1、第2课时等差数列的性质1.1.等差数列中项与序号的关系等差数列中项与序号的关系(1)(1)两项关系两项关系a an n=a=am m+(+(n-mn-m)d(m,nN)d(m,nN*)(2)(2)多项关系多项关系若若m+n=p+q(m,n,p,qNm+n=p+q(m,n,p,qN*)则则a an n+a+am m=a ap p+a+aq q.特别地特别地,若若m+n=2p(m,n,pNm+n=2p(m,n,pN*),),则则a am m+a+an n=2a2ap p.【思考】【思考】(1)(1)由由a an n=a=am m+(n-m)d(m,nN+(n-m)d(m,nN*)mn,)mn,如何
2、求出公差如何求出公差d?d?其其几何意义是什么几何意义是什么?提示提示:d=d=等差数列通项公式可变形为等差数列通项公式可变形为a an n=dn+=dn+(a(a1 1-d),-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点其图象为一条直线上孤立的一系列点,(n,a,(n,an n),),(m,a(m,am m)都是这条直线上的点都是这条直线上的点.d=.d=为直线的斜率为直线的斜率.nmaa.nmnmaanm人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 3人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 3(2)(2)如何证明若如何证明若m+n=p+q(m,n,p,qNm+n=p+q(m,n,p,qN*),)
3、,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q?提示提示:因为因为a am m=a=a1 1+(m-1)d,a+(m-1)d,an n=a=a1 1+(n-1)d.+(n-1)d.所以所以a am m+a+an n=2a=2a1 1+(m+n-2)d.+(m+n-2)d.同理同理,a,ap p+a+aq q=2a=2a1 1+(p+q-2)d,+(p+q-2)d,因为因为m+n=p+q,m+n=p+q,所以所以a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q.人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 3人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 32.2.等差数列的项的对称性
4、等差数列的项的对称性人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 3人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 33.3.由等差数列构成的新等差数列由等差数列构成的新等差数列(1)(1)条件条件aan n,b,bn n 分别是公差为分别是公差为d d1 1,d,d2 2的等差数列的等差数列人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 3人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 3(2)(2)结论结论 数列数列结论结论c+ac+an n 公差为公差为d d1 1的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数)cca an n 公差为公差为cdcd1 1的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数)a
5、an n+a+an+kn+k 公差为公差为2d2d1 1的等差数列的等差数列(k(k为常数为常数,kN,kN*)papan n+qb+qbn n 公差为公差为pdpd1 1+qd+qd2 2的等差数列的等差数列(p,q(p,q为常数为常数)人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 3人教A A版高中数学必修5 5同步数列3 34.4.等差数列的单调性等差数列的单调性等差数列等差数列aan n 的公差为的公差为d,d,(1)(1)当当d0d0时时,数列数列aan n 为为递增递增数列数列.(2)(2)当当d0d0,d0,递减等差数列递减等差数列d0,d0,d0,所以解得所以解得a=a=,d=,d
6、=,此等差数列为此等差数列为-1,2,5,8-1,2,5,8或或-8,-5,-2,1.-8,-5,-2,1.2222a3dadada3d94a3da3d18adad，7232类型三等差数列的应用类型三等差数列的应用角度角度1 1与其他知识的综合应用与其他知识的综合应用【典例】【典例】已知已知ABCABC的一个内角为的一个内角为120120,并且三边长构并且三边长构成公差为成公差为4 4的等差数列的等差数列,则则ABCABC的面积为的面积为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维【思维引】引】设三边长为设三边长为a-4,a,a+4,a-4,a,a+4,根据余弦定理列根据余弦定理列方程求值方程求
7、值.【解析】【解析】设设ABCABC的三边长为的三边长为a-4,a,a+4(a4),a-4,a,a+4(a4),则则 解得解得a=10,a=10,三边长分别为三边长分别为6,10,14.6,10,14.所以所以S SABCABC=答案答案:1515 222aa4a412a a42，136 1015 3.22 3角度角度2 2实际应用实际应用【典例】【典例】九章算术九章算术“竹九节竹九节”问题问题:现有一根现有一根9 9节节的竹子的竹子,自上而下各节的容积成等差数列自上而下各节的容积成等差数列,上面上面4 4节的容节的容积共积共3 3升升,下面下面3 3节的容积共节的容积共4 4升升,则第则第5
