1、4.2.3直线与圆的方程的应用第四章4.2 直线、圆的位置关系学习目标1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识梳理知识点坐标法解决几何问题的步骤用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过 ，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论代数运算题型探究题型探究例例1某圆拱桥的圆拱跨度为20 m，拱高为4 m现有一船，宽
2、10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？解答类型一直线与圆的方程的应用解解建立如图所示的坐标系依题意，有A(10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(5,0)，E(5,0)设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2(r0)，解此方程组，得a0，b10.5，r14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高3 m,33.1，所以该船可以从桥下通过解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素(3
3、)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去反思与感悟跟踪训练跟踪训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为_米答案解析解析解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系设圆心为C，圆的方程设为x2(yr)2r2(r0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2)将A(6，2)代入圆的方程，得r10，圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1米后，可设点A(x0，3)(x00)，将A(x0，3)代入圆的方程，例例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O
4、的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.类型二坐标法证明几何问题证明证明证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，设|AB|2r，D(a,0)，圆O：x2y2r2，EF平分CD.(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题；通过代数运算，解决代数问题；把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐
5、标轴上建立适当的直角坐标系，会简化运算过程反思与感悟跟踪训练跟踪训练2如图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值证明证明证明如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立直角坐标系，于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上则|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)例例3为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km
6、是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离类型三直线与圆位置关系的应用解答解解以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则圆O的方程为x2y21.因为点B(8,0)，C(0,8)，当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题反思与感悟跟踪训练
7、跟踪训练3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图)已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解答解解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，即x2y60，台风区域边界所在圆的方程为x2y24.所以直线x2y60与圆x2y24相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响当堂训练当堂训练234511.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡
8、车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m答案解析解析解析如图，圆的半径|OA|3.6 m，卡车宽1.6 m，所以|AB|0.8 m，234512.方程x2y21(1x0)所表示的图形是A.以原点为圆心，1为半径的上半圆B.以原点为圆心，1为半径的左半圆C.以原点为圆心，1为半径的下半圆D.以原点为圆心，1为半径的右半圆答案234513.设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_.答案解析234514.已知曲线C：(x1)2y21，点A(2,0)及点B(3，a)，
9、从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则a的取值范围为_.答案解析解析解析由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，5.某操场400 m跑道的直道长为86.96 m，弯道是两个半圆弧，半径为36 m，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程.解答解解易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C(0,43.48)，其所在圆的半径为36，故上半个弯道所在圆的方程是x2(y43.48)2362.同理下半个弯道所在圆的方程是x2(y43.48)2362.23451规律与方法1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法.事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化、化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.本课结束
