1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四学点五学点五返回返回 1.1.设直线设直线l l经过点经过点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),),斜率为斜率为k,k,则直线则直线l l的方程的方程 为为 ,该方程叫做该方程叫做l的的 方程方程.2.2.设直线设直线l l在在y y轴上的截距为轴上的截距为b,b,斜率为斜率为k,k,则直线则直线l l的方程的方程为为 ,该方程叫做该方程叫做l l的的 方程方程.3.3.设直线设直线l l经过两点经过两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)(x)(x1 1xx2 2，y y1
2、1yy2 2),),则直线则直线l l的方程为的方程为 ,该方程叫做该方程叫做l l的的 方程方程.4.4.设直线设直线l l在在x x轴上的截距为轴上的截距为a(a0),a(a0),在在y y轴上的截距为轴上的截距为b(b0),b(b0),则直线则直线l l的方程为的方程为 ,该方程叫做该方程叫做l l的的 方程方程.5.5.直线的一般式方程为直线的一般式方程为 .y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1)点斜式点斜式y=kx+by=kx+b斜截式斜截式两点式两点式截距式截距式Ax+By+CAx+By+C=0(A=0(A2 2+B+B2 20)0)121121-xxx-x-yyy-y
3、 1byax返回返回 返回返回 学点一学点一 直线的点斜式方程直线的点斜式方程求倾斜角为直线求倾斜角为直线y=-x+1y=-x+1的倾斜角的一半且分别满的倾斜角的一半且分别满足下列条件的直线方程足下列条件的直线方程:(1)(1)经过点经过点(-4,1);(-4,1);(2)(2)在在y y轴上的截距为轴上的截距为-10.-10.【分析【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率，通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率，再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.3返回返回【评析】将直线的方程求出后【评析】将直线的方程求出后,为了统一答案的形式为了统一答案的形
4、式,如如果没有特别要求果没有特别要求,都将直线的方程化为都将直线的方程化为Ax+By+CAx+By+C=0=0的形式的形式.【解析【解析】直线直线y=-x+1y=-x+1的斜率为的斜率为 ,可知此直线的可知此直线的倾斜角为倾斜角为120120,由题意知所求直线的倾斜角为由题意知所求直线的倾斜角为6060,故故所求直线的斜率所求直线的斜率k=.k=.(1)(1)由于直线过由于直线过(-4,1),(-4,1),由直线的点斜式方程得由直线的点斜式方程得 y-1=(x+4)y-1=(x+4)，即，即 x-y+1+4 =0.x-y+1+4 =0.(2)(2)由于直线在由于直线在y y轴上的截距为轴上的截
5、距为-10,-10,所以由直线的斜截所以由直线的斜截式方程得式方程得y=x-10,y=x-10,即即 x-y-10=0.x-y-10=0.33333333返回返回 分别求出经过点分别求出经过点P(3,4)P(3,4)且满足下列条件的且满足下列条件的 直线方程直线方程,并画出图形并画出图形:(1)(1)斜率斜率k=2;k=2;(2)(2)与与x x轴平行轴平行;(3)(3)与与x x轴垂直轴垂直.(1)(1)这条直线经过点这条直线经过点P(3,4),P(3,4),斜率斜率k=2,k=2,所以直线的点斜式方所以直线的点斜式方程为程为y-4=2(x-3),y-4=2(x-3),即即2x-y-2=0.
