1、函数的应用 （一）函数的概念产生于生产实践函数的概念产生于生产实践中，反过来它也可用来解决中，反过来它也可用来解决一些生产实践中的实际问题，一些生产实践中的实际问题，今天我们主要解决函数应用今天我们主要解决函数应用问题；问题；解函数应用题的方法和步骤：解函数应用题的方法和步骤：1。审题：。审题：（1）：设出未知）：设出未知 （2）：找出量与量的关系）：找出量与量的关系 2。建摸：建立函数关系式。建摸：建立函数关系式 3。求解：用数学方法解出未。求解：用数学方法解出未知知 4。回归实际：检验所求结果。回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答是否符合实际并作答 例例1 1：用长为用长为 1 1 的
2、的铁丝弯成下部为矩铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形形，上部为半圆形的框架，若矩形底的框架，若矩形底边长为边长为2 2x x，求此，求此框架的面积框架的面积 y y 与与 x x 的函数式，并写的函数式，并写出它的定义域出它的定义域。例题选讲：例题选讲：解之得，ABCDxO2x解解:设设AB=2xAB=2x，AD=aAD=a，则，则2x+2a+x=2x+2a+x=l 22xxlalxxxxxlxy22)22(2222022xxla由由2lx0 x得得且且 2(2)2ylxx 函数定义域是：函数定义域是：(0,)2lxxa2x练习：练习：有一块边长为有一块边长为 a a 的正方形铁皮，将的正方形铁
3、皮，将其四个角各截去一个其四个角各截去一个边长为边长为 x x 的小正方形的小正方形，然后折成一个无盖，然后折成一个无盖的盒子，写出体积的盒子，写出体积 V V 以以 x x 为自变量的函数为自变量的函数式，并讨论这个函数式，并讨论这个函数的定义域。的定义域。例例1.CDABO 如图如图,有一块半径为有一块半径为R的半圆形钢板的半圆形钢板,计成等计成等腰梯形腰梯形ABCD的形状的形状,它的下底它的下底AB是圆是圆O的直径的直径,底底CD的端点在圆周上的端点在圆周上.写出个梯形周长写出个梯形周长Y和腰长和腰长X的的函数关系式函数关系式,并求出它的定义域并求出它的定义域.分析分析:思考下列问思考下
4、列问题题 1.此题己知条件中出现了什此题己知条件中出现了什么样的新概念丶新字母么样的新概念丶新字母?它它们的含义是什么们的含义是什么?(钢板丶梯形丶半径钢板丶梯形丶半径R丶直径丶直径AB丶腰长丶腰长x丶周长丶周长y)3.要解决什么问题要解决什么问题?(写出函数解析式丶求出定义域写出函数解析式丶求出定义域)4.要写出周长要写出周长y,关键解决什么量关键解决什么量?(关键解决上底与腰长关键解决上底与腰长x丶半径丶半径R的关系的关系)2.在出现的新概念丶新字母中彼此之在出现的新概念丶新字母中彼此之间有什么联系和制约间有什么联系和制约(下底下底AB是圆是圆O的直径丶上底的直径丶上底CD的端点在圆周的端
5、点在圆周上丶周长上丶周长y与与下底下底AB(2R)丶两腰长丶两腰长x以及上底以及上底CD有关有关)CDABO解:如图,AB=2R,C丶D在圆O上,E设腰长AD=BC=x,作DE AB垂足为E.连结BD,那么ADB是直角由此,Rt ADE与Rt ABD相似所以 AD2=AE AB.即AE=x22R所以CD=AB-2AEx2 R=2R-,所以周长Y满足关系式:x2 R -+2x+4R即周长y和腰长x间的关系为y=Y=2R+2x+(2R-x2 R )=x2 R -+2x+4R因为因为ABCD是圆内接梯形是圆内接梯形,所以所以AD0,AE0,CD0,X0 x2 2R 0 x2 R 2R-0解这个不等式
6、组解这个不等式组,得函数得函数y的定义域为的定义域为x丨丨0 x R小结小结:该例的启示该例的启示:实实 际际问问 题题读读 懂懂问问 题题将问题将问题简单化简单化数学数学建模建模 解决解决问题问题基础基础过程过程关键关键目的目的思考：怎样裁剪所得的梯形周长最大？解解：在已经写出函数式 的基础上，利用二次函数的性质：即当 即当RxxRxRxy20422RRRRy5)1(424)1(42最大值,)1(22RRxABCDAB060例例3 3：如图：已知：如图：已知ABCDABCD是边长为是边长为a a的正方形，的正方形，在在ABAB，BCBC，CDCD，DADA上上分别取分别取E,F,G,HE,F
7、,G,H使使AE=BF=CG=DH=xAE=BF=CG=DH=x,连结连结E E，F F，G G，H H得正方形得正方形EFGHEFGH，设其面积为设其面积为S S，求，求S S关关于于x x的函数，并问当的函数，并问当E E位于何处时，面积位于何处时，面积S S最最小，最小值是多少？小，最小值是多少？HGFCDABE解：AEx，EB=a-x,EF2=EB2+BF222222()22EFaxxxaxa0,xa2222()222(),22aaS xxaxax2,.22aaxE F G H当时，即位于四边中点时面积最小，最小值为分析：关键要求出所得正方形的分析：关键要求出所得正方形的边长。边长。解
