1、6.2 一阶微分方程一阶微分方程一、一、一、一、形如形如)()(ygxfdxdy这类方程的解法是：首先把原方程改写成这类方程的解法是：首先把原方程改写成)0)()()(ygdxxfygdyxy即把变量即把变量和和分离开来，然后两边积分分离开来，然后两边积分 dxxfygdy)()(即可得到原方程的通解即可得到原方程的通解 例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydyCxylnln2.2为所求通解为所求通解xcey 例例2 求微分方程求微分方程 22yxyxyxdxdy满足初始条件满足初始条件 2|0
2、xy的特解的特解 解解 原方程可化为原方程可化为dxxxdyyy2211两边积分得两边积分得Cxyln21)1ln(21)1ln(2122Cxyln)1ln()1ln(22)1(122xCy由初始条件由初始条件 2|0 xy得得5C故方程的特解故方程的特解4522 xy齐次微分方程齐次微分方程 形如形如)(xydxdy的方程称为齐次微分方程的方程称为齐次微分方程解这类方程，可先进行变量代换，令解这类方程，可先进行变量代换，令 xyu 即即 uxy，将，将 uxy 两边对两边对x求导数，求导数，有有 dxduxudxdy代入微分方程得代入微分方程得)(udxduxu分离变量后分离变量后 xdxu
3、udu)(两边积分两边积分 xdxuudu)(求出积分后，再用求出积分后，再用 xy代替代替 u便得到原齐次方程通解便得到原齐次方程通解 例例3 求微分方程求微分方程 xyxydxdytan的通解的通解 解 这是一个齐次微分方程，令 xyu 得得 uudxduxutan即即udxduxtan分离变量，得分离变量，得xdxudu cot两边积分，得两边积分，得CxulnlnsinlnCxu sinCxxysin例例4 求微分方程求微分方程 的特解的特解yxxyy2)1(,y uxyuudxduxu1xdxudu xdxudu22Cxuln22Cxxyln222把初始条件把初始条件 2|1xy代入
4、上式，得代入上式，得 4C于是齐次方程的特解为于是齐次方程的特解为 2224ln2xxxy例例5 求解方程求解方程2)(yxdxdy解解 令令yxz则则dxdydxdz1代入原方程得代入原方程得21zdxdzdxzdz21Cxzarctan故原方程通解为故原方程通解为Cxyx)arctan()()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCd
5、xxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.非齐次方程非齐次方程).()(xQyxPdxdy 如果如果)(xP和和)(xQ不成比例，非齐次方程不成比例，非齐次方程 就不是可就不是可 分离变量的方程分离变量的方程 用所谓的常数变易法来求线性非齐次方程用所谓的常数变易法来求线性非齐次方程的通解的通解 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPd
6、xxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 求解微分方程求
7、解微分方程 xexydxdysincos解解 xxPcos)(xexQsin)()(sinsinsinsincossincosCxeCdxeeeCdxeeeyxxxxxdxxxdx例例3 若若 20)()(xxfdtttfx求求)(xf解解 利用上限函数的性质，两边求导得：利用上限函数的性质，两边求导得：xxfxxf2)()(且且 0)0(f令令)(xfy xyxy2xxyy2221221221221221222)2()(xxxxxdxxxdxCeCeeCdxxeeCdxexey伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为
8、线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.三、伯努利方程时，时，当当1,0 n时，时，当当1,0 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.),()(1xQyxPdxdyynn ，得，得两端除以两端除以ny,1 nyz 令令),()1()()1(xQnzxPndxdz )()(1111xQyxPdxdynnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,2122xzxdxdz,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得同除以ny例例 3242xyxdxyd222xyxdxyd例例4 4
9、 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy 解解:2得令yz,22xxexzdxdz222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx 2222xxexydxdy;)(sin1.22xyxyxdxdy 解解 原式可化为原式可化为,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin12zdxdz,42sin2Cxzz 分离变量得分离变量得所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy )(sin12xydxdyxy;1.3yxdxdy 解解,uyx 令令,1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量得分离变量得,)1ln(Cxuu 代回将yxuCyxy)1ln(另解另解.yxdydx 方程变形为方程变形为谢谢观看！2020
