1、一、泰勒级数一、泰勒级数二、函数用直接法展开成幂级数二、函数用直接法展开成幂级数第五节第五节 函数展开为幂级数函数展开为幂级数第七章第七章 无穷级数无穷级数三、函数用间接法展开成幂级数三、函数用间接法展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数在上节中，我们研究了求幂级数在收敛区间内的和函数的问题。但在一些实际问题中，往往需要研究它的反问题。即将一个已知函数 在某一区间内用一个幂级数表示。就是说，能否找到这样一个幂级数，它在某一区间内收敛，且和函数恰好是给定的函数？若能找到这样的幂级数，就称函数 在该区间内能展开成幂级数，称该幂级数为函数 的幂级数展开式。()f x()f x()f x若函数 在点 的
2、某一邻域内具有 阶的导数，则在该邻域内 的 阶泰勒公式)(xf)1(n)(xfn)()()(000 xxxfxfxf)()(!)()(!2)(00)(200 xRxxnxfxxxfnnn ()()nnP xR x)(xRn10)1()()!1()(nnxxnf成立，其中 为拉格朗日余项：)(xRn这里是介于 与 之间的某一点。0 xx0 x()000()()()!knknkfxpxxxk)(xf来近似表示，并且其误差为 。如果 随着 的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式 的次数来提高用 来逼近 的精度。)(xRn)(xRn)(xpn)(xpn 可以用 次多项式n)(xf例例1设 ，求 在点
3、 处的1次、2次、4次、6次、8次泰勒多项式。()cosf xx()f x0 x 解：解：(0)cos01f()sin,(0)0fxxf 因此 在 处的2次泰勒多项式为cosx0 x 1cos1()xp x 再有 ，()cos,(0)1fxxf 所以 在 处的1次泰勒多项式为cosx0 x 221cos1()2xxpx 相应地 在 处的4次、6次、8次泰勒多项式为cosx0 x 244cos1()2!4!xxxpx 2466cos1()2!4!6!xxxxp x 24688cos1()2!4!6!8!xxxxxp x 由上述的讨论可以看到 每一个都比前一个在 附近能更好地逼近 ，且每个更高次泰
4、勒多项式都包含了之前的所有的低次泰勒多项式，为此引进泰勒级数。2468(),(),(),()pxpxp xp xcosx0 x()()(1,2,)kfxk()000()()!nnnfxxxn nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)()()(00)(200000如果 在点 的某邻域内具有任意阶导数 ，并记 ，构造幂级数(0)()()fxf x)(xf0 x称此级数为函数 在 点的泰勒级数。若上式在 的某个邻域内的和函数恰好为 ，则称 在 处可展成泰勒级数（也称为关于 的幂级数）。)(xf0 x)(xf0 x)(xf0()xx0 x()000()()()()!knknkfxf xx
5、xR xk定理定理1 设函数 在点 的某一邻域 内有任意阶导数，且 在点 的泰勒级数公式为)(xf0 x)(0 xU)(xf0 xlim()0nnR x)(xf则 在点 的某个邻域 内可以展开泰勒级数的充分必要条件是对于任意的 ，有)(0 xU0()xU x0 x()0()(0,1,2,)!kkfxbkk（2）由泰勒级数可以知道在点 的某一邻域 内有任意阶导数的函数 都可以从形式上构造出其泰勒级数，当且仅当 时，其泰勒级数是收敛的，且其和函数为 。)(0 xU)(xflim()0nnRx0 x)(xf注意：注意：（1）在 点的幂级数展开式是惟一的，如果设 又可以展成 ，则必有00()kkkb
