1、新奇的非欧几何世界新奇的非欧几何世界知识梳理知识梳理Non-Euclidean geometry Non-Euclidean geometry 非欧几里非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，得几何是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。曼几何这两
2、种几何。非欧几何非欧几何知识梳理知识梳理自从欧几里得提出第五公设（同一自从欧几里得提出第五公设（同一平面内一条直线和另外两条直线相交，平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交则这两直线经无限延长后在这一侧相交以来），一些数学家在思考第五公设能以来），一些数学家在思考第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于两千多
3、年的关于“平行线理论平行线理论”的讨论。的讨论。罗巴切夫斯基几何得来的背景罗巴切夫斯基几何得来的背景 知识梳理知识梳理到了十九世纪二十年代，俄国喀山到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，应用反证法，得出了两个重的过程中，应用反证法，得出了两个重要的结论：要的结论：罗巴切夫斯基几何的背景罗巴切夫斯基几何的背景知识梳理知识梳理第一，第五公设不能被证明。第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的
4、理论盾的新的定理，并形成了新的理论 。即。即罗氏定理，这是第一个被提出的非欧几罗氏定理，这是第一个被提出的非欧几何学。何学。知识梳理知识梳理罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用何平行公理用“从直线外一点，至少可从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行以做两条直线和这条直线平行”来代替，来代替，其他公理基本相同。其他公理基本相同。罗巴切夫斯基定理罗巴切夫斯基定理知识梳理知识梳理因此，凡是不涉及到平行公理的几因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，何命题，在欧式几何
5、中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。有新的意义。知识梳理知识梳理罗巴切夫斯基定理罗巴切夫斯基定理欧式几何：欧式几何：1 1、同一直线的垂线和斜线相交。、同一直线的垂线和斜线相交。2 2、垂直于同一直线的两条直线互相平行。、垂直于同一直线的两条直线互相平行。3 3、存在相似的多边形。、存在相似的多边形。4 4、过不在同一直线上的三点可以做且仅、过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。能做一个圆。知识
6、梳理知识梳理罗氏几何：罗氏几何：1 1、同一直线的垂线和斜线不一定相交。、同一直线的垂线和斜线不一定相交。2 2、垂直于同一直线的两条直线，当两端、垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。延长的时候，离散到无穷。3 3、不存在相似的多边形。、不存在相似的多边形。4 4、过不在同一直线上的三点，不一定能、过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。做一个圆。知识梳理知识梳理最先认识到非欧几何是一种逻辑上最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧式几相容并且可以描述物质空间、像欧式几何一样正确的新几何学的是高斯。但是何一样正确的新几何学的是高斯。但是高斯害怕这种理论
7、会遭到当时教会力量高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。非欧几何的诞生非欧几何的诞生C.F.GaussC.F.Gauss是是 德国德国著名数学家、物理学家、著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉，并他有数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟大的数被誉为历史上最伟大的数学家之一学家之一
8、。高斯的生平高斯的生平人物简介人物简介高斯从小表现出了很高的数学天赋，高斯从小表现出了很高的数学天赋，据载他据载他9 9岁时，用很短的时间计算出了小岁时，用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从学老师布置的任务：对自然数从1 1到到100100的求和。但是据更为精细的数学史书记的求和。但是据更为精细的数学史书记载，高斯所解的并不止载，高斯所解的并不止1 1加到加到100100那么简那么简单，而是单，而是81297+81495+.+10089981297+81495+.+100899（公差（公差198198，项数，项数100100）的一个等差数列。）的一个等差数列。人物简介人物简介在他
9、在他1919岁时，第一个成功地用尺规岁时，第一个成功地用尺规（没有刻度）构造出了规则的（没有刻度）构造出了规则的1717角形。角形。2424岁时之花了几个星期，用他的最小二乘法岁时之花了几个星期，用他的最小二乘法得到了谷神星的椭圆轨道，计算出了谷神得到了谷神星的椭圆轨道，计算出了谷神星的运行轨迹。从此高斯名扬天下。星的运行轨迹。从此高斯名扬天下。人物简介人物简介晚年的高斯，几乎每天到哥延根大学晚年的高斯，几乎每天到哥延根大学守旧派成立的文学会守旧派成立的文学会(高斯是会员高斯是会员)附属的附属的阅览室寻觅各种数据。如果某个学生正在阅览室寻觅各种数据。如果某个学生正在看的报是他所寻找的，高斯会一
10、直瞪着他看的报是他所寻找的，高斯会一直瞪着他直到对方递过来这份报纸。他因而被学生直到对方递过来这份报纸。他因而被学生戏称为戏称为“阅览室之霸阅览室之霸”。人物简介人物简介据说这一习惯对他从事投资活动据说这一习惯对他从事投资活动(主要主要是买债券，包括德国以外发行的债券是买债券，包括德国以外发行的债券)大大有裨益，他身后留下的财产几乎等于其年有裨益，他身后留下的财产几乎等于其年薪的薪的200200倍，说明他是个理财的好手。倍，说明他是个理财的好手。人物简介人物简介人物简介人物简介18261826年年2 2月月2323日，罗巴日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上，
