1、一一 、高斯公式、高斯公式第六节第六节 高斯高斯公式与公式与散度散度第十二章第十二章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分二二 、通量与散度、通量与散度定理定理 设空间闭区域 由光滑或分片光滑的闭曲面 所围成，函数 、在 上具有一阶连续偏导数，则有一一 、高斯公式、高斯公式 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而高斯(Gauss)公式则表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。这个关系可陈述如下：,P x y z,Q x y z,R x y zdvzRyQxP)(PdydzQdzdxRdxdy（1）或 ()PQRdvxyzdSRQP)c
2、oscoscos(这里 是 的整个边界曲面的外侧，、是在点 处的（外）法向量的方向余弦，公式（1）或（1）称为高斯公式高斯公式。coscoscos,x y z（1）在定理的条件下，当 时，（1）式左端为 的体积。因此也可用曲面积分求体积。1PQRxyz例如，令 ，则可得闭区域 的体积为3xP 3yQ 3zR zdxdyydzdxxdydzV31例例1 利用高斯公式计算曲面积分 ，其中 为由柱面 及 ，所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧（如图）。xdydzzydxdyyx)()(221xy0z 3z 解解满足高斯定理条件，故因为,0,Pyz x QRxyzyxP0yQ0zR)(,1CRQP
3、xdydzzydxdyyx)()(yz dxdydz(sin)zd d dz 213000sinddz dz 92 因曲面 不封闭，故不能直接利用高斯公式。若补上 取下侧。则与构成一封闭曲面，记它们所构成的空间区域为221:02,zxy22,2,02,x y z xyzz 例例2 利用高斯公式计算曲面积分 其中 为抛物面 位于 内的部分的上侧（如图）。22yx dydzxy dzdx222zxy0z 2,xz dxdy解解 且 ，故有3dv203(2)z dz 203zDdzdxdy 6 12222222200222300coscosxyDyx dydzxy dzdxxz dxdyx dxdy
4、dddd dxdyzxdzdxyxdydzxy)()()(2221)(,1CRQP又所以22265yx dydzzx dzdxxz dxdy 计算曲面积分时可将 曲面的方程直接代入被积函数以简化运算。例例3 计算曲面积分 ，其中 为球面 的外侧。212222xdydzz dxdyxyz2222xyzR由于 在 所围成的区域 的原点处无定义且一阶偏导不连续，所以本题不能直接用高斯公式计算。由于被积函数定义在球面上，所以可将球面方程直接代入被积函数,得PQR、22122221xdydzz dxdyxdydzz dxdyRxyz解解 此时的 ，利用高斯公式得)(,1CRQP21112xdydzz d
5、xdyz dvRR因为 关于 面对称，函数 为z的奇函数，所以xoy2z20zdv原式1(12)z dvR3211 4433dvRRRR二二 、通量与散度、通量与散度 下面来解释高斯公式的物理意义。PQRdvxyzRdxdyQdzdxPdydz设稳定流动的不可压缩的流体（假定密度 ）的速度场由1,vP x y z iQ x y z jR x y z k给出，其中 、具有一阶连续偏导数,是速度场中一片有向曲面，又PQRcos,cos,cosn是 在点 处的单位法向量，则单位时间内流体经过 流向指定侧的流体总质量 可表示为,x y zcoscoscosnPdydzQdzdxRdxdyPQRdsv
6、ndsv ds n其中 表示流体的速度向量 在有向曲面 的法向量 上的投影。如果 是闭区域 的边界曲面的外侧，那么高斯公式的右端可解释为单位时间内流出闭区域 的流体的总质量。coscoscosnvv nPQRvn假定流体是稳定流动且不可压缩的，因此流体离开 的同时,内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充，所以高斯左端可解释为分布在 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。PQRdvxyzdSvnV1PQRdvVxyzdSvVn1以闭区域 的体积 除上式两端，得为简便起见，高斯公式（1）可改写为上式右端表示 内的源头在单位时间单位体积内所产生流体质量的平均值，由积分中值定理得
7、 (,)|PQRxyz dSvVn1这里 是 内的某个点，令 缩向点 取上式的极限，得,M x y zPQRxyzdSvVnM1lim上式左端为 在M点的散度，记作 即v,divvPQRdivvxyz散度 是一个数量，是表示点M处发射式吸入向量线的能力。当 ，则表明点M为正源(单位时间内产生流体的质量);当 则表明点M为负源；当 时，则表示点 M不是源。若在向量场 中，恒有 则称该场为无源场。divv M0divv M0divv M0divv M v M0,divv M,A x y zP x y z iQ x y z jR x y z k A 一般地，设向量场 由 给出，其中P、Q、R具有一阶
8、连续偏导，是场内的有向曲面，是 在点 处的单位法向量，则 叫做向量场 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量）。而 叫做向量场 的散度，记作n,x y zA nds A PQRxyz,div A A PQRdiv Axyz 即于是，高斯公式可写为dSAdvAdivn其中 是空间闭区域 的边界曲面，而coscoscosnAA nPQR 是向量 在曲面 的外侧法向量上的投影。A 1;2;3.div cAcdiv Adiv ABdiv Adiv Bdiv uAgraduAudiv A 下面给出散度的运算规则：例例4 设在坐标原点有点电荷q，它所产生的静电场的电场强度为 在场中任一点 处，其中 是P点到原点O的距离，表示向量 的单位向量，即 求电场强度在点P的强度。,E,P x y z2,rqEer222zyxrreOPr,rrexiy jzkrE已知 23,rqqEexiy jzkrr因为 3()qxx rrxrqxrq)3(433()qyy rryrqyrq)3(433()qzz rrzrqzrq)3(43解解所以，电场强度 在点P的散度为E 333qqqdivE Pxyzx ryrzr2223533qqxyzrr235330qqrrr可见，此静电场中任意一点的散度为0。
