1、第四节第四节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程)()(xfyn一、一、型的微分方程型的微分方程二、二、型的微分方程型的微分方程三、三、型的微分方程型的微分方程),()1()()(nknyyxfy),()1()()(nknyyyfy一、一、型型)()(xfyn21)2(1)1()()(cdxcdxxfycdxxfynn 同理可得特点特点 方程右边仅含有方程右边仅含有x方法方法 两边积分两边积分例题例题1 p351 代入原方程代入原方程,得得解法：解法：特点：特点：.,)1(kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数)()(xPyk 令令.,)()()1(knnkPyPy 则则).(,),(
2、,()1()(xPxPxfPknkn P(x)的的(n-k)阶方程阶方程),(xP求得求得,)()(次次连续积分连续积分将将kxPyk 可得通解可得通解.),()1()()(nknyyxfy二、二、型型.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程代入原方程,0 PPxxCP1 解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 1)(ypy 设设,dydPpdxdydy
3、dpy 则则阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()(nyP求得其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为,),(11nnCxCCydy 特点：特点：.x右端不显含自变量右端不显含自变量解法：解法：,)(2222dydPPdyPdPy ,),()(11 nCCyyPdxdy),()1()()(nknyyyfy三、三、型型.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得,02 PdydPPy,0)(PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy
4、 例例 2特点特点.0),(,),()1()1(nnyyyxdxdxyyyx即即的导数的导数对对左端恰为某一函数左端恰为某一函数解法：解法：类似于全微分方程可降低一阶类似于全微分方程可降低一阶,),()1(Cyyyxn 再设法求解这个方程再设法求解这个方程.四、恰当导数方程四、恰当导数方程.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解将方程写成将方程写成,0)(yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即积分后得通解积分后得通解.212CxCy 注意注意:这一段技巧性较高这一段技巧性较高,关键是配导数的方程关键是配导数的方程.例例 3特点：特点：解法：解法：),(),()()(nknyyy
5、xFttyy ttyxF 次次齐齐次次函函数数k zdxey可通过变换可通过变换).(,xz得新未知函数得新未知函数将其降阶将其降阶,zdxzey,)(2 zdxezzy,),()1()(zdxnnezzzy五、齐次方程五、齐次方程,zdxke代入原方程并消去代入原方程并消去阶方程阶方程的的得新函数得新函数)1()(nxz.0),()1(nzzzxf.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解,zdxey设设代入原方程代入原方程,得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解为解其通解为.1212)1(xCdxxCxxeCey 原方程通解为原方程通解为例例 4 五、小结五、小结解法解
6、法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子,0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 例例 5另解另解原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy .2的通解的通解求方程求方程yyyxyxy 解解,zdxey设设，zxz ,xCz 解解其其通通解解为为.212xCCxdxeCey 原方程通解为原方程通解为代入原方程代入原方程,得得补充题补充题:思考题
7、思考题 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解.思考题解答思考题解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xCeCx 122231yyCyyCy 一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解:1 1、xxey ；2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(；4 4、0122 yyy.二、二、求下列各微分方程满足所给初
8、始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy.三、三、试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(M且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ；2 2、21)cos(lnCCxy ；3 3、12)arcsin(CeCyx ；4 4、xCxCy2111 .二、二、1 1、22xxy ；2 2、)1ln(1 axay；3 3、4)121(xy.三、三、121613 xxy.
