1、一、傅立叶级数展开式中的系数一、傅立叶级数展开式中的系数二、傅立叶级数的收敛性二、傅立叶级数的收敛性第六节第六节 傅立叶级数傅立叶级数第七章第七章 无穷级数无穷级数三、周期延拓三、周期延拓四、傅立叶余弦级数和正弦级数四、傅立叶余弦级数和正弦级数在研究细长绝热杆的传导问题时，法国数学家傅立叶需要把一个函数 表示为三角级数。一般说来，如果 定义在区间 上，我们需要知道系数 和 ，使得()f x()f x0,na a(1)nbn 01()(cossin)2kkkakkf xaxbxlllxl 注意区间 关于原点对称。等式(1)称为 在区间 上的傅立叶（傅立叶（Fourier）级数）级数。这类级数在传
2、导、波动现象、化学制品和污染物的浓度，以及物理世界的其他模型研究中有广泛的科学和工程应用的领域。在这一节中，我们引入一个给定函数的这些重要的三角级数表示。lxl f,l l(1)一、傅立叶级数展开式中的系数一、傅立叶级数展开式中的系数设 是定义在对称区间 上的函数。假定 可以表示成由等式(1)给定的三角级数。我们要寻找计算系数 和 的一个方法。计算的关键三角函数系在区间 上具有正交性，即其中任何两个不同函数的乘积在区间 上的积分等于零：lxl 0,na a(1)nbn ll,ll,()f x()f xllxdxln0cos1llxdxln0sin1llxdxlnxlk0cossinllxdxl
3、nxlk0sinsinllxdxlnxlk0coscos(1,2,.)n(1,2,.)n(,1,2,.;)k nkn(,1,2,.)k n(,1,2,.;)k nkn(1)(2)(5)(3)(4)1.三角函数的正交性三角函数的正交性上述三角函数系中，任一函数的自乘积在区间 的积分不等于零：llldx212lllxdxln2coslllxdxln2sinll,(1,2,.)n(1,2,.)n(8)(6)(7)(1)计算 .将等式(2)的两端逐项积分，然后利用三角函数系的正交性，可得：0a01()1cos2lllnllnlan xf xdxdxadxl1sinlnlnn xbdxl 00|22ll
4、llaa xdx解出 ，得 0a01()llaf x dxl2.傅立叶级数的计算傅立叶级数的计算01()(cossin)2kkkaf xakxbkx设函数 能展开成三角级数()f x(2)(3)01()coscos2coscossincosllllllkkllknannf xxdxxdxllknknaxxdxbxxdxlllla lna解出(2)计算 .我们用 乘等式(2)两端，再在区间 上积分，并利用三角函数系的正交性，可得：xlncosll,naxdxlnxflallncos)(1(4)01()sinsin2cossinsinsinllllllkkllknannf xxdxxdxllknk
5、naxxdxbxxdxllllb l解出(3)计算 .我们用 乘等式(2)两端，再在区间 上积分，并利用三角函数系的正交性，可得：sinnxlll,nb1()sinlnlnbf xxdxllnb(5)等式(3),等式(4)和等式(5)称为欧拉欧拉傅立叶公式傅立叶公式。系数 和 分别由等式(3),等式(4)和等式(5)确定的三角级数(1)称为函数 在区间 上的傅立叶展开式，其中 和 为 的傅立叶系数。nb0,na alxl 0naa、nbf例例1 求函数1 0()0 xf xxx的傅立叶级数展开式。解：解：本题 ，傅立叶系数计算如下：l000111()12af x dxdxxdx 0000002
6、221()cos11coscos111sin|sinsin11cos|(cos1)(1)1nnaf xnxdxnxdxxnxdxxnxnxnxnnnnxnnnn001()sin11sinsin(1)(1)1nnbf xnxdxnxdxxnxdxn2111(1)1(1)(1)1()cossin24nnnnf xnxnxnnf(x)的傅立叶级数在区间 上表达式为,当项数 取1，5和20时傅立叶级数逼近的图象如图。注意随着 的增加，在所有连续点逼近如何越来越接近函数的图象。在 的不连续点 ，傅立叶级数逼近趋向0.5，这是跃度的一半，这些结果跟下面叙述的傅立叶收敛定理是一致的。nn0 x()f xxx
7、xxf0 00 )(将 展开成傅立叶级数。解：解：本题 ，傅立叶系数计算如下：l2 1)(100 xdxdxxfa)cos1(1cossin1cos1cos)(12020nnnnxnnxxnxdxxnxdxxfan 6,4,2,0 ,5 ,3 ,1 22nnn例例2 设是 周期为 的函数,它在 上的表达式为2,()f x()f xnnnnxnnxxnxdxxnxdxxfbncossincos1sin1sin)(1020nn 1)1(22121()(cossin)sin2(cos3sin3)4233f xxxxxx,故 的傅立叶级数在区间 上的表达式为()f x在计算系数 和 时，我们假定 在区
