1、2022-12-21 第二十一讲第二十一讲 简单常微分方程简单常微分方程(一一)一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程2022-12-22 十七世纪末，力学、天文学、物理十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量学及工程技术提出大量需要寻求函数需要寻求函数关系关系的问题。在这些问题中，函数关的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即系式，即微分方程微分方程，然后
2、由微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。和某些已知条件把未知函数求出来。一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念2022-12-23.,.,1求求小小球球的的运运动动规规律律松松手手使使小小球球摆摆动动小小球球拉拉开开一一个个小小角角度度将将线线的的长长度度等等于于线线的的另另一一端端系系在在墙墙上上系系在在线线的的一一端端的的小小球球一一个个质质量量为为例例lmo重力重力切向分力切向分力 解解).(tv设设小小球球线线速速度度为为 sin:1mgF 切切向向分分力力vF 2:阻阻力力2022-12-24根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,得到得到 sinmgvdtdvm
3、tddltv )(注意到注意到从而有从而有0sin22 lgdtdmdtd所所以以有有时时当当,sin,1 022 lgdtdmdtd,)(00 tt10 tdtd微分方程微分方程初始条件初始条件定解条件定解条件定解问题定解问题2022-12-25 定义定义1:含有未知函数的导数含有未知函数的导数的方程的方程 称为称为微分方程微分方程.未知函数是未知函数是一元函数一元函数,含有未知函数的含有未知函数的导数导数的微分方程称为的微分方程称为常微分方程常微分方程.未知函数是未知函数是多元函数多元函数,含有未知函数的含有未知函数的偏导数偏导数的微分方程称为的微分方程称为偏微分方程偏微分方程.022 l
4、gdtdmdtd例如例如2022-12-26阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形式式n)1(0),(nndxyddxdyyxF例如例如022 lgdtdmdtd二阶二阶 未知函数的导数的最高阶数称为未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶微分方程的阶.定义定义2:(微分方程的阶微分方程的阶)2022-12-27般般形形式式阶阶线线性性常常微微分分方方程程的的一一n 1110)()(nnnndxydxadxydxa)()()(1xfyxadxdyxann 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为方程称为线性微分方程线性微分方程.定义定义3:(线性与非线
5、性线性与非线性)不不是是线线性性方方程程的的称称为为是是一一阶阶非非线线性性微微分分方方程程例例如如ydxdy2 非非线线性性微微分分方方程程2022-12-28任任意意常常数数的的解解个个独独立立的的的的包包含含阶阶常常微微分分方方程程nn)1(),(1nCCxfy.)1()(,)1()(的的一一个个解解是是微微分分方方程程则则称称函函数数使使方方程程成成为为恒恒等等式式后后代代入入方方程程如如果果把把函函数数xyyxyy 定义定义4:(微分方程的微分方程的解解)称为微分方程的称为微分方程的通解通解.微分方程的微分方程的通解：通解：2022-12-29Akudtdu 一一阶阶微微分分方方程程
6、例例如如:是是一一个个解解函函数数ktekAtu )(单单参参数数函函数数族族对对于于任任意意常常数数,CktekAtu C)(是是微微分分方方程程的的通通解解)(ACkeACkekudtduktkt 2022-12-210微分方程的微分方程的特解：特解：一个常微分方程的一个常微分方程的满足定解条件满足定解条件的解的解称为微分方程的称为微分方程的特解特解通解有时也写成通解有时也写成隐式形式隐式形式0,),(,21 nCCCxyx 称为微分方程的称为微分方程的通积分通积分2022-12-211 1)0(:uAkudtdu一一阶阶微微分分方方程程定定解解问问题题例例如如ktekAtu C)(通通解