11、宣读了他学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论的第一篇关于非欧几何的论文：文：几何学原理及平行线几何学原理及平行线定理严格证明的摘要定理严格证明的摘要。罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基这篇首创性论文的问世，标志着非欧这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯就连非欧几何的另一
12、位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工作。也不肯公开支持他的工作。人物简介人物简介晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，他不仅在学术上受到压制，而且在工作上他不仅在学术上受到压制，而且在工作上还受到限制。家庭的不幸格外增加了他的还受到限制。家庭的不幸格外增加了他的苦恼。他最喜欢的、很有才华的大儿子因苦恼。他最喜欢的、很有才华的大儿子因患肺结核医治无效死去，这使他十分伤感。患肺结核医治无效死去，这使他十分伤感。他的身体也变得越来越多病，眼睛逐渐失他的身体也变得越来越多病，眼睛逐渐失明，最后终于什么也看不见了。明，最后终于什么也看不见了。人物简介人物简介在身患重病，卧床不
13、起的困境下，他在身患重病，卧床不起的困境下，他也没停止对非欧几何的研究。他的最后一也没停止对非欧几何的研究。他的最后一部巨著部巨著论几何学论几何学，就是在他双目失明，就是在他双目失明，临去世的前一年，口授他的学生完成的。临去世的前一年，口授他的学生完成的。人物简介人物简介几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶学的同时，匈牙利数学家鲍耶雅诺什雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
14、鲍耶鲍耶雅诺什雅诺什非欧定理非欧定理人物简介人物简介他的父亲他的父亲数学家鲍耶数学家鲍耶法尔卡法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶耶雅诺什坚持为发展新的几何学而辛雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在勤工作。终于在18321832年，在他的父亲的年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。结果。人物简介人物简介黎曼，德国数学家，黎曼，德国数学家，物理学家物理学家 。黎曼可以说。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部是最先理解非欧几何全部意义的数学
15、家。他创立的意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几且显示了创造其他非欧几何的可能性。何的可能性。黎曼黎曼人物简介人物简介但他的理论仍难被同时代人理解。但他的理论仍难被同时代人理解。据说他在哥延根大学的演讲只有年迈的据说他在哥延根大学的演讲只有年迈的高斯听得懂。高斯听得懂。18461846年，按照父亲的意愿，年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父高斯关于
16、最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。亲的允许后，他改学数学。18471847年春，年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和克雷和SteinerSteiner门下。两年后他回到哥廷门下。两年后他回到哥廷根。后开创了黎曼积分。根。后开创了黎曼积分。人物简介人物简介黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在他在18511851年所作的一篇论文年所作的一篇论文论几何学论几何学作为基础的假设作为基础的假设中明确的提出另一种中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。的广阔
17、领域。知识梳理知识梳理黎曼几何黎曼几何 黎曼几何中的一条基本规定是：在黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点同一平面内任何两条直线都有公共点(交交点点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当的模型是一个经过适当“改进改进”的球面。的球面。知识梳理知识梳理近代黎曼几何在广义相对论里得到近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中
18、的空间几何就是黎曼几何。广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。念是相似的。知识梳理知识梳理此外，黎曼几何在数学中也是一个此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法
19、和复变函数也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。论等方面。知识梳理知识梳理1919世纪世纪7070年代以后，意大利数学家年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。示出非欧几何的现实意义。知识梳理知识梳理非欧几何的发展非欧几何的发展至此，非欧几何才真正获得了广泛至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。罗巴切夫斯基的独创性研究也的理解。罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为美，他本人则被人们赞誉为“几何学中几何学中的哥白尼的哥白尼”。人物简介人物简介谢谢欣赏！谢谢欣赏！
