1、（习（习 题题 课）课）第四章 不定积分习题课 最常用的积分方法有三种：（一）逐项积分法逐项积分法；（二）换元法换元法（三）分部积分法分部积分法。若被积函数为有理函数，三角函数有理式及简 单无理函数等特殊类型的函数，还可采用一些特定有效的积分法。4.1.1逐项积分法逐项积分法 此法是把被积函 数分解为若干项之和，然 后根据积分基本公式逐项积分的方法。dxxxdxxxdxcos1sincos1cosx1sinxx 1 例dxxxxdxxx2222cos22cos2sin2cos2dxxtgdxxx22sec212dxxtgxxdtgdxxtgxdxx22222sec2cxxtgdxxtgdxxt
2、gxxtg2222xx22cossindx 2 例dxxxxx2222cossincossin xsindxcosdx 22xcctgx-tgx4.1.2 换元积分法换元积分法 此法是把原积分变量换为另一积分量，从而把被积函数化成积分公式表中的形式来进行积分。它是通过x=(u)的关系，利用下列等式进行积分的.).()()(udufdxxf法。的积分，属第二类换元代入，化为对新变量右应用此式，是以第一类换元法。从左向属变性来求积分的方法，际上是利用微分形式不从右向左应用此式，实u )(ux第一类换元法 .1baxu .10换元公式一次代换法：duufadxbaxf)(1)(b20axu .2二次
3、代换法：换元公式duufaxdxbaxf)(21)(2用函数的微分此法比较灵活，需对常凑微分法：.30形式很熟悉。,sinmx cos ,sinmxsin 40nxdxnxdx形如差公式进行变换。的积分，可利用积化和 cosmx cos xnxdx奇数时，利用为且当形如m ,xdx cos ,sin .5mm0 xdx进行变换。或公式 sincos-1 cossin-1 2222xxxx奇数时，可偶且当形如m ,xdx cos ,sin .6mm0 xdx降幂后再进行积分。倍角的三角函数,化为.)e(1dxI 1 2x求例dxeexx2x2x)e(11)e(1dxI 解dxeeedxxxx2)
4、1(1dxeededxexxxx2)1()1(1ceeeedxedxxxxx11)1ln(111)1(dxxx53cossin 2 求例xdtgxtgxdxxxdxxx323353coscossincossin 解分法）第一类换元法也称凑微(.414cxtgxdxxb21222)(a 3 求例)(a)(a21)(a22221222221222xbdxbbxdxxb解.3)()(a322123222232222CbxbaCxbbdxxx)1(xarctg 4求例dxxx)1(xarctg解)(2xarctgdxarctgxdxxarctg2)(12此题用了两次凑微分）(.)(2Cxarctgdx
5、xx11lnx-11 6 2求例解dxxx11lnx-112)11ln(11ln21xxdxxcxx)11(ln412.bax)baxf(.1nn0tdx的积分，采用代换形如第二类换元法.,sin)af(.2220taxdxx的积分，采用代换形如.costax 或,tan)af(.3220taxdxx的积分，采用代换形如.ashtx 或acht.x sec )xf(.4220或的积分，采用代换形如taxdxa换。的代换形式称为三角代0004,3 ,2.)f(e .5x0 xetdx的积分，采用代换形如dxx222)1(xI 7 求例，但比较麻烦。函数的积分法进行积分解：此积分可用有理tdt2s
6、ecdx tgt,x令tdtdtttt2422sinsecsectgIdtt22cos1ctt)2sin21(21cttt)cossin(21cxxarctgx)1(212dxx-axaI 8 求例dxxaxa222)(解taxsin 令tdtattcoscos)sin1(22cttadtta)cos()sin1(.arcsin22cxaaxa4.1.3 分部积分法公式分部积分法公式 vduuvudv易积出比易求得；：的选择，其原则有二关键是dvdvuuvdu (2)v)1(,为多项式）（：的选择可按下列规虑、一般p(x)dvu时，）、）、被积函数为 cosP(xsinx P(xP(x)e .