8、间 上是可积的。当项数 取1，5和20时傅立叶级数逼近的图象在下图中。注意随着 的增加，在所有连续点逼近如何越来越接近函数的图象。0,na anblxl fnn二、傅立叶级数的收敛性二、傅立叶级数的收敛性定理定理1 傅立叶级数的收敛性（狄利克雷（傅立叶级数的收敛性（狄利克雷（Dirichlet）定理）定理）若函数 和它的导数 在区间 上分段连续则在所有连续点处 等于傅立叶级数。在 的跳跃间断点，傅立叶级数收敛于 。其中 和 分别是 在 的左、右极限。lxl()()2f cf c()f c()f cc()f x()fx例1中的函数满足定理1的条件，对于区间 的每个点 ，傅立叶级数收敛于 。是函数
9、的跳跃间段点，傅立叶级数收敛到平均值x0 x()f x0 x(0)(0)0 11222ff()f x()f x()f x傅立叶级数中的三角项 和 是周期为 的周期函数：三、周期延拓三、周期延拓sin(/)n x lcos(/)n x l(2)sinsincos2cossin2sinnxln xn xnnllln xl类似地(2)coscoscos2sinsin2cosnxln xn xnnllln xl2l傅立叶级数也是周期为 的周期函数。于是，傅立叶级数不仅在区间 上表示函数 ，并且它还生成 在整个实数直线上的周期延拓。从定理1得知，级数在这个区间的端点收敛到平均值 ，并且这个值还周期延拓到
10、 等等。2llxl()f x3,5,7lll()()2f lfl()f x四、傅立叶余弦级数和正弦级数四、傅立叶余弦级数和正弦级数在为绝缘细长杆或金属丝中的热传导建模时，我们假定 轴沿长度为 的杆放置，并 。沿着杆的长度方向的温度通常随着位置 和时间 变化。问题是给定沿着杆的初始温度 后确定 。比如，杆的一端较热而另一端较冷，于是热将从热端到冷端，而我们想了解在一个小时内温度分布是怎样的，解这个问题使用的一个方法需要在非对称区间 上的展开式0 xlxxtl(,0)()u xf x(,)u x t0 xl1()sinnnn xf xbl那么我们怎样计算 的傅立叶级数展开式呢？为此，我们延拓函数使
11、它定义在对称区间 上。可是我们对于 如何定义 的延拓呢？回答是我们可以在 上定义延拓到任何函数，只要我们所选择的延拓及其导数是分段连续的。不管我们如何在 上定义分段连续函数作为延拓，都能保证得到的傅立叶级数在原来的区域 上的所有连续点处等于。自然对于，傅立叶级数也收敛到我们选择的任何延拓。不过，有两类特别的延拓，其特别有用并且其傅立叶系数十分容易计算，这就是 的偶延拓或奇延拓。flxl 0lx f0lx 0lx 0 xl()f x0lx ff1.偶延拓：傅立叶余弦级数偶延拓：傅立叶余弦级数假定函数 定义在区间 。我们通过要求()yf x0 xl()(),fxf xlxl 0012()()lll
12、af x dxf x dxlllnxdxlnxfla0cos)(2()cosn xf xl（为偶函数）（为奇函数）()sinn xf xl1()sin0lnlnbf xxdxll定义 的偶延拓。其傅立叶系数()f x01()cos2nnanf xaxl 的傅立叶级数是()f x由于傅立叶系数 都是零，在傅立叶级数中正弦项没有出现，故级数称为函数 的傅立叶余弦级数。它在区间 上收敛到原来的函数，而在区间 上收敛到偶延拓（假定 和 有分段连续性）。nb0 xl0lx()f x()fx()f x2.奇延拓：傅立叶正弦级数奇延拓：傅立叶正弦级数假定函数 定义在区间 。我们通过要求()yf x0 xl(
13、)(),fxf xlxl 01()0llaf x dxl01()cos0lnnaf xxdxll()cosn xf xl（为奇函数）（为偶函数）()sinn xf xl012()sin()sinllnlnnbf xxdxf xxdxllll定义 的奇延拓。其傅立叶系数()f x1()sinnnnf xbxl 的傅立叶级数是()f x由于傅立叶系数 和 全是零，在傅立叶级数展开式中余弦项没有出现，故级数称为函数 的傅立叶正弦级数。它在区间 上收敛到原来的函数，而在区间 上收敛到奇延拓（假定 和 的分段连续性成立）。na0a()f x0 xl0lx()fx()f x解：解：0,na 0022()s
14、insinnbf xnxdxxnxdx12(1)(1,2,)nnn()f xx因此函数 的正弦级数展开式为112sinsin2sin3 0,23xxxxx （1）求正弦级数。对函数 进行奇延拓.在区间 上连续.,0()f x()f x例例3 将函数 ，分别展开成正弦级数和余弦级数.()f xx,0 x()()022ff(0)(0)02ff在端点 及 处,上述正弦级数收敛于0 x x0nb 0022()coscosnaf xnxdxxnxdx22(1)1nn002axdx22 411(coscos3cos5 )0,235xxxxx 函数 的余弦级数展开式为()f x（2）求余弦级数。对 进行偶延拓.()f x注注:虽然 正弦级数 和余弦级数 的表达式不同,但在区间 上 .)(xf)(1xs)(2xs,0)()(21xsxs(0)(0)02ff当 时，上述余弦级数收敛于x()()22ff在 处,上述余弦级数收敛于0 x
