1、第六节复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 复习复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线)(xfy),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为,0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、
2、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(,)(,)(:tztytxzzzyyyxxx000,t上述方程之分母同除以得令,0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 TMM:的方程割线MM)(00 xxt此处要求)(,)(,)(00
3、0ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.)()(00yyt0)(00zzt如个别为0,则理解为分子为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 M不全为0,)(,)(,)(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数)(,)(,)()(ttttr,则 为 r(t)的矢端曲线,0t而在处的导向量)(,)(,)()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trTzyxo例例1.求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解:由于,sin
4、Rx0Ry kkz2,cosRy,kz),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在机动 目录 上页 下页 返回 结束),0,(kRT,故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxMxyz,且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ 时,可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1机动 目录 上页 下页 返回 结束)(,)(,100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线
5、方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或机动 目录 上页 下页 返回 结束 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求曲线0,6222zyxzyx在点M(1,2,1)处的切线方程与
6、法平面方程.MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF则即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz6机动 目录 上页 下页 返回 结束 6),(),(MyxGF)6,0,6(T法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即0 zx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxzzxyydddd解法解法2.方程组两边对 x 求导,得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1切线方程121zyx即0
7、202yzx法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0 zx点 M(1,2,1)处的切向量011机动 目录 上页 下页 返回 结束)1,0,1(T0),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(,)(,)(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0.则 在,)(,)(,)(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.)(,)
8、(,)(000tttTMT证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,)(,)(,)(:tztytx0)(,)(,)(tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(,)(,)(000tttT),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量n的平面上,从而切平面存在.n)(),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)(),(0000yyzyxFy0)(,(0
9、000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束)(),(000 xxyxfx曲面时,),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别,当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程机动 目录
10、 上页 下页 返回 结束,法向量法向量用2211cosyxff将),(,),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,)1,),(,),(0000yxfyxfnyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求球面3632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程)1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向
11、量令机动 目录 上页 下页 返回 结束)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n例例4.确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束,),(0000001yxzxzyn),(0002zyxn 21/nn,因此有20y20z21.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1)
12、参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0)(00zzt机动 目录 上页 下页 返回 结束)(,)(,)(000tttT切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2)一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zz机动 目录 上页 下页 返回 结束 T空间光滑曲面0),(:
13、zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)(),()(),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况.的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyx
14、fxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2)显式情况.法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束)1,(yxffn思考与练习思考与练习1.如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示:设切点为,),(000zyxM则223yx.求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 162 z(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点,),(000zyxM则通过此0zz)(0 xx
15、xzM)(0yyyzM2.设 f(u)可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为 1.证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证:曲面上任一点的法向量,1F,)()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束(n(l,0nl2.求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0)1()1(9
16、)1(16zyx024916zyx即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度l),(zyxP一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l(方向角为,)存在下列极限
17、:机动 目录 上页 下页 返回 结束 P记作记作,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明:由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 P故coscoscoszfyfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数,),(yxf为,)的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),
18、(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特别特别:当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角例例1.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量zyxu2,1,2(l3)的方向导数.,142cosPlu)1,1,1(146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:向量 l 的方向余弦为例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1
19、760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4,1(174cos1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设是曲面n在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得)1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 nn二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f
20、 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax1.定义定义,fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f(P)在点 P 处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动 目录 上页
21、下页 返回 结束 面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线.,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf)(321ccc设P同样,对应函数,),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为.gradPf,),(yxfz 对函数指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufg
22、rad)()(grad(5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()(gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)(rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)(机动 目录 上页 下页 返回 结束.)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模,r三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(gradPf(势)如:温度场,电位
23、场等如:力场,速度场等(向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证证:利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l(方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数),(yxf在点),(
24、yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l(方向角为yfxfcossin机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.梯度梯度 三元函数),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(,),(gradyxfyxffyx3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.思考与练习思考与练习1.设函数zyxzyxf2),(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度
25、梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .机动 目录 上页 下页 返回 结束,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1.(1)在点)3,4,1(1dd,dd,ddttztytx)1,1,1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数lM(1,1,1)处切线的方向向量)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgrad机动 目录 上页 下页 返回 结束 l cosMfgradl备用题备用题 1.函数)ln(222zyxu在点)2,2,1(M处的梯度Mugrad)2,2,1
26、(,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x,y,z 具有轮换对称性)2,2,1(2222,2,2rzryrx)2,2,1(92)2,2,1(92(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点Axd d2.函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu)1ln(x1x,21yd dAyu)11ln(2y0y,0(96考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束,)1,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21 第九章 第八节
27、第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法xyz一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明
28、:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.