8、：解：AEx，EB=a-x,EF2=EB2+BF222222()22EFa xxxax a0,xa2222()222(),22aaS xxax ax当当 时，即时，即E，F，G，H2ax 位于四边中点时面积最小位于四边中点时面积最小,最小值为最小值为:22a例例4:如图，有长如图，有长20m铁丝网，若一边铁丝网，若一边靠墙，围成三个大小相等，紧紧相接靠墙，围成三个大小相等，紧紧相接的长方形，问每个小长方形长宽各多的长方形，问每个小长方形长宽各多少时，三个长方形总面积最大？并求少时，三个长方形总面积最大？并求出最大面积出最大面积。的端点的端点B B,作圆的切线作圆的切线.上任一点上任一点P P引
9、该切线的垂线，引该切线的垂线，垂足为垂足为M M，连结，连结APAP 设设AP=xAP=x(1)(1)写出写出AP+2PMAP+2PM关于关于x x的函数的函数关系式。关系式。从圆周从圆周(2)(2)求这个函数的最值。求这个函数的最值。例例5 5：如图：已知如图：已知的半径为的半径为R,R,由直径由直径ABABO O oDABMPx解：AEx，EB=a-x,EF2=EB2+BF222222()22EFaxxxaxa0,xa2222()222(),22aaS xxaxax2,.22aaxE F G H当时，即位于四边中点时面积最小，最小值为2,2xaR2()24xf xAPPMxRR(02)xR
10、解解:(1)过过P作作PD AB于点于点D,连结连结PB2=,2,AD axRa设则2,2xaR22.2xBD PMRR故=2()24xf xAPPMxRR(02)xR22117(2)()4()24xRRf xxRxRR 17R()24Rxf x当时，的最大值是，2()2xRf xR当时，的最小值是2()4,(02)17();242()2.xf xxRxRRRRxf xxRf xR 当时，最大值为当答：时，最小值为例例6.6.在底边在底边BC=60BC=60，高，高AD=40AD=40的的ABCABC中作内接中作内接矩形矩形MNPQMNPQ，设矩形的面，设矩形的面积为积为S S，MN=xMN=
11、x，写出，写出S S与与x x之间的函数关系式，并之间的函数关系式，并求定义域；求定义域；解：设解：设MN=xMN=x，NP=yNP=y，则由，则由xyyx3240404060由由60000 xyxxxxyS40322所以所以定义域是定义域是)60,0(当当 时时30 x600maxS值域是值域是600,0(小小 结结解决实际问题的步聚解决实际问题的步聚:实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象慨括抽象慨括数学建模数学建模推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解读出新概念丶新字母丶读出新概念丶新字母丶读出相关制约读出相关制约.在抽象在抽象.简化简化.明确变量
12、和明确变量和参数的基础上建立一个明参数的基础上建立一个明确的数学关系确的数学关系基础基础关键关键 例例4.建筑一个容积为建筑一个容积为8000m3,深为深为6m的长方体蓄水池的长方体蓄水池,池壁的造价为池壁的造价为a 元元/m2,池底的造价为池底的造价为2a 元元/m2,把总造价把总造价y(元元)表示为底的一边长表示为底的一边长 x(m)的函数的函数.1.此题己知条件中出现了此题己知条件中出现了什么样的新概念丶新字母什么样的新概念丶新字母?它们含义是什么它们含义是什么?2.在出现的新概念丶新字母中彼此之间有什么联系和制约在出现的新概念丶新字母中彼此之间有什么联系和制约?分析分析:思考下列问题思
13、考下列问题:(长方体长方体AC1丶蓄水池丶丶蓄水池丶池壁池壁(四周四周)丶池底丶池底ABCD丶丶造价丶底边长造价丶底边长x丶总造价丶总造价y.)(长方体长方体AC1的体积的体积=池底面积池底面积(SABCD)高高(AA1);池底面积池底面积=AB.BC=x.z;池壁面积池壁面积=2SABB1A1 +2SBCC1B1总造价总造价(y)=池底造价池底造价+池壁造价池壁造价)造价造价:1平方米所需的费用平方米所需的费用;ABCB1C1A1D1D3.要解决什么问题要解决什么问题?(写出函数关系式写出函数关系式)4.要求总造价要求总造价,关键要解决什么量关键要解决什么量?(关键是建筑总量关键是建筑总量,即池底面和池壁面积即池底面和池壁面积)5.这个畜水池有盖这个畜水池有盖(封顶封顶)吗吗?(无无)解解:设设AB=x(m),BC=z(m)AA1=6(m)(即池深为即池深为6m)根据题意有根据题意有:6xz=8000所以所以40003xZ=池壁的造价为池壁的造价为:池底的造价为池底的造价为:a (2x+2z)6=.40003x12a(x+),80003a 所以总造价为所以总造价为:.800062a=80003a40003xY=12a(x+)+xzABCB1C1A1D1D
