1、本章内容本章内容3.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算第三章第三章 小结小结本知识要点知识要点例题选讲例题选讲复习参考题复习参考题自我检测题自我检测题章 小 结补充练习补充练习返回目录返回目录1.复数复数 复数通常用字母复数通常用字母 z 表示表示,即即 z=a+bi(a,b R),这一表示形式叫这一表示形式叫做做复数的代数形式复数的代数形式.其中的其中的 a 与与 b 分别叫做复数分别叫做复数 z 的的实部实部与与虚部虚部.形如形如 a+bi(a,b R)的数叫做的数叫做复数复数.当当 b=0 时时,a+bi=a 是是实数实数
2、.b 0 时时,a+bi 是是虚数虚数.a=0,b0 时时,a+bi=bi 叫叫纯虚数纯虚数.i 叫叫虚单位虚单位,i2=-=-1.2.复数的包含关系复数的包含关系 复数包含实数和虚数复数包含实数和虚数,全体复数所成的集合全体复数所成的集合 C 叫做叫做复数集复数集.a+bi 与与 c+di 相等的充要条件是相等的充要条件是 a=c 且且 b=d.复数集复数集实数集实数集虚数集虚数集纯虚数集纯虚数集实数实数虚数虚数=复数复数,实数实数 复数复数;虚数虚数 复数复数;纯虚数纯虚数 虚数虚数.实数实数虚数虚数=;3.复数的几何意义复数的几何意义 实轴上的点表示实数实轴上的点表示实数,虚轴虚轴(除原
3、点除原点)上的点表示纯虚数上的点表示纯虚数.(1)任一复数可用复平面上的点表示任一复数可用复平面上的点表示,如如:点点 Z(3,-2)表示复数表示复数 z=3-2i.(2)任一复数可用复平面上的向量表示任一复数可用复平面上的向量表示,如如:向量向量 表示复数表示复数 z=3-2i.)2 ,3(-=OZ(3)向量的模就是复数的模向量的模就是复数的模:.|22babiaz+=+=4.复数的加减法复数的加减法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.实部相加为实部实部相加为实部,虚部相加为虚部虚部相加为虚部.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.实部相减得实部实部相减得实
4、部,虚部相减得虚部虚部相减得虚部.5.复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义 复数加减法的几何意义是向量加减法的几何运算复数加减法的几何意义是向量加减法的几何运算.,2211dicOZzbiaOZz+=+=.2121OZOZOZzz=+=+.122121ZOZZOZOZzz=-=-xyOZ1Z2ZZ 6.复数的乘法复数的乘法(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.类似于实数的二项式与二项式相乘类似于实数的二项式与二项式相乘.注意注意:i2=-=-1.复数的乘法也满足复数的乘法也满足:交换律、结合律交换律、结合律、分配律分配律,乘法公式乘法公
5、式:(a+bi)2=a2+2a(bi)+(+(bi)2=a2+2abi-b2.(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2.7.共轭复数共轭复数 实部相等实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复互为共轭复数数.复数复数 z 的共轭复数记着的共轭复数记着一对共轭复数的积是一个实数一对共轭复数的积是一个实数:(a+bi)(a-bi)=a2+b2.z如如:z=a+bi,.biaz-=8.复数的除法复数的除法)()(dicdicdicbiadicbia-+-+=+222dcbdibciadiac+-+-=22)()(dciadbcbdac+-+=.2222
6、idcadbcdcbdac+-+=复数除法的基本思想是复数除法的基本思想是分母实数化分母实数化.即分子分母同乘以分母的共轭复数即分子分母同乘以分母的共轭复数.返回目录返回目录例例1.复数复数 z 满足满足(z-i)(2-i)=5,则则 z=()(A)-2-2i (B)-2+2i (C)2-2i (D)2+2i分析分析:设出复数设出复数 z 的代数形式的代数形式,解解:设设 z=a+bi,则则(z-i)(2-i)=(a+bi-i)(2-i)=a+(+(b-1)i(2-i)代入题代入题使运算结果的实部为使运算结果的实部为 5,=2a-ai+2(b-1)i-(b-1)i2=(2a+b-1)+(2b-
