1、 第二十三讲第二十三讲 常微分方程常微分方程（三）（三）二、常微分方程应用举例二、常微分方程应用举例一、可降阶微分方程一、可降阶微分方程2022-12-22型型（一）（一）)(xfy 逐次积分逐次积分一、一、高阶可降阶微分方程高阶可降阶微分方程积分一次积分一次1)(Cdxxfy 再积分一次再积分一次21)(CxCdxdxxfy 2022-12-23)(xppy 令令py 变量替换变量替换原方程变形成为原方程变形成为y不不显显含含未未知知函函数数型型（二二）),(yxfy ),(pxfp 一阶一阶2022-12-24112 yxyx求求解解例例特点是：不显含特点是：不显含 y y解解)(xppy
2、 令令12 xppx211xpxp xxxCpln11 xxxCyln11 积分积分,得通解得通解221ln21lnCxxCy 2022-12-25解解2注意到方程的特殊性注意到方程的特殊性12 yxyx1)(yyxx)(xy1)(xyxxxy1)(1lnCxxy xxxCyln11 积分积分,得通解得通解221ln21lnCxxCy 2022-12-26x不不显显含含自自变变量量型型（三三）),(yyfy )(yppy 令令dydppdxdydydpdxdpdxyd2 2),(pyfdydpp 一阶一阶变量替换变量替换原方程变形成为原方程变形成为2022-12-270122 yyy求求解解例
3、例特点是：不显含特点是：不显含 x解解)(yppy 令令方程化为方程化为012 ppyp分离变量分离变量ydyppdp 21积分积分12ln21ln)1ln(21Cyp 2022-12-28122)1(Cyp yyCp21 yyCdxdy21 即即分离变量解得分离变量解得1222)(CyCx 2022-12-29列方程的常用方法列方程的常用方法(1)利用物理定律列方程利用物理定律列方程(2)利用导数的几何意义列方程利用导数的几何意义列方程(3)利用微元分析法列方程利用微元分析法列方程二、常微分方程应用举例二、常微分方程应用举例2022-12-210?30,.60,20,20,1001CCCC降
4、降为为物物体体的的温温度度才才能能问问还还需需经经过过多多长长时时间间知知其其已已降降为为测测量量物物体体的的温温度度分分钟钟后后经经过过的的房房间间内内放放在在的的物物体体有有一一个个例例解解 取时间取时间t为自变量，物体的温度为自变量，物体的温度T(t)为为未知函数未知函数.由牛顿冷却定律知由牛顿冷却定律知),0()20(比比例例常常数数 kTkdtdT初始条件初始条件100)0(T2022-12-211另外还有一个条件另外还有一个条件:60)20(T可用来确定比例常数可用来确定比例常数k分离变量，得分离变量，得kdtTdT )20(两边积分，得两边积分，得1)20ln(CktT ktCe
5、T 20ktCeT 20100)0(T代入上式，得代入上式，得80 CkteT 802060)20(T代入，得代入，得2ln201 k2022-12-212teT)2ln(2018020 将将 T=30 T=30 代入，解出代入，解出60 t即，还需再经过即，还需再经过)(402060分分钟钟 物体的温度即可降为物体的温度即可降为C302022-12-213例例2 已知曲线上任一点已知曲线上任一点P(x,y)处的切线在处的切线在 x轴上的截距等于点轴上的截距等于点P的横坐标的一半的横坐标的一半,且过定点且过定点(2,1),求此曲线的方程求此曲线的方程.解解)(xyy 设设曲曲线线方方程程为为方
6、方程程为为处处的的切切线线则则该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxP)(xXyyY 轴轴上上的的截截距距为为得得切切线线在在令令xY,0 yyxxA 2022-12-214由题意得由题意得2xyyx 又已知曲线过点又已知曲线过点(2,1),于是得到定解问题于是得到定解问题 1)2(02yyyx分离变量求得通解分离变量求得通解2Cxy 41,1)2(Cy得得由由241xy 所所求求曲曲线线方方程程为为2022-12-215例例3 试设计一反光镜试设计一反光镜,使它能将点光源发使它能将点光源发 出的光反射成为平行光出的光反射成为平行光解解轴轴绕绕设设反反光光镜镜镜镜面面由由曲曲线线xxyy)(旋
7、旋转转而而成成的的点光原位于坐标原点点光原位于坐标原点O,由点由点O发出的光线发出的光线经反射都成为平行于经反射都成为平行于x轴的平行光轴的平行光oyx由光的反射定律由光的反射定律 ),(yxMT A 2022-12-216于是有于是有xAOytg OMAO xOMy 22yxxy 根据导数的几何意义根据导数的几何意义 tgy 得到微分方程得到微分方程22yxxyy 一阶齐次一阶齐次变形为变形为)1(1)(222 yxyxyyxxdydx2022-12-217uyxuyx 即即令令,分离变量分离变量dyduyudydx 代入代入(1)式，得式，得12 udyduyydyudu 122022-1
8、2-218yCuu 1222)(1uyCu )(2122yuCyC xCyC222 )1(212CCyx Cyuulnln)1ln(2 积分，得积分，得取指数取指数2022-12-219.,2,10,1004的的规规律律变变化化试试求求容容器器内内盐盐量量随随时时间间是是均均匀匀的的一一时时刻刻都都假假设设容容器器中中的的溶溶液液在在每每流流出出并并以以同同样样的的速速度度使使盐盐水水净净水水注注入入容容器器升升的的均均匀匀速速度度把把今今以以每每分分钟钟公公斤斤其其中中含含盐盐升升盐盐水水一一容容器器内内盛盛有有例例升升2升升22022-12-220解解列方程，确定初始条件列方程，确定初始条