7、解1C)0(kAukA1C ktekAkAtu )(1)(特特解解2022-12-212 111100000),(nxxnnxxxxnnydxydydxdyyydxyddxdyyxF阶阶微微分分方方程程的的定定解解问问题题n有有n n个个定解条件定解条件2022-12-213 定义定义5:(积分曲线积分曲线 与积分曲线族与积分曲线族).),(0)()(方方程程的的一一条条积积分分曲曲线线它它的的图图形形称称为为该该常常微微分分隐隐式式解解或或是是一一元元函函数数都都是是一一个个常常微微分分方方程程的的每每一一个个解解 yx,Fxfy积分曲线族积分曲线族.),(称称为为积积分分曲曲线线族族平平面
8、面上上的的一一族族曲曲线线，对对应应于于通通解解xyCxfy 2022-12-214二、二、一阶常微分方程的一阶常微分方程的 初等积分法初等积分法 所谓初等解法所谓初等解法,就是用不定积分的方法求就是用不定积分的方法求解常微分方程解常微分方程.初等解法只适用于若干非常简单的一阶常初等解法只适用于若干非常简单的一阶常微分方程微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微以及某些特殊类型的二阶常微分方程分方程.2022-12-215(一一)变量可分离型变量可分离型(三三)一阶线性方程一阶线性方程)()(ygxfdxdy dyygdxxf)()(或或)()(xqyxpdxdy (二二)可化为可化为可分离变量可
9、分离变量(五五)全微分方程全微分方程0),(),(dyyxNdxyxM(四四)伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程(六六)积分因子积分因子2022-12-216解解方方程程例例 1dxdyyxy2231)2(dxxfdyyg)()(两边积分两边积分 dxxfdyyg)()(通解通解分离变量分离变量xydxdy2)1()()(yxfdxdy 这两个方程的共同特点这两个方程的共同特点是变量可分离型是变量可分离型(一一)分离变量法分离变量法2022-12-217dxxdyy21(1)(1)解解 dxxdyy2112lnCxy xydxdy2 两边积分两边积分分离变量分离变量1212CxCxee
10、ey 21,0 xCeeyy 时时当当21,0 xCeeyy 时时当当即即2022-12-218则则有有记记,C1Ce )0(2 CCeyx!0 也也是是方方程程的的解解注注意意：y(分离变量时分离变量时,这个解被丢掉了这个解被丢掉了!)!)也也可可以以等等于于零零故故C于是得到方程于是得到方程通解通解)(2RCCeyx xydxdy2 2022-12-2192231xdxydyy Cxy 3112212(2)解解分离变量分离变量两端积分两端积分,得得Cxy 3112通解通解dxdyyxy2231 !1,12也也是是方方程程的的解解即即注注意意：yy奇异解奇异解2022-12-220(二二)可
11、化为可化为可分离变量可分离变量xyxydxdytan 2 例例yxyxdxdy 3例例这两个方程的共同特点是这两个方程的共同特点是什麽什麽?)(xygdxdy 可化为可化为齐次型方程齐次型方程xyxydxdy 112022-12-221求解方法求解方法xyu 令令xuugdxdu )(dxduxudxdy 代代入入得得到到这是什麽这是什麽方程？方程？可分离变可分离变量方程！量方程！)(xygdxdy 齐齐次次型型方方程程xuy 即即2022-12-222:2的的解解例例xyu 令令uudxduxutan 分离变量分离变量xdxduu cot两端积分两端积分1|ln|sin|lnCxu 代代入入
12、得得到到则则,dxduxudxdy xyxydxdytan 2022-12-223取指数并且脱去绝对值取指数并且脱去绝对值)0(sin1 CCxxeuC由此又得到由此又得到)0()arcsin(CCxxy0,0:Cy所所以以可可以以有有也也是是原原方方程程的的一一个个解解注注意意通解通解)R()arcsin(CCxxy2022-12-224yxyxdxdy 3例例解解,xyu 令令uuxuu 11则则,xuuyuxy uuuxu 1212即即dxxduuuu12112 凑凑微微分分2022-12-225dxxuuuud121)12(2122 两端积分两端积分12lnln)12ln(21Cxuu