7、2-a)i.2a+b-1=5,2b-2-a=0.解得解得 a=2,b=2.D常规思考常规思考:设等式的左边进行乘法运算设等式的左边进行乘法运算,虚部为虚部为 0.捷径捷径:共轭复数的积为实数共轭复数的积为实数,则则 z-i=2+i,z=2+2i.例例2.i 为虚单位为虚单位,等于等于()(A)0 (B)2i (C)-2i (D)4i7531111iiii+分析分析:先计算先计算 in,即可化为同分母即可化为同分母.i3=i2i=-=-i.i5=i3i2=-=-i(-1)=i.i7=i5i2=i(-1)=-=-i.iiiiiiii11111111 753-+-=+=0.A例例3.已知复数已知复数
8、 则则|z|等于等于()(A)(B)(C)1 (D)2,)31(32iiz-+=4121分析分析:先计算复数先计算复数,再求模再求模.2)31(3iiz-+=33213-+=ii)31(23ii+-=)31)(31(2)31)(3(iiii-+-+-=)31(2232+-=i.4143i+-=则则|z|=22)41()43(+-.21=B 例例4.对任意复数对任意复数 z=x+yi(x,y R),i 为虚数单位为虚数单位,则下列结论正确则下列结论正确的是的是()(A)|z-z|=2y (B)z2=x2+y2 (C)|z-z|2x (D)|z|x|+|y|分析分析:|)()(|yixyixzz-
9、+=-=|2yi|.y|y|时时,C 选项不成立选项不成立.z2 可能是个虚数可能是个虚数,x2+y2 为实数为实数,B 选项不成立选项不成立,则只有则只有 D 选项正确选项正确.DD 选项的几何意义如图选项的几何意义如图:xyOZ|z|y|x|两边之和大于第三边两边之和大于第三边.当且仅当点当且仅当点 Z 在实轴或虚轴上时在实轴或虚轴上时,等号成立等号成立.例例5.若若 是关于是关于 x 的实系数方程的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根的一个复数根,则则()(A)b=2,c=3 (B)b=-=-2,c=3 (C)b=-=-2,c=-=-1 (D)b=2,c=-=-1i21+解解:将
10、根代入方程得将根代入方程得,0)21()21(2=+cibi,022221=+-+cbibi,0)222()1(=+-ibcb得得-1+b+c=0,.0222=+b解得解得 b=-=-2,c=3.B 例例5.若若 是关于是关于 x 的实系数方程的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根的一个复数根,则则()(A)b=2,c=3 (B)b=-=-2,c=3 (C)b=-=-2,c=-=-1 (D)b=2,c=-=-1i21+附附:B对于实系数一元二次方程对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0,若若=b2-4ac0,则方程的根为则方程的根为.242abacibx-=即有一对共轭虚根即有一
11、对共轭虚根,24221iabacabx-+-=.24222iabacabx-=x1+x2=,ab-x1x2=2222)24()2(iabacab-.ac=(根据这一结论解此题根据这一结论解此题),2121iib-+=-).21)(21(iic-+=共共 8 题题返回目录返回目录补充练习1.复数复数 的共轭复数是的共轭复数是()(A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-iiiz+-=23 2.若复数若复数 z 满足满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚单位为虚单位),则则 z 为为()(A)3+5i (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i 3.把复数把复数 z 的共轭
12、复数记作的共轭复数记作 z,i 为虚单位为虚单位,若若z=1+i,则则(1+z)z 等于等于()(A)3-i (B)3+i (C)1+3i (D)3 4.已知已知 0a2,复数复数 z 的实部变的实部变 a,虚部为虚部为 1,则则|z|的取值范围是的取值范围是()(A)(1,5)(B)(1,3)(C)(D)5 ,1()3 ,1(5.i 是虚数单位是虚数单位,等于等于 .5)11(ii+-6.a 为正实数为正实数,i 为虚数单位为虚数单位,则则 a 等于等于()(A)2 (B)(C)(D)1,2|=+iia32 7.复数复数 z=1+i,z 为为 z 的共轭复数的共轭复数,则则 z z-z-1