9、件已知，在任何一段时间内已知，在任何一段时间内容器内含盐改变量容器内含盐改变量=流进盐量流进盐量流出盐量流出盐量若溶液的浓度不变，则若溶液的浓度不变，则 流出盐量流出盐量=浓度浓度 流出的溶液量流出的溶液量问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决?考虑微小时间间隔考虑微小时间间隔 dt 内的变化情况内的变化情况设时刻设时刻 t 时溶液的含盐量为时溶液的含盐量为)(tQQ 2022-12-221 当时间从当时间从 t 变到变到 t+dt 时，容器内的含盐量时，容器内的含盐量由由 Q 变到变到 Q+dQ，因而容器内含盐改变量为，因而容器内含盐改变量为 dQ从容器内流
10、出的溶液量为从容器内流出的溶液量为 2dt 在时间在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变，内盐水的浓度近似看作不变，看作是看作是 t 时刻的盐水浓度时刻的盐水浓度100)(tQ所以流出的盐量为所以流出的盐量为dttQ2100)(2022-12-222于是有于是有dttQtdQ2100)()(初始条件初始条件10)(0 ttQ分离变量分离变量50dtQdQ 50tCeQ 5010teQ 通解通解特解特解282022-12-223ohdhh h10r?,5.0,6010,52多多少少时时间间需需要要问问水水全全部部流流完完的的小小孔孔为为漏漏斗斗下下面面有有一一个个截截面面积积顶顶角角为为高高为为
11、斗斗有有一一盛盛满满水水的的圆圆锥锥形形漏漏例例cmScm 解解 此问题涉及水面高度此问题涉及水面高度随时间的变化规律随时间的变化规律根据水利学定律，流出速度根据水利学定律，流出速度)/(26.0scmghv 2022-12-224 考虑任意时刻考虑任意时刻 t，任取时间区间，任取时间区间t,t+dt在在 dt 时间内，水面高度的改变为时间内，水面高度的改变为 dhdhrdV2 330htghr 取时间取时间 t 为自变量，水面高度为自变量，水面高度 h(t)为未为未知函数，并取坐标系如图知函数，并取坐标系如图漏斗内水的体积改变量为漏斗内水的体积改变量为dhhdhhdV223)3(2022-1
12、2-225下落水的体积下落水的体积 =流出水的体积流出水的体积于是列出微分方程于是列出微分方程dtghdhh23.032 初始条件初始条件10)0(h 另方面另方面,时间时间 dt 内从小孔流出水的体积等于内从小孔流出水的体积等于以以 S 为底，以为底，以(vdt)为高的小圆柱体积为高的小圆柱体积dthgdtgh23.0)26.0(5.0 2022-12-226经整理得经整理得dhhgdt2329.0 解得解得Chgt 255229.0 25100314.0,10)0(Ch得得由由Ch 250314.0)10(0314.02525ht 当水流完时，当水流完时，h=0)(10100314.025
13、st 2022-12-227平平面面上上单单参参数数曲曲线线族族是是设设0),(,0),(21 cyxGcyxF则则称称两两条条曲曲线线正正交交互互相相垂垂直直如如果果在在交交点点处处切切线线是是两两条条曲曲线线设设,21LL,0),(0),(21所所有有曲曲线线正正交交都都与与曲曲线线族族中中的的每每条条曲曲线线如如果果曲曲线线族族 CyxGCyxF.则则称称两两曲曲线线族族互互相相正正交交正交轨线问题正交轨线问题2022-12-228.0722曲曲线线族族的的正正交交求求曲曲线线族族例例 cxyx则则有有正正交交在在其其交交点点和和设设曲曲线线,)()(xgyxfy )(1)(xfxg 两
14、两个个曲曲线线族族表表示示上上述述和和用用),(),(cxgycxfy 思路：思路：2022-12-229C消消去去常常数数Cxyx 22xyxC22 xyxydxdy222 方方程程这这是是已已知知曲曲线线族族的的微微分分:),(的的切切线线斜斜率率首首先先计计算算cxfy yxCdxdy22 2022-12-230:方方程程是是从从而而正正交交曲曲线线族族的的微微分分222xyxydxdy 022 cyyx这就是正交曲线族！这就是正交曲线族！通解通解2022-12-231xoy022 cyyx022 cxyx392022-12-232,:10下下落落的的物物体体以以初初速速质质量量等等于于
15、练练习习vm假假设设空空气气阻阻力力;)1(与与速速度度成成正正比比.)2(与与速速度度平平方方成成正正比比.试求物体运动规律试求物体运动规律:定定律律列列方方程程用用Newton解解 0)0()1(vvkvmgdtdvm 022)0(,0)0(vSSdtdSkmgdtSdm或者或者2022-12-233 02)0()2(vvkvmgdtdvm 0222)0(,0)0()(vSSdtdSkmgdtSdm或者或者2022-12-234%.102,50,:2小小时时后后损损失失克克已已知知初初始始质质量量等等于于现现存存数数量量成成正正比比度度与与其其某某放放射射性性物物质质的的衰衰变变速速练练习习;4)1(小小时时后后该该物物质质的的质质量量求求.)2(一一半半的的时时间间该该物物质质衰衰变变到到原原有有质质量量列列方方程程kmdtdm 0 kmdtdm即即)(半半衰衰期期解解2022-12-235ktCetm )(初值条件初值条件50)0(m50 C4510)0()0()2(mmm053.09.0ln21 kT 设半衰期设半衰期tetm053.050)(2550)(053.0 TeTm则则T由由此此确确定定通解通解