13、 得得2212xCuu 通解通解Cxxyy 2222022-12-226的的通通解解。求求例例)cos(4yxy 解解,uyx 令令1uy uucos1 则则dxudu cos1 dxuducos1 dxudu2sin22Cxyx 2cot通通解解2022-12-227)1()()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn 阶线性微分方程阶线性微分方程n)2(0)()()(1)1(1)(yxayxayxaynnnn非非齐齐次次齐齐次次(三三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程2022-12-228线线性性方方程程的的性性质质一一)(则则它它们们的的任任意意线线性性组组合合的的解解是
14、是线线性性齐齐次次方方程程与与如如果果,)2()()(21xyxy.,)2(21为为任任意意常常数数其其中中的的解解都都是是方方程程CC)()(2211xyCxyCy 性质性质1：必必有有零零解解。线线性性齐齐次次方方程程)2(性质性质2：。为为任任意意常常数数的的解解亦亦是是则则的的解解是是线线性性齐齐次次方方程程若若)(2)(,)2()(CxCyyxyy 性质性质3：2022-12-229.)2()()(,)1()(),(2121的的解解是是齐齐次次方方程程则则的的解解是是非非齐齐次次方方程程如如果果xyxyxyxy.)1()()(,)2()()1()(*的的解解是是非非齐齐次次方方程程则
15、则的的一一个个解解是是齐齐次次方方程程的的一一个个解解，是是非非齐齐次次方方程程如如果果xyxyxyxy 性质性质4：性质性质5：2022-12-2300)()()(xcyxbdxdyxa0)(yxpdxdy)()(xqyxpdxdy (1)如何解齐次方程？如何解齐次方程？非齐次非齐次齐次齐次可分离型！可分离型！0)(yxpdxdy标准形式：标准形式：什麽类型？什麽类型？一阶线性微分方程一阶线性微分方程2022-12-231分离变量分离变量dxxpydy)(dxxpcey)(是是p(x)一个原函数一个原函数不是不定积分！不是不定积分！齐次通解齐次通解解得解得注意：注意：齐次通解的结构：齐次通解
16、的结构：)(,0)()(11xCyyyxpyxy 则则通通解解零零解解一一个个非非的的是是设设2022-12-232)1()()(xqyxpdxdy (2)(2)用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假定假定(1)的解具有形式的解具有形式)()(1xyxCy 将这个解代入将这个解代入(1),经计算得到经计算得到)2(0)(yxpdxdy齐齐次次方方程程的的对对应应于于)1()()2(1)(xCyCeydxxp 的的通通解解为为2022-12-233）的的解解，（是是 2)(1xy0)()()()()(11 xyxCxpxyxC)()()()(11xyxCxyxC )()()()(1x
17、qxyxCxp 化简得到化简得到)()()(1xqxyxC dxxpexqxC)()()(即即2022-12-234积分积分CexqxCdxxp )()()(从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)的通解的通解)()()(dxexqCeydxxpdxxp非齐次通解非齐次通解)(000)()(xxdxxpdxxpdxexqCeyxxxx或或2022-12-235非齐次通解的结构：非齐次通解的结构：的的通通解解为为则则的的一一个个解解是是通通解解的的是是设设)1(,)1()()()(,)2(0)(xqyxpyxyyxpyy )()(xyyxy 000)(yCyxy 得得给给特解特解)(000)(
18、0)(xxdxxpdxxpdxexqyeyxxxx非齐次特解非齐次特解2022-12-236的的通通解解。求求例例)1(15 yy解解的的一一个个解解易易知知)2(0 yy.)1(1)(的的一一个个解解是是观观察察出出 xy1)()1(xCexy的的通通解解,)(1xexy .)2(xCey 的的通通解解2022-12-237dyeyydxxdyy26 例例这是线性方程吗？这是线性方程吗？是关于函数是关于函数 x=x(y)x=x(y)的一阶线性方程！的一阶线性方程！解解 变形为：变形为：yyeyxdydx 第一步第一步:先求解齐次方程先求解齐次方程0 yxdydx齐次方程通解是齐次方程通解是)R(CCyx ydyCexydyxdx 2022-12-238第二步第二步:用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为假设非齐次方程的解为yyCx)(代入方程并计算化简代入方程并计算化简yyeyCyCyCy )()()(yeyC )(积分得积分得CedyeyCyy )(通解通解yyeCyx