13、等于等于()(A)-2i (B)-i (C)i (D)2i 8.下面是关于复数下面是关于复数 的四个命题的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z 的共轭复数为的共轭复数为1+i,p4:z 的虚部为的虚部为-1.其中真命题为其中真命题为()(A)p2,p3 (B)p1,p2 (C)p2,p4 (D)p3,p4iz+-=121.复数复数 的共轭复数是的共轭复数是()(A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-iiiz+-=23解解:)2)(2()2)(3(iiiiz-+-+-=142362+-+-=iii=-=-1+i.1 iz-=D 2.若复数若复数 z 满足满足 z
14、(2-i)=11+7i(i 为虚单位为虚单位),则则 z 为为()(A)3+5i (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i解解:设设 z=a+bi.则则 z(2-i)=(a+bi)(2-i)=2a-ai+2bi-bi2=(2a+b)+(-a+2b)i.得得 2a+b=11,-a+2b=7,解得解得 a=3,b=5.则则 z=3+5i.A 3.把复数把复数 z 的共轭复数记作的共轭复数记作 z,i 为虚单位为虚单位,若若z=1+i,则则(1+z)z 等等于于()(A)3-i (B)3+i (C)1+3i (D)3解解:z=1+i,1iz-=)1)(2()1(iizz-+=+=2-2i+
15、i-i2=3-i.A 4.已知已知 0a2,复数复数 z 的实部变的实部变 a,虚部为虚部为 1,则则|z|的取值范围是的取值范围是()(A)(1,5)(B)(1,3)(C)(D)5 ,1()3 ,1(解解:z=a+i,1|2+=az 0a2,0a200DC2.已知复数已知复数 z 与与(z+2)2-8i 都是纯虚数都是纯虚数,求求 z.解解:设设 z=bi,则则 (bi+2)2-8i 是纯虚数是纯虚数,计算得计算得(4-b2)+(4b-8)i,需需 4-b2=0,且且 4b-80,解得解得 b=-=-2.则则 z=-=-2i 时时,(z+2)2-8i 是纯虚数是纯虚数.3.已知已知 z1=5
16、+10i,z2=3-4i,求求 z.,11121zzz+=解解:iiz43110511-+=2543125105ii+-=,2524i+=则则iz2425+=20)24(25i-=.255i-=B 组组解解:(1)设设 z=a+bi,则由已知得则由已知得(1+2i)(a-bi)=4+3i,即即 (a+2b)+(2a-b)i=4+3i,得方程组得方程组 =-=+.32,42baba解得解得 a=2,b=1.所以所以 z=2+i.iizz-+=22 )2()2)(2()2(2iii+-+=.5453i+=1.把复数把复数 z 的共轭复数记作的共轭复数记作 已知已知(1+2i)=4+3i,求求 z
17、及及z.zz,z 2.(1)试求试求 i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8 的值的值;(2)由由(1)推测推测 in(n N*)的值有什么规律的值有什么规律,并把这个规律用式子表并把这个规律用式子表示出来示出来.解解:(1)i1=i;i2=-=-1;i3=i2i=-=-i;i4=(i2)2=(-1)2=1;i5=i4i=i;i6=i4i2=-=-1;i7=i4i3=-=-i;i8=(i4)2=1.(2)*).(34 ,24 ,114 ,4 ,1Nkkniknkniknin -=-=-=-=3.已知复数已知复数 z1=m+(4-m2)i(m R),z2=2cosq q+(l l+3si
18、nq q)i(l l,q q R),并且并且 z1=z2,求求 l l 的取值范围的取值范围.解解:由由z1=z2得得 +=-=.sin34,cos22q ql lq qmm将代入得将代入得4-4cos2q q=l l+3sinq q,将余弦化为正弦并整理得将余弦化为正弦并整理得l l=4sin2q q-3sinq q,169)83(sin42-=q q-1sinq q1,7169)83(sin4169 2-q q即即 l l 的取值范围是的取值范围是.7 ,169-返回目录返回目录一、一、选择题选择题(每小题每小题 6 分分,共共36分分)1.a=0 是复数是复数 a+bi(a,b R)为纯
