收敛半径为 ，收敛域为 。R ),(例例3 求幂级数 的收敛半径和收敛域。0!nnxn解解记
7、，则有!nan1(1)!limlim!nnnnanan 故收敛半径为 ，收敛域为0。10R例例4 求幂级数 的收敛半径和收敛区间。20(2)nnxn解解 记 ，则有21nan212limlim1(1)nnnnanan故收敛半径为 ，收敛区间为 ，即 。11R121x 13x三、幂级数的运算与性质三、幂级数的运算与性质1幂级数的运算幂级数的运算设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 。记 ，则在 内有0nnnxa0nnnxb1R2R12min,RR R,R R(1)(2)000()nnnnnnnnnna xb xab x000()()nnnnnnnnna xb xc x其中 。0nkn kkca b
8、值得注意的是，两个幂级数相加减或相乘的幂级数，其收敛半径12min,RR R2 和函数的性质和函数的性质0nnnxa()S x,xR R 则幂级数的和函数有如下性质设幂级数 的收敛半径为 ，和函数为 ，即R0nnnxa()S x()S x(1)（连续性）（连续性）在 内连续，且当 在 （或 ）处收敛时，在 处左连续（或在 处右连续）。,R R0nnnxaxRxR()S xxRxR,R R(3)（逐项积分）（逐项积分）在 内任何子区间上可积，并可逐项积分，即()S x(2)（逐项微分）（逐项微分）在 内可导，并可逐项求导，即()S x,R R1000()()()()nnnnnnnnnS xa x
9、a xna xRxR且逐项求导后得到的幂级数 与原幂级数的收敛半径相同。10nnnna x1000000()()()1xxxnnnnnnnnnaS x dxa xdxa x dxxRxRn且逐项积分后得到的幂级数 与原幂级数的收敛半径相同。101nnnaxn0(1)nnnx解：解：所给幂级数的系数 1nan11limlim1nnnnanan故收敛半径为 ，收敛区间为(-1,1)。11R由于几何级数2,11nxxxxxx1x 0(1)nnnx10()nnx10()nnx2111xxx所以例例5 求幂级数 的收敛区间与和函数。0(1)nnnx211x且 ，所以由逐项微分的性质，当 时，1(1)()nnnxx1x 解：解：所给幂级数的系数(1)1nnan例例6 求幂级数 的收敛区间与和函数。10(1)1nnnxn11limlim12nnnnanan故收敛半径为 ，收敛区间为(-1,1)。11R设 =10(1)nnnxn()S x2311(1),11nnxxxxxx 由逐项微分公式，当 时有，1x()S x10(1)1nnnxn10(1)1nnnxn0(1)nnnx2311(1)1nnxxxxx 1x()ln(1)S xx234ln(1),11234xxxxxx 001()(0)()1xxS xSS x dxdxx(0)0S又 ，所以即 对上式两端从0到 x积分，得
