1、一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学一、一个方程的情形一、一个方程的情形 与一元函数的隐函数类似，多元函数的隐函数也是由方程确定的函数。在什么条件下方程 能确定一个单值连续，且有连续偏导数的函数？(,)0F x y z(,)zf x y(3)；000(,)0zF xyz(,)F x y z定理定理（隐函数存在定理）设函数 满足：000(,)0F xyz(1)；000(,)xyz(,)F x y z(2)在点 的某邻域内，函数 有连续的偏导数；则方程 在 的某一邻域内能惟一确定
2、一个单值连续且有连续偏导数的函数 ，它满足方程 及条件 ，其偏导数为(,)0F x y z 00(,)xy(,)zf x y(,)0F x y z 000(,)zf xy,yxzzFFzzxFyF 由于 ，利用复合函数的求导法则，在方程两边分别对 和 求偏导，故得(,(,)0F x y f x yxy0,0 xzyzzzFFFFxy此处我们不对定理作证明，仅对求偏导的公式作如下推导。从而,yxzzFFzzxFyF 特别地，对由方程 确定的隐函数也有类似地结论，其求导公式为(,)0F x y xyFdydxF 例例1 设 ，求 。解法一解法一(公式法公式法)令 ，则2222340 xyz,zzx
3、y222(,)234F x y zxyz2,4,6xyzFx Fy Fz由求偏导公式得2,33zxzyxzyz 解法二解法二(全微分法全微分法)两边求全微分，根据一阶全微分形式的不变性，有2460 xdxydyzdz所以233xydzdxdyzz 2,33zxzyxzyz 从而例例2 设 ，求 。30zezxy22zx解解 (直接法)在方程两边对 求偏导x30zzzeyxx又由于 232()()1zzzyxxxxe32321()(1).(1)zzzzzyeexzyexe 将 的表达式代入上式,得 。zx33262231(1)(1)zzzzzyyezyeexee31zzyxe得 。上面例子中出现
4、的隐函数求偏导的常用方法有公式法、全微分法及直接法。二、方程组的情形二、方程组的情形如果我们不仅增加方程中变量的个数，而且还增加方程的个数，那么隐函数存在定理还可以作另一方面的推广。例如，考虑方程组(,)0(,)0F x y u vG x y u v(1)方程组中出现四个变量，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(1)有可能两个二元的隐函数，把前面的隐函数存在定理作相应的推广，有(1)；(2)在点 的某一邻域内，函数 ,有连续的偏导数；(3)偏导数可组成的函数行列式(或称雅可比行列式)00000000(,)0,(,)0F xy u vG xy u v0000(,)xy u v(,)F x y
5、 u v(,)G x y u v(,)(,)FFF GuvJGGu vuv定理定理（隐函数存在定理）如果方程组中(1)的函数 和 满足：(,)F x y u v(,)G x y u v且该行列式在点 不等于零，那么方程组(1)在 的一个邻域中确定了两个单值连续且有连续偏导数的二元函数0000(,)xy u v00(,)xy(,),(,)uu x yvv x y它们满足条件 ，并有000000(,),(,)uu xyvv xy1(,)(,)xvxvuvuvFFGGuF GFFxJx vGG 1(,)(,)uxuxuvuvFFGGvF GFFxJu xGG 1(,)(,)yvyvuvuvFFGGu
6、F GFFyJy vGG 1(,)(,)uyuyuvuvFFGGvF GFFyJu yGG 由于 ,(,),(,)0F x y u x y v x y,(,),(,)0G x y u x y v x yx将上式两边对 求导，得0,0.xuvxuvuvFFFxxuvGGGxx这是关于 的线性方程组，由假设可知在点 的一个邻域内，系数行列式 。,uvxx0000(,)xy u v0uvuvFFGG从而可解出 1(,)1(,),(,)(,)uF GvF GxJx vxJu x 1(,)1(,),(,)(,)uF GvF GyJy vyJu y 同理，可得例例3 求由方程组确定的函数的偏导数 。2122222vuzyxvuzyx,xxu v1222uvxxuvuvxxx ,uxvvuxxvuxvu可以直接用求偏导公式，也可按推导过程求解。下面用后一种方法。解解x将所给方程两边对 求导，并移项，得 在 的条件下，解得112()022Jvuuv
