1、数学课件制作人沈跃云第第2章章 导数与微分导数与微分本章重点本章重点:1、导数的概念和导数的几何意义；、导数的概念和导数的几何意义；2、导数的基本求导公式和导数的运算法则；、导数的基本求导公式和导数的运算法则；3、导数的计算，特别是复合函数的求导计算；、导数的计算，特别是复合函数的求导计算；4、微分的概念以及微分的计算；、微分的概念以及微分的计算；5、函数的单调性、极值与最值判断。、函数的单调性、极值与最值判断。2.1 导数的概念导数的概念一、实例导入一、实例导入例例1、求自由落体运动、求自由落体运动 在时刻在时刻2秒点处的即时秒点处的即时速度。速度。221gts 例例2、求产品产量函数、求产
2、品产量函数 在在 处的产量变处的产量变化率。化率。)(xQQ0 xx)(xfy例例3、求平面曲线、求平面曲线 在在 处的切线的斜率。处的切线的斜率。0 xx 二、函数二、函数 在在 处的导数定义处的导数定义)(xfy0 xx 三、函数三、函数 在在 处可导的定理处可导的定理)(xfy0 xx四、导数的几何意义四、导数的几何意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系注：注：注：注：课堂练习题课堂练习题六、导函数定义六、导函数定义注：注：证明：证明：上述通过导数定义可以求出一些基本初等函数的导数，上述通过导数定义可以求出一些基本初等函数的导数，但由于计算工作量大，因此需要引进求导法则来简化计算，
3、但由于计算工作量大，因此需要引进求导法则来简化计算，从而推导出所有基本初等函数求导公式。从而推导出所有基本初等函数求导公式。2.2 导数的四则运算法则和基本公式导数的四则运算法则和基本公式一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则推论：推论：二、函数与反函数导数法则二、函数与反函数导数法则三、导数基本公式三、导数基本公式例例6 求下列函数的导数：求下列函数的导数：2.3 复合函数、隐函数求导法则复合函数、隐函数求导法则一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则证明略。证明略。二、复合函数的求导步骤：二、复合函数的求导步骤：注：注：当学生对复合函数分解和复合函数的求导法则非常熟悉当学生对复合
4、函数分解和复合函数的求导法则非常熟悉时，可以把复合函数求导的步骤整合为一个步骤来完成解题时，可以把复合函数求导的步骤整合为一个步骤来完成解题过程。过程。注：注：当复合函数是由三个或三个以上简单函数复合而成时，可当复合函数是由三个或三个以上简单函数复合而成时，可以连续使用多次复合函数求导法则，直到求完为止。以连续使用多次复合函数求导法则，直到求完为止。注：注：课堂练习题：课堂练习题：三、隐函数的求导法则三、隐函数的求导法则四、隐函数在指定点处的导数值四、隐函数在指定点处的导数值课堂练习题：课堂练习题：2.4 高阶导数高阶导数一、二阶导数一、二阶导数二、二、n 阶导数阶导数三、高阶导数三、高阶导数
5、注：注：有些高阶导数的计算可以通过前几阶导数的规律总结出相有些高阶导数的计算可以通过前几阶导数的规律总结出相应的更高阶的导数。应的更高阶的导数。课堂练习题：课堂练习题：2.5 函数的微分函数的微分实例分析实例分析讨论正方形面积改变量的问题。讨论正方形面积改变量的问题。一、函数在指定点处的微分定义一、函数在指定点处的微分定义 注：注：二、可微与可导的关系二、可微与可导的关系定理：定理：证明略证明略注：注：四、微分的运算法则四、微分的运算法则例例1 求下列函数的微分：求下列函数的微分：课堂练习题：课堂练习题：求下列函数的微分：求下列函数的微分：2.6 函数的单调性、极值与最值函数的单调性、极值与最
6、值一、函数的单调区间一、函数的单调区间函数单调性判断定理：函数单调性判断定理：注：注：课堂练习题：课堂练习题：二、函数的极值二、函数的极值1、驻点的定义和驻点的存在性定理、驻点的定义和驻点的存在性定理定义定义定理：定理：注：注：因此，极值点通常存在在驻点或一阶导数不存在处。因此，极值点通常存在在驻点或一阶导数不存在处。2、极值的判定性定理、极值的判定性定理课堂练习题课堂练习题:课堂练习题课堂练习题:注注:三、函数的最值三、函数的最值课堂练习题：课堂练习题：3、应用例题、应用例题课堂练习题：课堂练习题：2.8 经济应用经济应用一、导数在经济方面的应用一、导数在经济方面的应用1、边际函数、边际函数经济意义：经济意义：2、需求弹性函数、需求弹性函数经济意义：经济意义：课堂练习题：课堂练习题：