8、 5节的容积为节的容积为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()674737A.1B.C.D.664433升 升 升 升【思维【思维引】引】关键是构建数列模型关键是构建数列模型,明确此等差数列共明确此等差数列共九项九项,已知前已知前4 4项的和及后项的和及后3 3项的和求第项的和求第5 5项项.【解析】【解析】选选B.B.设该等差数列为设该等差数列为aan n,公差为公差为d.d.由题意得由题意得 1234789aaaa3aaa4，11113a4a6d32273a21d4d.66，即解得，513767a4.226666 所以【内化【内化悟】悟】解决数列实际应用问题解决数列实际应用问题,要关注哪些问题要
9、关注哪些问题?提示提示:(1)(1)认真领会题意认真领会题意,根据题目条件根据题目条件,寻找有用的信寻找有用的信息息.若一组数按次序若一组数按次序“定量定量”增加或减少时增加或减少时,则这组数则这组数成等差数列成等差数列.(2)(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题一定要分清首项、项数等关键的问题.【类题【类题通】通】1.1.解决数列综合问题的方法策略解决数列综合问题的方法策略(1)(1)结合等差数列的性质或利用等差中项结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)(2)利用通项公式利用通
10、项公式,得到一个以首项得到一个以首项a a1 1和公差和公差d d为未知数为未知数的方程或不等式的方程或不等式.(3)(3)利用函数或不等式的有关方法解决利用函数或不等式的有关方法解决.2.2.解决等差数列实际应用问题的步骤解决等差数列实际应用问题的步骤特别提醒特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄一定要弄清首项、项数等关键问题清首项、项数等关键问题.【习练【习练破】破】1.1.若关于若关于x x的方程的方程x x2 2-x+a=0-x+a=0和和x x2 2-x+b=0(ab)-x+b=0(ab)的的4 4个根个根可组成首项为可组成首项为 的等差数列的等
11、差数列,则则a+ba+b的值为的值为()14111331A.38 B.C.D.242472【解析】【解析】选选D.D.判断各个根对应数列的项数判断各个根对应数列的项数.因为每个方因为每个方程的两个根的和都为程的两个根的和都为1,1,故必有一个方程的根为故必有一个方程的根为 不妨设方程不妨设方程x x2 2-x+a=0-x+a=0的根为的根为 为等差数列的首为等差数列的首项项,为等差数列为等差数列4 4项中的某一项项中的某一项,由由x x2 2-x+b=0-x+b=0的两根的两根和为和为1,1,且两根为等差数列中的后且两根为等差数列中的后3 3项中的两项项中的两项,知只有知只有1344和，13
12、1.44 4和3434为第为第4 4项项,才能满足中间两项之和为才能满足中间两项之和为1 1的条件的条件,所以四根所以四根的排列顺序为的排列顺序为 所以所以a+b=a+b=15734 12 12 4，135731.441212722.2.古代中国数学辉煌灿烂古代中国数学辉煌灿烂,在在张邱建算经张邱建算经中记中记载载:“:“今有十等人今有十等人,大官甲等十人官赐金大官甲等十人官赐金,以等次差降以等次差降之之.上三人先入上三人先入,得金四斤持出得金四斤持出;下四人后入下四人后入,得金三斤得金三斤持出持出;中央三人未到者中央三人未到者,亦依等次更给亦依等次更给.问问:各得金几何各得金几何及未到三人复
13、应得金几何及未到三人复应得金几何?”?”则该问题中未到三人共则该问题中未到三人共得金得金_斤斤.【解析】【解析】设十人得金按等级依次设为设十人得金按等级依次设为a a1 1,a,a2 2,a,a1010,则则a a1 1,a,a2 2,a,a1010成等差数列成等差数列,且且 设等差数列设等差数列a a1 1,a,a2 2,a,a1010的公差的公差为为d,d,则则 12378910aaa4aaaa3，113a3d44a30d3，解得解得d=-,d=-,所以所以a a4 4+a+a5 5+a+a6 6=(a=(a1 1+a+a2 2+a+a3 3)+9d=.)+9d=.答案答案:7788326
14、8326【加练【加练固】固】方程方程f(x)=xf(x)=x的根称为函数的根称为函数f(x)f(x)的不动点的不动点,若函数若函数f(x)f(x)=有唯一不动点有唯一不动点,且且x x1 1=1 000,x=1 000,xn+1n+1=,n=1,2,3,n=1,2,3,则则x x2 0042 004等于等于()A.2 004A.2 004B.B.C.C.D.2 003D.2 003xa x2n11f()x4 00322 0052【解析】【解析】选选B.B.令令f(x)=x,f(x)=x,则则 =x,=x,因为因为axax2 2+(2a-1)x=0+(2a-1)x=0有唯一不动点有唯一不动点,则则2a-1=0,2a-1=0,即即a=,a=,所以所以f(x)=f(x)=x xn+1n+1=xa x2122xx2，nnnnn2x1111x1222f()xx12x，即即x xn+1n+1-x-xn n=(=(常数常数).).所以所以xxn n 是首项为是首项为1 000,1 000,公差为公差为 的等差数列的等差数列.所以所以x x2 0042 004=1 000+2 003=1 000+2 003 121214 003.22