19、虚数的为纯虚数的()(A)充分非必要条件充分非必要条件 (B)必要非充分条件必要非充分条件 (C)充分必要条件充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件 2.设设 z1=3-4i,z2=-=-2+3i,则则 z1+z2 在复平面内对应的点位于在复平面内对应的点位于()(A)第一象限第一象限 (B)第二象限第二象限 (C)第三象限第三象限 (D)第四象限第四象限 3.设设 O 是应点是应点,向量向量 OA,OB 对应的复数分别为对应的复数分别为 2-3i,-3+2i,那么向量那么向量 BA 对应的复数是对应的复数是()(A)-5+3i (B)-5-5i (C)5+5i (D)5
20、-5i4.(1-i)2i 等于等于()(A)2-2i (B)2+2i (C)-2 (D)25.复数复数 的值是的值是()(A)2i (B)-2i (C)2 (D)-22)11(i+6.如果复数如果复数 的实部和虚部互为相反数的实部和虚部互为相反数,那么实数那么实数 b 的值为的值为()(A)(B)-2 (C)(D)232-32ibi212+-二、二、填空题填空题(每小题每小题6分分,共共24分分)7.复数复数 的实部为的实部为 ,虚部为虚部为 .i+128.(15+8i)(-1-2i)的值为的值为 .9.若若 则则 z2-2z 的值为的值为 .,21iz+=10.若复数若复数 z 满足满足 则
21、则|z+1|的值为的值为 .,11izz=+-三、三、解答题解答题(每小题每小题20分分,共共40分分)11.已知复数已知复数 z=(2+i)m2 -2(1-i),当实数当实数 m 取什么值时取什么值时,复数复数 z 是是 (1)零零;(2)虚数虚数;(3)纯虚数纯虚数;(4)复平面内第二复平面内第二,四象限角平分线上的点对应的复数四象限角平分线上的点对应的复数.im-1612.设设 z1 是虚数是虚数,是实数是实数,且且-1z21.(1)求求|z1|的值以及的值以及 z1 的实部的取值范围的实部的取值范围;(2)若若 求证求证 w w 为纯虚数为纯虚数.1111zz+-=w w1121zzz
22、+=一、一、选择题选择题(每小题每小题 6 分分,共共36分分)1.a=0 是复数是复数 a+bi(a,b R)为纯虚数的为纯虚数的()(A)充分非必要条件充分非必要条件 (B)必要非充分条件必要非充分条件 (C)充分必要条件充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件分析分析:a=0,a+bi 不一定是纯虚数不一定是纯虚数,可能为可能为 0,a=0 a+bi 为纯虚数为纯虚数,充分不成立充分不成立.a=0 a+bi 为纯虚数为纯虚数,必要成立必要成立.B 2.设设 z1=3-4i,z2=-=-2+3i,则则 z1+z2 在复平面内对应的点位于在复平面内对应的点位于()(A)第
23、一象限第一象限 (B)第二象限第二象限 (C)第三象限第三象限 (D)第四象限第四象限解解:z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i.对应的点位于第四象限对应的点位于第四象限.D 3.设设 O 是原点是原点,向量向量 OA,OB 对应的复数分别为对应的复数分别为 2-3i,-3+2i,那那么向量么向量 BA 对应的复数是对应的复数是()(A)-5+3i (B)-5-5i (C)5+5i (D)5-5i解解:OBOABA-=(2-3i)-(-3+2i)=5-5i.D4.(1-i)2i 等于等于()(A)2-2i (B)2+2i (C)-2 (D)2解解:(1-i)2i=(1-2i-1)i=
24、-=-2i2=2.D5.复数复数 的值是的值是()(A)2i (B)-2i (C)2 (D)-22)11(i+解解:222)1()11(iii+=+=(1-i)2=1-2i-1=-=-2i.B 6.如果复数如果复数 的实部和虚部互为相反数的实部和虚部互为相反数,那那么实数么实数 b 的值为的值为()(A)(B)-2 (C)(D)232-32ibi212+-解解:2)2(1)21)(2(212iibiibi-=+-52422bibii+-=.54522ibb+-=,0)54(522=+-+-bb实部和虚部互为相反数实部和虚部互为相反数,解得解得.32-=bC二、二、填空题填空题(每小题每小题6分
25、分,共共24分分)7.复数复数 的实部为的实部为 ,虚部为虚部为 .i+12解解:21)1(212iii-=+2)1(2i-=1-i.1-18.(15+8i)(-1-2i)的值为的值为 .解解:(15+8i)(-1-2i)=-15-30i-8i-16i2=1-38i.1-38i9.若若 则则 z2-2z 的值为的值为 .,21iz+=解解:z2-2z=)21(2)21(2ii-1)121(2-=i11)21(2)21(2-+-=ii122-=i=-=-3.-310.若复数若复数 z 满足满足 则则|z+1|的值为的值为 .,11izz=+-解解:.1 ,11ziizizz+=-=+-设设 z=