7、1ax0 xdx22ax 9 求例解dx22axdxaxxxaxx2222dxaxaaxaxx2222222dxxx)cossin(edv P(x)u at、或、选时，、（、（被积函数为 ln)()arcsin).20 xxParctgxxPxxPP(x)dx.dv ,lnx arctgx arcsinx u 、选的选择、时，、被积函数为dvubxebxeaxax cos sin.30.的函数类型应该一致、可以任意，但两次选择dvuxxuxxnnnn110cossin cos sin4、时，选、当被积函数为dxcosxsinx(dv）或述类型时，也常用分部当被积函数不是以上所 50.的划分原则
8、不变、积分法，其dvudxxx)1ln(102求例dxdv )x1ln(1u2设解dxxxxxxxxxdxxx2222111)1ln()1ln(dxxxxxx221)1ln(22212)1()1ln(xxdxxxcxxxx221)1ln(dxxI232arctgx)1(xe 11求例)(1x2arctgxedxI解2322)1(1xdxeexxarctgxarctgx)(11122arctgxarctgxedxexxarctgxarctgxexexx22111dxxxearctgx232)1(cexxarctgx21121I .1I 122n的递推公式建立例xxdxn则解令 ,secdx tg
9、x,x2tdtdttttgtnsecsecI2ndttntgsectdtt1ntgtgtsecttdtsectg11ndtttgtnttgtnn231sec)1(secsecsec)1(sec21dtttgtdtttgtnttgtnnn)(1(1112nnnIInxx212n12)1(1I nnInnxnxdx22ax 9 求例解dx22axdxaxxxaxx2222dxaxaaxaxx2222222dxaxadxaxaxx2222222dx22ax.)ln(22122222Caxxaaxx要解决有理函数的积分实质是有理函数积分法 414即：解为四种最简分式而有理真分式总可以分有理真分式的积分
10、法,.lna-xAdx 10caxA.)(11a)-(xAdx 21n0caxnAn)04p ,3220qdxqpxxNMx（dxqpxxNMpMpMxdxqpxx2222NMx 解dxqpxxpxMdxqpxxMpNdxqpxx2222222MpMx qpxxqpxxdMpqpxdx2222)(24)2()2Mp-(N222)4()2()2()2Mp-(NpqpxpxdcpqpxarctgpqMpNqpxxM4242)ln(2222)04(p )(xNMx 4220qdxqpxndx )(xM2Np-p2x2M)(xNMx 22nnqpxdxqpx解 )(xdx)2()(xp2x 2M 22
11、nnqpxMpNdxqpx第一个积分,1)(x)(xp2x 122cnqpxdxqpxnn第二个积分npqpxdxqpxxdx4)2()(222 .44)2(22npqpxdx224p-4q ,2p xau令如则第二个积分就化为形nnauduI)(22公式这个积分导出它的递推的积分，现在我们要对nnauduuauaaudu)()(1)(222222221222)(1nauduanauduua)(122221222221222)()(21)(1nnauauudaaudua12221222)(1(21)(1nnaunuaaudua1222)()1(211(1nauduna1222122)(1(2)
12、(11nnaunauaudun12221222)()1(232)(1(2nnaudunanaunau)()32()()1(211221222nnaudunauuna得递推公式：).2,3,(n,)32()()1(2111222nnnInauunaI,1221cauarctgaauduIcauarctgaauuaIauuaI1212122212222)(41322223IauuaI决了。型的积分问题就完全解从而第04种：有理函数、对数函数的原函数不外乎三由上述结果可知，有理函数、反正切函数。.)104(2x35x 13 22dxx求例dudx ),42(u 1042x 22 x.u,1 x ,1
13、 则即令ux于是.4)1(252x2 1042x 222xxx）（解duuudduuudxx2222222)4()4(85)4(8541)104(2x35x.)4(222udu右边第一个积分1222241)4()4(cuduuud2222)2214(81)4(cuarctguuudu公式，得第二个积分，应用递推cuarctguuudxxxx)2214(41)4(85)1042(3522224.1.5 三角函数的有理式的积分法三角函数的有理式的积分法)c(c .281)4(852212ccuarctguu即得代入,1 xucxarctgxxxdxxxx2181)52(872)1042(35222
