1、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系xyO怎么判断它们之间的位置关系？怎么判断它们之间的位置关系？问题问题1 1：直线与圆的位置关系有哪几种？：直线与圆的位置关系有哪几种？drd00=0几何法：几何法：代数法：代数法：问题引入问题引入2194x xyx相离相离相切相切相交相交相切相切相离相离问题问题2：直线与椭圆的位置关系有哪几种？：直线与椭圆的位置关系有哪几种？y相交相交椭圆与直线的位置关系的判断椭圆与直线的位置关系的判断判断方法判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的这是求解直线与二次曲线有关问题的通法通法判别式法判别式法判断0例例1.已知直线已知直线 和椭圆和椭圆 （1）当直线和椭圆
2、相交时，求实数）当直线和椭圆相交时，求实数 的取值范围；的取值范围；2yxm2222xym解：联立方程组解：联立方程组 消去消去 整理得整理得 因为直线和椭圆相交，所以因为直线和椭圆相交，所以 即即 解得解得 22222xyyxmy222 22()xxm2298220 xmxm0 22644 9220()mm 33m 典例精析典例精析一一.直线和椭圆位置关系及弦长问题直线和椭圆位置关系及弦长问题动动画画演演示示1、直线与圆相交的弦长、直线与圆相交的弦长(几何法）；几何法）；（代数法）联立解方程组（代数法）联立解方程组A（x1,y1）2、直线与椭圆相交的弦长、直线与椭圆相交的弦长B（x2,y2）
3、思考：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？思考：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？2121224)(1xxxxk221212()()ABxxyy221212()()()xxkxbkxb2121kxx12211AByyk借助借助韦达定理韦达定理求弦长求弦长dr2l或或21 xyx2+4y2=2解：联立方程组解：联立方程组消去消去y01452 xx0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，则原方程组有两组解则原方程组有两组解.-(1)（2）求直线求直线 被椭圆被椭圆 所截的弦长所截的弦长|AB|.跟踪练习跟踪练习1.已知直线已知直线 和椭圆和椭圆 ，（1）判断直线和椭圆的位置
4、关系）判断直线和椭圆的位置关系2242xy12yx12yx2242xy由韦达定理得由韦达定理得12124515xxxx 2|1|ABABkxx利用弦长公式求解：利用弦长公式求解：1、求椭圆、求椭圆 被过右焦点且垂直于被过右焦点且垂直于x轴轴 的直线所截得的弦长。的直线所截得的弦长。1422 yx通径通径ab222、中心在原点，一个焦点为、中心在原点，一个焦点为F（0，）的椭圆被）的椭圆被 直线直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆，求椭圆 方程。方程。50练习练习二二.与相交弦中点有关的问题与相交弦中点有关的问题例例2.已知直线已知直线 和椭圆和椭圆 2y
5、xm2222xy解：联立方程组解：联立方程组 消去消去 得得 整理得整理得22222xyyxmy222 22()xxm2298220 xmxm求直线与椭圆相交时，相交弦求直线与椭圆相交时，相交弦 中点中点 的轨迹方程；的轨迹方程；ABM由韦达定理得由韦达定理得1289mxx 设交点设交点 ，中点中点1122(,),(,)A x yB xy(,)M x y12121242929()xxmxyymyxxm 40 xy消参得消参得又由又由33m 4433x434430()xxy所以中点所以中点 的轨迹方程；的轨迹方程；M弦中点问题：弦中点问题：“点点差法差法”、“韦达定韦达定理理”遇到弦中点遇到弦中
6、点,两式减一减两式减一减;例题 已知椭圆 ，直线l:4x-5y+40=0。椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？221259xy解：由直线l的方程与椭圆 的方程可以知道，直线l与椭圆不相交（为什么？）。设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成 4x-5y+k=0由方程组 消去y，得 令方程的根的判别式 ，得 解方程得 由图可知，当k=25时，直线m与椭圆的交点到直线l距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0。直线l与直线间的距离d=所以，最小距离是224501259xykxy221259xy22258225 0 xkx k0 22644 25(225)0kk 1
7、225,25kk 或154141154141跟踪练习跟踪练习2.过点过点A(2,1)的直线的直线 与椭与椭 圆圆 相交，相交，求直线求直线 被椭圆截得的弦的中点被椭圆截得的弦的中点M的轨迹方程的轨迹方程.ll2222xy1.已知椭圆已知椭圆 ，过点过点 且且被被 点平分的弦所在的直线方程点平分的弦所在的直线方程.1 12 2(,)PP2222xy 例例3.已知直线已知直线 与椭圆与椭圆 ，求证，求证 与椭圆恒有公共点与椭圆恒有公共点.22154xyxy552-2法一：法一：用判别式法（代数法）用判别式法（代数法）1 1法二：法二：由于直线由于直线L过定点过定点 （0，1）在椭圆内，故）在椭圆内
8、，故L 与椭圆相交。与椭圆相交。三三.直线和椭圆位置关系的应用直线和椭圆位置关系的应用数形结合数形结合10:()lykxkR l变式练习变式练习分析：依题意知直线过定点（分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在且点在 椭圆上或内部，即椭圆上或内部，即 且且5m 220115m2.直线 与椭圆 的位置关系是 .22194yx1.直线 与椭圆 总有公共点，则的取值范围是 .1()ykxkR2215yxm1ykxk1.直线与椭圆位置问题的有关知识点直线与椭圆位置问题的有关知识点:知识点一知识点一:直线与椭圆直线与椭圆交点个数交点个数问题；问题；知识点二知识点二:有关曲线的有关曲线的弦长问题弦长问题
9、；知识点三知识点三:有关有关弦中点弦中点问题问题(求中点弦所在直线方程和弦求中点弦所在直线方程和弦的中点轨迹方程的中点轨迹方程)；2数学思想：数学思想：判别式法判别式法,韦达定理韦达定理,点差法点差法,数形结合数形结合,函数与方程函数与方程,等价转化等。等价转化等。归纳与小结归纳与小结遇到弦中点遇到弦中点,两式减一减两式减一减;若要求弦长若要求弦长,韦达来帮忙韦达来帮忙.1.已知椭圆 ，过点M(2,1)作弦AB，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程.并求弦长|AB|.课后练习课后练习221164yx 2.直线l：y=x+4与椭圆 相离，求实数b的取值范围.2214yxb3.己知椭圆C:,直线 ,问k取何值时直线与椭圆相交?相切?相离?221169yx35()yk x
