1、第1课时数列的基本概念 信心来自于实力，信心来自于实力，实力来自于努力！实力来自于努力！1数列的概念数列的概念按按排成的一列数叫做数列排成的一列数叫做数列2数列的通项公式数列的通项公式数列数列an的第的第n项项 与与n之间的关系可以用一个公式之间的关系可以用一个公式anf(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式一定次序一定次序an3数列与函数数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2，n)的函数，当自变量的函数，当自变量依次取值时对应依次取值时对应的一列函数值数列的通项公式
2、是相应函数的解析式，它的图像的一列函数值数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图像是是4数列的分类数列的分类(1)根据数列的项数可分为根据数列的项数可分为 、_(2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列；递增数列；递减数列；递减数列；摆动数列；摆动数列；常数列常数列从小到大从小到大一群孤立的点一群孤立的点有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列5递推公式递推公式如果已知数列如果已知数列an的第的第1项项(或前几项或前几项)，任一项，任一项an与它的与它的前一项前一项an1(或前几项或前几项)间的关系可以间的关系可以来表示，那来表示，那么这个公式就叫做
3、这个数列的递推公式么这个公式就叫做这个数列的递推公式用一个公式用一个公式常见数列的通项公式(1)1,2,3,4.2 1,3,5,7.4 9 1 6.(5)2,4,8,1 6,3 2.（）（3)2,4,6,8(4)1,，2 51 11(6)1.2 347010.2 3456(8),.3 815 2435(9)9,99,999,99999.，（）1，题型一题型一 归纳通项公式归纳通项公式例例2已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，求，求an的通项公式的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.(1)已知已知an的前的前n项和为项和为Sn，满足，满足log2(Sn1)n1，则，则an
4、_.思考题思考题2例3(1)在数列an中，a11，a25，an 2an 1an(nN*)，则a2 015等于_题型三题型三 数列的周期性数列的周期性5思考题思考题3题型四题型四 函数思想在数列中的应用函数思想在数列中的应用9或或10思考题思考题44考向二已知递推关系求通项考向二已知递推关系求通项【典例】【典例】(1)(2015(1)(2015江苏高考改编江苏高考改编)设数列设数列aan n 满足满足a a1 1=1,=1,且且a an+1n+1-a-an n=n+1(nN=n+1(nN*),),则数列则数列aan n 的通项公式为的通项公式为_._.【规规范范解答解答】(1)(1)由题意有由题
5、意有a a2 2-a-a1 1=2,a=2,a3 3-a-a2 2=3,=3,a an n-a-an-1n-1=n(n2).=n(n2).以以上各上各式相式相加加,得得a an n-a-a1 1=2+3+=2+3+n=+n=又又因为因为a a1 1=1,=1,所所以以a an n=(n2).(n2).因为当因为当n=1n=1时也满足此式时也满足此式,所所以以a an n=(nN(nN*).).答案答案:a an n=(nN(nN*)2n12nnn2.222nn22nn22nn2【一题一题多多解解】由由a an+1n+1-a-an n=n+1=n+1得得a an n=(a=(an n-a-an-
6、1n-1)+(a)+(an-1n-1+a+an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=n+(n-1)+(n-2)+=n+(n-1)+(n-2)+2+1+2+1=(nN(nN*).).答案答案:a an n=(nN(nN*)2nn22n n1nn22(2)(2017(2)(2017菏泽模拟菏泽模拟)已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,(n+1)a=1,(n+1)an n=nanan+1n+1,则数列则数列aan n 的通项公式的通项公式a an n=_.=_.(2)(2)由由(n+1)a(n+1)an n=na=nan+1n+1,可可得得所所以当以当n
7、2n2时时,将将以以上各上各式式累乘累乘求求得得 =n,=n,所所以以a an n=n,=n,而而n=1n=1也也适合适合.所所以数列的通项公式为以数列的通项公式为a an n=n.=n.答案答案:n n n 1nan1.an3nn 12n 1n 221aaaann132.an1 an2a2 a，n1aa【母题变式】【母题变式】1.1.若把典例若把典例(1)(1)中条件中条件“a an+1n+1-a-an n=n+1”=n+1”改为改为“a an+1n+1=2a=2an n+1”,+1”,则则a an n=_.=_.【解析解析】由题意知由题意知a an+1n+1+1=2(a+1=2(an n+
8、1),+1),所所以数列以数列aan n+1+1是以是以2 2为为首首项项,2,2为公比的等比数列为公比的等比数列,所所以以a an n+1=2+1=2n n,所所以以a an n=2=2n n-1(nN1(nN*).).答案答案:2 2n n-1(nN-1(nN*)2.2.若将典例若将典例(2)(2)中条件中条件“a a1 1=1,(n+1)a=1,(n+1)an n=na=nan+1n+1”改为改为“a a1 1=2,a=2,an+1n+1=”,”,如何求解数列如何求解数列aan n 的通项公式的通项公式?nn2aa2【解析解析】因为因为a an+1n+1=,a,a1 1=2,=2,所所以
9、以a an n0,0,所所以以又又a a1 1=2,=2,则则 所所以数列以数列 是以是以 为为首首项项,为公差的等差数列为公差的等差数列.所所以以所所以以a an n=.nn2aa2n 1nn 1n111111aa2aa2，即，111a2，n1a1212n1111nn1aa22，2n【技法点拨】【技法点拨】由递推关系式求通项公式的常用方法由递推关系式求通项公式的常用方法(1)(1)已知已知a a1 1且且a an n-a-an-1n-1=f(n),=f(n),可用可用“累加法累加法”求求a an n,即即a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an
10、-2n-2)+)+(a+(a3 3-a-a2 2)+(a)+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1.(2)(2)已知已知a a1 1且且 =f(n),=f(n),可用可用“累乘法累乘法”求求a an n,即即(3)(3)已知已知a a1 1且且a an+1n+1=qa=qan n+b,+b,则则a an+1n+1+k=q(a+k=q(an n+k)(+k)(其中其中k k可由待定可由待定系数法确定系数法确定),),可转化为等比数列可转化为等比数列aan n+k.+k.nn 1aa3nn 12n1n 1n 221aaaaaa.aaaa(4)(4)形如形如a an+1n+1=(A,B,C(A,B,C为常数为常数)的数列的数列,可通过两边同可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解时取倒数的方法构造新数列求解.提醒提醒:在利用在利用“累加法累加法”或或“累乘法累乘法”求通项公式时要注求通项公式时要注意消去了多少项意消去了多少项,保留了多少项保留了多少项.nnAaBaC