6、xx0 x)(xf（3）由定理还可以看出，当 在 可以展成幂级数时，其有限项 在 点的邻域较好地接近于 ，但是在其他点近似程度可能不好。)(xf)(xf0 x0 x()000()()!knkkfxxxk（4）当 时，的泰勒级数 称为 的麦克劳林（Maclaurin）级数（也称 的幂级数）。这是我们常用的一种泰勒级数形式。)(xf)(xf00 x()0(0)!nnnfxnx所谓直接法展开是指先求出 ,在判定余项在什么区间上趋于零，从而得到 的泰勒展开的一种方法。对函数作泰勒展开除了要写出泰勒级数的表达式外，而且要写出其收敛区间。具体步骤如下：()0()(0,1,2,3)kfxk)(xf第一步第一
7、步 求出 的各阶导数)(xf ),(,),(),(),()(xfxfxfxfn()0000(),(),(),(),nf xfxfxfx第二步第二步 计算二、函数用直接法展开成幂级数二、函数用直接法展开成幂级数第三步第三步 写出 在 处的泰勒级数0 x()2000000()()()()()()()2!nnxfxfxf xfxxxxxxxn第四步第四步 求出上述泰勒级数的收敛区间 。,R R第五步第五步 考察当 在区间 内时余项 的极限xRR,)(xRn1)1()!1()(limnnnxnf)(limxRnn（在 0与 之间）x是否为零。如果为零，则有否则即使 收敛，其和函数也不一定为 。)(xf
8、()000()()!nnnfxxxn()f x()000()()!nnnfxxxn)(xf解：解：由于 xnxxxeeee )()()()(因此()(0)(0)(0)(0)1nffff故 的麦克劳林级数为xe()xf xe例例2 将 展开为麦克劳林级数nnnnnxxnxne00)(!1!)0()(其收敛区间为 ,任取 ，则对于任何介于0与 之间的 ，有(,)xx()nR x1(1)!nxen1(1)!nxxen)(x对于给定的 ，可知 有界，而 可以看作是收敛级数 的一般项 ，可知有 ，于是得xxe1(1)!nxn1(1)!nn nxn1(1)!nnxunlim()0nnRx0!nnxnxe(
9、,)x 用直接法展开，先要求高阶导数，还要证明 ，这都比较复杂和困难，于是出现了间接法。由于函数的幂级数展开式是惟一的，有时可以利用一些已知的函数展开式及收敛区间，经过适当的代换及运算，如四则运算、逐项求导、逐项积分四则运算、逐项求导、逐项积分等，求出所给函数的幂级数展开式。这种方法称为间接展开法。间接展开法需要掌握一些常用的函数展开式及收敛半径。0)(limxRnn三、函数用间接法展开成幂级数三、函数用间接法展开成幂级数（1）（2（3）（4）（5）)1,1(110 xxxnn0!nnxnxe(,)x ),()!12()1(sin012xnxxnnn20(1)cos()(2)!nnnxxxn
10、10(1)1nnnxnln(1)x1,1x 以上展开式中的前二个已讲过，其中 可由直接法得到，可用间接展开法求得。sin xcosln(1)xx、常用的展开式：常用的展开式：例例3 求 的麦克劳林展开式。xcos解：解：对 的麦克劳林展开式逐项求导，我们有xsin2102100(1)cos(sin)()(21)!(1)(1)(21)(21)!(21)!nnnnnnnnxxxnnxnn例例4 设 ，)0(1)(aaxxf解：解：（1）0101)(11111nnnnnxaaxaaxaax11axaxa)(ab（1）将 在 处展开为幂级数；（2）将 展开为 的幂级数 。0 xbx()f x()f x01)(11nnnaxaxaax所以 。收敛区间为：，即 。（2）0)()1(1111)(11nnnabbxabaxbxababbxaxaxabbaabxabaabbxaxnnn2,2,)()1(10时若时若因此11abbx收敛区间为：，例例5 将函数 展开为 的幂级数。3412 xx)1(x解：解：由于 21111111143(1)(3)2(1)2(3)4(1)8(1)24xxxxxxxx而)31(2)1()1(41)211(410 xxxnnnn)31(4)1()1(41)411(810 xxxnnnn所以)31()1()2121(34103212xxxxnnnn
