1、一、函数的极值一、函数的极值二、最值问题二、最值问题第五节第五节 函数的极值和最值函数的极值和最值第四章第四章 微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的应用应用一、函数的极值一、函数的极值定义定义1 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任意一点 ()恒有 或 ，则称点 为 的极大值点（或极小值点），而 为函数 的极大值（或极小值）。)(xf0 xx0 xx)()(0 xfxf)()(0 xfxf0 x)(xf)(0 xf)(xf极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。统称为极值点。显然，极值是局部性概念，它只是在局部范围
2、内（即在该点的邻域内）达到最大或最小，未必是区间上的最大（或最小）值。从图象中还可看到，函数取得极值处，曲线的切线是水平的，但曲线上有水平切线处却未必取得极值。0)(0 xf注意：是 为极值点的必要条件而非充分条件。0 x)(xf我们称使 的点为函数 的驻点。即对可导函数而言，极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点。0)(0 xf定理定理1 （必要条件）（必要条件）设函数 在点 处可导，且在 处取得极值，则 。0 x0 x0)(0 xf)(xf另外，函数在不可导的点处也可能取得极值，例如 在 处不可导，但函数在该点取极小值。xy 0 x定义定义2 如果函数 在定义域的某一点处满足 或该点处一阶导
3、数不存在，则我们称该点为函数 的临界点。()f x()0fx()f x由此，我们可以得到如下结论：函数的极值点必定是函数的临界点；但临界点却不一定是函数的极值点。)(0 xf（2）当 时，而当 时，则函数 在点 处取得极小值 ；0 x()0fx 0 xx)(xf()0fx 0 xx（3）当 ，或 时 不变号，则 在 点 处无极值。)(xf0 xx 0 x0 xx)(xf)(0 xf（1）当 时，而当 时，则函数 在点 处取得极大值 ；()0fx 0 xx()0fx 0 x0 xx)(xf定理定理2（一阶充分性条件）（一阶充分性条件）设函数 在点 的某去心邻域内连续并可导，)(xf0 x（1）如
4、果 在 处从负变到正，则 为 的极小值点，为 的极小值。0 x)(0 xf)(xf()fx0 x)(xf（2）如果 在 处从正变到负，则 为 的极大值点，为 的极大值。0 x)(xf()fx0 x)(xf)(0 xf当 为函数 的临界点时，有0 x)(xf（3）如果 在 处两边正负号相同，则 在 处没有极值。()fx0 x)(xf0 x例例1 求函数 的单调增减区间和极值。3223)(xxxf解：解：函数的定义域为 ，其一阶导数为),(333111)(xxxxf令 ，得 ，不存在的点 ，临界点为：，。0)(xf1x)(xf0 x0 x1x其把定义域划分成若干个区间，其结果列表定理定理3 （二阶
5、充分性条件）（二阶充分性条件）设函数 在点 处 ，则0)(xf0)(xf)(xf0 x（1）当 时，函数 在点 处取得极大值 ；0)(xf)(0 xf)(xf0 x（2）当 时，函数 在点 处取得极小值 。0 x)(xf0)(xf)(0 xf例例2 求 的极值。3159)(23xxxxf解：解：由于)5)(1(3)53(315183)(22xxxxxxxf0)(xf令 得驻点为 ，而1x5x)3(6186)(xxxf得012)1(f012)5(f故 是极大值，是极小值。10)1(f22)5(f例例3 求函数 的极值。1)1()(32 xxf由于解：解：2222)1(62)1(3)(xxxxxf
6、令 ,得驻点为 ，而0)(xf01x12x13x)15)(1(6)(22xxxf06)0(f得所以 在 处取得极小值。0 x0)1()1(ff)(xf)(xf当 时，当 时，由定理2得出 在 处无极值。同理，在 处也无极值。1x0)(xf1x0)(xf1x)(xf1x此外，由于，综上所述，我们可以把求函数极值的步骤归纳如下：（1）由导数 求出 在定义域内的临界点；（2）通过应用极值存在的一阶充分条件或二阶充分条件，确定上述点是否为极值点。若是的话，确定是极大还是极小值点；(3)求出各极值点处的函数值，从而求得 的全部极值。)(xf)(xf)(xf二、最值问题二、最值问题 在工农业生产，工程技术
7、及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，如何使“投入最少，产出最多，成本最低，收益最高，利润最大”等等。这些问题反映在数学上就是求某一函数（目标函数）的最大值或最小值问题（这里简称为求最值问题）。最值是个全局性的概念，它有别于极值，最值是函数在所考虑的区间上全部函数值中的最大值或最小值。而极值是函数某点邻域内的最值。一般说来，闭区间 上的连续函数的最值，可以由以下两个方面取得：它们可以在闭区间内部取得，此时这个最大值或最小值同时是极大值或极小值，也就是 在 内的驻点或不可导点；另外它们有可能在区间的端点处取得。)(xf,ba),(ba由此，我们把求函数 在闭区间 上的最值的方法归纳
8、如下：(1)求出 在闭区间 上的所有驻点和导数不存在的点；)(xf)(xf,ba,ba(3)对上述函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。(2)求出上述诸点及端点的函数值；(2)如果连续函数在区间 内有且仅有一个极大值，则此极大值就是 在 上的最大值。同样，如 在 内有且仅有一个极小值，则该极小值就是 在 上的最小值。)(xf,ba)(xf,ba),(ba)(xf),(ba特殊地，(1)如果函数 在 上单调增加（或单调减少）则 是 在 上的最小值（或最大值），是 在 上的最大值（或最小值）。,ba)(af)(xf)(bf,ba)(xf,ba)(xf)(xf)(xf0 x)(0 xf(3)实际问题的应用中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数 确有最大值或最小值，而且一定在区间内部取得，这时如果 在定义区间内部只有惟一驻点 ，则立即可断定 就是最大或最小值。解：解：)1)(1(444)(3xxxxxxf令 ，解得 ，0)(xf1x0 x1x2,22)1(f11)2(f比较三个函数值，得出 在 上的最大值为 ，最小值为 。)(xf例例4 求函数 在 上的最大值与最小值。32)(24xxxf2,2计算出 ，。3)0(f11)2(f2)1(f