29、若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,1(f,0A
30、xyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2)处不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0,0
31、(z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在(0,0)都有 02 BAC33yxz可能为0)()0,0()0,0(222yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,)(Pf为极小 值)(Pf为最小 值(大大)(大大)依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在
32、定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,Acos2224xx x224(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.)0,120:(2 xD为问怎样折法
33、才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外
34、,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz机动 目录 上页 下页 返回 结束,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx,)(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点
35、必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件),(zyxfu,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件x
36、F02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,30Vzyx2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示提示:)(
37、)(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等.内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法,),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.)
38、,(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103,0,0(21yx)0,0(14922yxyx则 ACABS2110321yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.)491()103(222yxyxF092)103(2xyx042)
39、103(6yyx049122yx646.1S,54,53yx,5.3,2CDSS点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx,得32zyx故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx机动 目录 上页 下页 返回
40、 结束 为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示提示:sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数目标函数:cos2cos22222dcdcbaba约束条件约束条件:dcba,abcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以机动 目录 上页 下页 返回 结束*第九节一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第九章 一、二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数)(xf的泰勒公式:20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(
41、10)1(!)1()(nnhnxxf)10(推广多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记号记号(设下面涉及的偏导数连续):),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示表示定理定理1 1.),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,),(00kyhx为此邻域内任 一点,则有),(),(000
42、0yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn)10(nR其中 称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:令),10(),()(00tktyhtxft则),()1(,),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得:),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx),(
43、200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地,),()()0(00)(yxfkhmyxm由)(t的麦克劳林公式,得)1()()1(!)1(1nn)10(将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.)0()0()0()0()(!1!21nn 机动 目录 上页 下页 返回 结束),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn说明说明:(1)余项估计式.因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,22k
44、h 令则有1)(!)1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(!)1(nnnM)1(max2 1,0 xx利用11)2(!)1(nnnM)(no2机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky)10(3)若函数),(yxfz 在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零,.),(常数yxf由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求函数)0,0()1ln(),(在点yxyxf解解:yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式.2)1(1
45、),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1(!2yxyxfpp)3,2,1,0(p444)1(!3yxyxfpp)4,3,2,1,0(p因此,)0,0()(fkhyx)0,0()0,0(yxfkfhkh机动 目录 上页 下页 返回 结束)0,0()(2fkhyx)0,0()(3fkhyx)0,0()0,0(2)0,0(22yyyxxxfkfkhfh)0,0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0,0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1()(41yxyx
46、ykxh)10(机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,具有极值二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A 0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2(充分条件)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由二元函数的泰勒公式,并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz2
47、0021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00机动 目录 上页 下页 返回 结束 22221kCkhBhA其中其中,是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是z),(21khQ)(22kh,很小时因此当kh.),(确定的正负号可由khQz(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,)()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可见,0),(,0khQA时当从而z
48、0,因此),(yxf;),(00有极小值在点yx机动 目录 上页 下页 返回 结束)(2o22221kkhh,0),(,0khQA时当从而 z0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则)(),(221kkBhAkhQA)(2BAC),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直线当时,有,0kBhAAkhQ与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy,0k有AkhQ与故),(同号.可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxxy),(00yxo机动 目录 上页
49、 下页 返回 结束+xy),(00yxo若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx对点,同号时当kh,0),(khQ,异号时当kh,0),(khQ可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhB2,0z从而,0z从而(3)当ACB2 0 时,若 A0,则21)(),(kBhAkhQA若 A0,则 B0,2),(kCkhQ可能),(khQ为零或非零机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时)(),(221okhQz因此 第十节 目录 上页 下页 返回 结束,)(,0),(2确定的正负号由时因为ozkhQ
50、不能断定(x0,y0)是否为极值点.第九章*第十节第十节问题的提出问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系 yf(x).,0(),(kyxkkoyx需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准)(iixfy 实验数据有误差,不能要求机动 目录 上页 下页 返回 结束),1n最小二乘法最小二乘法 oyx 偏差)(iiixfyr有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小 min)(20iinixfy为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f(x).最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求