26、a+bi,则则 1-a-bi=i+(a+bi)i,整理得整理得1-a-bi=-=-b+(a+1)i,则则 1-a=-=-b,-b=a+1.解得解得 a=0,b=-=-1.则则|z+1|=|1-i|.2=2 三、三、解答题解答题(每小题每小题20分分,共共40分分)11.已知复数已知复数 z=(2+i)m2 -2(1-i),当实数当实数 m 取什么值时取什么值时,复数复数 z 是是 (1)零零;(2)虚数虚数;(3)纯虚数纯虚数;(4)复平面内第二复平面内第二,四象限角平分线上的点对应的复数四象限角平分线上的点对应的复数.im-16解解:计算复数计算复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+
27、2)i(1)2m2-3m-2=0,m2-3m+2=0,解得解得 m=2.即即 m=2 时时,z=0.三、三、解答题解答题(每小题每小题20分分,共共40分分)11.已知复数已知复数 z=(2+i)m2 -2(1-i),当实数当实数 m 取什么值时取什么值时,复数复数 z 是是 (1)零零;(2)虚数虚数;(3)纯虚数纯虚数;(4)复平面内第二复平面内第二,四象限角平分线上的点对应的复数四象限角平分线上的点对应的复数.im-16解解:计算复数计算复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i(2)m2-3m+20,解得解得 m1 且且 m2.即即 m1 和和 2 时时,z 是虚数是虚数.三
28、、三、解答题解答题(每小题每小题20分分,共共40分分)11.已知复数已知复数 z=(2+i)m2 -2(1-i),当实数当实数 m 取什么值时取什么值时,复数复数 z 是是 (1)零零;(2)虚数虚数;(3)纯虚数纯虚数;(4)复平面内第二复平面内第二,四象限角平分线上的点对应的复数四象限角平分线上的点对应的复数.im-16解解:计算复数计算复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i(3)2m2-3m-2=0,m2-3m+20,解得解得.21-=m即即 时时,z 是纯虚数是纯虚数.21-=m 三、三、解答题解答题(每小题每小题20分分,共共40分分)11.已知复数已知复数 z=(2
29、+i)m2 -2(1-i),当实数当实数 m 取什么值时取什么值时,复数复数 z 是是 (1)零零;(2)虚数虚数;(3)纯虚数纯虚数;(4)复平面内第二复平面内第二,四象限角平分线上的点对应的复数四象限角平分线上的点对应的复数.im-16解解:计算复数计算复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i(4)由题意得由题意得(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)=0,解得解得 m=0 或或 m=2.当当 m=2 时时,z=0,不在二不在二,四象限四象限,舍去舍去.当当 m=0 时时,z=-=-2+2i,在二在二,四象限角平分线上四象限角平分线上.12.设设 z1 是虚数是虚数,是实数是
30、实数,且且-1z21.(1)求求|z1|的值以及的值以及 z1 的实部的取值范围的实部的取值范围;(2)若若 求证求证 w w 为纯虚数为纯虚数.1111zz+-=w w1121zzz+=解解:设设 z1=a+bi,(1)biabiaz+=12.)(2222ibabbbaaa+-+=z2 是实数是实数,则则,022=+-babb由由 -1z21,得得,1122+-baaa.0)11(22=+-bab又又 z1 是虚数是虚数,得得 b0.,011 22=+-baa2+b2=1,.1|221=+=baz,111+-aa.2121 -a即即|z1|=1.z1 实部的范围是实部的范围是.21 ,21-12.设设 z1 是虚数是虚数,是实数是实数,且且-1z21.(1)求求|z1|的值以及的值以及 z1 的实部的取值范围的实部的取值范围;(2)若若 求证求证 w w 为纯虚数为纯虚数.1111zz+-=w w1121zzz+=解解:设设 z1=a+bi,(2)1)(1()1)(1(1111zzzz+-=w w证明证明:1111111111zzzzzzzz+-+=.21)(212222baababi+-=由由(1)知知 a2+b2=1.abi222+-=w w.1iab+-=b0,w w 是纯虚数是纯虚数.谢谢观看！谢谢观看！