14、x这时，的积分，可用代换（形如,2)cos,sinutgdxxxR,u12dudx ,11cosx ,12sin2222uuuux函数的积分。就可将原积分化为有理4.1.6 简单无理函数的积分法简单无理函数的积分法理化，的代换，将无理函数有其基本方法是通过适当简单无理函数的积分，分。从而化为有理函数的积的积分（或（形如、)dcxbax x,R ,)bax x,R 1ndxdxnt dcxbax t )bax nn或令的积分（形如dxcbx)ax x,R .22用三角先利用配方法，然后应一般对二次三项式 ax2cbx 数有理式的积分。函数代换法化为三角函56xdx 13 2x例4)3(562xx
15、x 2解4sec456 x 2sect,3 x22tx则设 ,42ttgtgtdt2sectdx tdttgttgtdttxsec2sec256xdx 2cxx)25623xln(ctgt)ln(sect2cx)56x3ln(x2dxlnsinxctgx 14 例dxdxlnsinxlnsinxlnsinxctgx ）（解xdsinlnlnsinx1cx sinlncxfxdfdx)(ln)(f(x)1f(x)(x)f 一般地，分子恰好是分母的分子恰好是分母的导数导数dxxxxxdxxsincossincos 2 .85x5-2x 1.2练习dx4x)(1x 15 例一是积分中常用的技巧之减分
16、子中加 1 1 dx4x)(11-1x 43)1(x)(1dx xdx43)1()1(x)(1x)d(1 xxdcxx32)1(31)1(21在凑微分法求积分时时，也要结合代数运算。在凑微分法求积分时时，也要结合代数运算。dxex11 16例dxeeexxx11 dxeexx1 dxxxeedx1)1(xxeedx1)1(cx)eln(1 xdxxln3x2e 求练习：将被积函数展开成代数和的形式，然后各项积分。将被积函数展开成代数和的形式，然后各项积分。dxxx)1)(1x 17（例dxxx)11x(x dxxdxxdxdx2123xcxxxx2122322152一题多解一题多解dxx234
17、x 18例2costdtdx 2sint,x 1令解法tdtttdxxcos2cos2sin84x 323dttt sin cos3232tdttcos)1(cos cos3222tdttcos)cos(cos3224ctt35cos332cos532cxx232252)4(34)4(51tdtxdx-,x-4 222 t令解法dttttdxxxdxx)()4(4x 4x 22223dtt)4(t24ctt353451cxx232252)4(34)4(51解法解法3 （凑微分法）（凑微分法）dxxxdxx 4x 4x 2223)4(4x 21-222xdx)4(4 4)x-(4 21222xd
18、x)4(4 4)x-(4 21222xdx)4(44)x-(4 2122232xdxcxx232252)4(34)4(51dxxa222x 19例tdt2asecdx t,tga x 1则设解法dttattgaattgadxxa222222222secx tdtttgseca22)(sec1seca22tdt12221secsecln211secsec21actttt1222222ln22caxaxaaaxaxaacxxaaxax22222ln22 2解法dxxa222x dxxaaa22222xdxxaadxxa2222222xax22xaxd)ln(222xaxadxxaxxax22222
19、)ln(222xaxa移项，除以移项，除以2,并加上任意常数并加上任意常数c,得得dxxa222x cxaxaxax)ln(2222222dxx411 20 例dxxx42211x1 21dxxdxx424211x 211x1 21dxxxdxx2222221x11 211xx11 21dxxxddx2)x1(x)1(212)x1-(x)x1-d(x 2122cxxxxxxarctg1212ln822142222xbx2222cossinatgxdx 20 例xdxbxtg2222secatgx dtgxbxtg222atgx 2222222)(21bxtgabxtgadacbxtgaa)ln(212222 再再 见见
