1、5平行关系平行关系5.1平行关系的判定第1课时直线与平面平行的判定1.掌握线面平行的判定定理.2.会利用线面平行的判定定理证明线面的平行关系.1.空间直线与平面的位置关系【做一做1】若直线l在平面外且直线l上所有的点到平面的距离都相等,则直线l与平面的位置关系是.答案:l2.直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理告诉我们,可以通过直线间的平行来证明直线与平面平行.通常我们将其记为“若线线平行,则线面平行”.因此,对于线面平行的问题通常转化为线线平行的问题来解决.也就是说,证明一条直线和一个平面平行,只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可.【做一做2】在正方体ABCD-A1B
2、1C1D1中,E为DD1的中点.判断体对角线BD1与过点A,C,E的平面的位置关系.解:如图所示,连接AC,BD.设ACBD=O,易知O为AC,BD的中点.连接OE,又E为DD1的中点,则OEBD1,连接AE,CE.OE平面ACE,BD1平面ACE,BD1平面ACE,即BD1与过点A,C,E的平面是平行关系.题型一题型二题型三【例1】对于不重合的两条直线m,n和平面,下列说法正确的是()A.如果m,n,m,n是异面直线,那么nB.如果m,n,nm,那么nC.如果m,n,m,n是异面直线,那么n与相交D.如果m,n,m,n共面,那么mn题型一题型二题型三解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1
3、C1D1中,直线AB平面ABCD,CC1平面ABCD,直线AB和直线CC1是异面直线,但是直线CC1平面ABCD=C,排除选项A;直线AB平面ABCD,直线B1C1平面ABCD,直线AB和直线B1C1是异面直线,但是直线B1C1平面ABCD,排除选项C;直线A1B1平面ABCD,直线B1C1平面ABCD,直线A1B1和直线B1C1共面,但是A1B1B1C1=B1,排除选项D.答案:B反思反思此类题目属于位置关系判定题,并且是用符号语言表示的,是高考考查立体几何知识的主要形式.其解题策略是借助长方体等几何体模型,将符号语言转化为图形语言,利用排除法求解.题型一题型二题型三【变式训练1】能保证直线
4、a与平面平行的条件是()A.b,abB.b,c,ab,acC.b,A,Ba,C,Db,且AC=BDD.a,b,ab解析:A错误,若b,ab,则a或a;B错误,若b,c,ab,ac,则a或a;C错误,若满足此条件,则a或a或a与相交;D正确,它们恰好是判定定理所具备的不可缺少的三个条件.答案:D题型一题型二题型三【例2】如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别为AB,SC的中点.求证:EF平面SAD.分析:要证EF平面SAD,只需在平面SAD内找到一条平行于EF的直线即可,又E,F分别为AB,SC的中点,故可以考虑作辅助线,构造平行四边形,从而找到平行于EF并且在平面S
5、AD内的直线.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思反思用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤:题型一题型二题型三【变式训练2】已知四边形ABCD,ABEF都是正方形,MAC,NBF,且AM=FN.求证:MN平面BCE.题型一题型二题型三易错点:判断平行关系时思维受阻而致误【例3】如图所示,在四面体ABCD中,P,Q,M,N分别为AB,BC,DC,DA的中点,截面PQMN是正方形,有下列说法,ACBD;AC截面PQMN;AC=BD;异面直线MN与BD所成的角为45;QM平面ABD.则其中正确的说法是.(填序号即可)错解:错因分析:图中平行关系较多,忽略PQ是ABC的中位线而得不到PQAC
6、,从而漏选.题型一题型二题型三正解:对于,因为截面PQMN是正方形,所以PQQM,由三角形的中位线性质可得PQAC,QMBD.所以由PQQM,可得ACBD,故正确;对于,在ABC中,P,Q是中点,所以PQAC,可得AC截面PQMN,故正确;对于,因为截面PQMN为正方形,所以QM=MN,因为P,Q,M,N为中点,所以QM所以AC=BD,故正确;对于,异面直线MN与BD所成的角等于MN与PN所成的角,为90,故不正确;对于,QMPN,PN平面ABD,QM平面ABD,故QM平面ABD,故正确.答案:题型一题型二题型三【变式训练3】如图所示,在四面体ABCD中,若M,N,P分别为线段AB,BC,CD
7、的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系为.解析:因为N,P分别为线段BC,CD的中点,所以NPBD,又BD平面MNP,NP平面MNP,所以BD平面MNP.答案:平行1 2 3 4 51.过平面外一点,作平面的平行线可以作()A.一条B.两条C.无数条D.以上都不对解析:过平面外一点可作无数条直线与平面内的相应直线平行,故选C.答案:C1 2 3 4 52有下列命题:若直线l平行于平面内的无数条直线,则l;若直线ab,b,则直线a就平行于平面内的无数条直线;若直线ab,b,则a;若直线a在平面外,则a.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:直线l还可能在平面内.正确.直线a还有可
8、能在平面内.直线a与平面相交也满足.答案:A1 2 3 4 53.若两条直线ab,且a平面,则b与的位置关系是.答案:b或b1 2 3 4 54.设m,n是平面外的两条直线,给出以下三个论断:mn;m;n.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构成三个命题,写出你认为正确的一个命题是.解析:由m知,内必有直线lm,又mn,nl,而n,n.因此,由,同理由.答案:(或)1 2 3 4 55.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为线段AB,CD,C1D1的中点,分别连接A1P,AN,PN及C1M.求证:C1M平面ANPA1.1 2 3 4 5证明:如图所示,连接AP,因为四边形CC1D1D是矩形,所以C1D1CD,C1D1=CD.因为N,P分别为线段CD,C1D1的中点,所以C1PCN,C1P=CN.因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD,AB=CD.因为M为线段AB的中点,所以CNAM,CN=AM,所以C1PAM,C1P=AM,所以四边形AMC1P是平行四边形,所以C1MAP.又C1M平面ANPA1,AP平面ANPA1,所以C1M平面ANPA1.