6、2x-y-2=0.如图甲所示如图甲所示.(2)(2)由于直线经过点由于直线经过点P(3,4)P(3,4)且与且与x x轴平行轴平行,所以直线方程为所以直线方程为y=4.y=4.如图乙所示如图乙所示.返回返回(3)(3)由于直线经过点由于直线经过点P(3,4)P(3,4)且与且与x x轴垂直轴垂直,所以所以直线方程为直线方程为x=3.x=3.如图丙所示如图丙所示.返回返回 学点二学点二 直线的两点式方程直线的两点式方程求经过求经过A(2,1)A(2,1)与与B(6,-2)B(6,-2)两点的直线的两点式方两点的直线的两点式方程程,并把它们化为点斜式、截距式、斜截式并把它们化为点斜式、截距式、斜截
7、式.【分析【分析】利用直线的两点式方程求解利用直线的两点式方程求解.【解析【解析】直线过点直线过点A(2,1),B(6,-2),A(2,1),B(6,-2),直线的两点式直线的两点式方程为方程为 .直线的点斜式方程为直线的点斜式方程为y-1=(x-2).y-1=(x-2).直线的截距式方程为直线的截距式方程为 .直线的斜截式方程为直线的斜截式方程为y=x+.y=x+.43-2-x1-y ,2-62-x1-2-1-y即43125310yx4325返回返回【评析】【评析】给出两点坐标求直线方程时给出两点坐标求直线方程时,应先观察是应先观察是否有否有y y1 1yy2 2或或x x1 1xx2 2,
8、否则直线的方程应直接写出否则直线的方程应直接写出.一一条直线的方程可以有多种表达形式条直线的方程可以有多种表达形式,但在坐标系中画但在坐标系中画出的图形应为一条直线出的图形应为一条直线,因此，要注意掌握多种形式因此，要注意掌握多种形式之间的关系之间的关系.返回返回 三角形的三个顶点分别是三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),如图如图2-4-12-4-1所示所示,求这个三角形三边所在直线的方程求这个三角形三边所在直线的方程.ABAB边所在直线的方程边所在直线的方程,由两点式由两点式 得得 即即3x+8y+15=0;3x+
9、8y+15=0;BCBC边所在直线的方程边所在直线的方程,由斜截式由斜截式 得得 ,即即 5x+3y-6=0;AC5x+3y-6=0;AC边所在直线的方程边所在直线的方程,由截距式得由截距式得,即即 2x-5y+10=0.2x-5y+10=0.)-(-)x-(-y-53503023032x-)-(-y125y-x返回返回 学点三学点三 直线的截距式方程直线的截距式方程已知直线已知直线l l经过点经过点(3,-2),(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等且在两坐标轴上的截距相等,求求直线直线l l的方程的方程.【分析【分析】直线直线l l满足的两个几何条件是满足的两个几何条件是:(1):(1)过
10、点过点(3,-2);(2)(3,-2);(2)在两坐标轴上的截距相等在两坐标轴上的截距相等.若设若设a,ba,b分别为分别为l l在两轴上的截在两轴上的截距距,则有则有a=b,a=b,但要注意但要注意a=b=0a=b=0时的情形时的情形.【解析】解法一【解析】解法一:依题意依题意,直线直线l l的斜率存在且不为的斜率存在且不为0,0,设其设其斜率为斜率为k,k,则可得直线的方程为则可得直线的方程为y+2=k(x-3).y+2=k(x-3).令令x=0,x=0,得得y=-2-3k;y=-2-3k;令令y=0,y=0,得得x=+3.x=+3.由题意知由题意知-2-3k=3+,-2-3k=3+,解得
11、解得k=-1k=-1或或k=-.k=-.ll的方程为的方程为y+2=-(x-3)y+2=-(x-3)或或y+2=-(x-3).y+2=-(x-3).即为即为x+y-1=0 x+y-1=0或或2x+3y=0.2x+3y=0.k2k23232返回返回 解法二解法二:设直线设直线l l在两轴上的截距均为在两轴上的截距均为a.a.(1)(1)若若a=0,a=0,则直线则直线l l过原点过原点,此时此时l l的方程为的方程为2x+3y=0;2x+3y=0;(2)(2)若若a0,a0,则则l l的方程可设为的方程可设为 .ll过点过点(3,-2),(3,-2),知知 ,即即a=1.a=1.直线直线l l的
12、方程为的方程为x+yx+y=1,=1,即即x+y-1=0.x+y-1=0.综合综合(1)(2)(1)(2)可知直线可知直线l l的方程为的方程为2x+3y=02x+3y=0或或x+y-1=0.x+y-1=0.1ayax123a-a返回返回【评析】（【评析】（1 1）截距不是距离）截距不是距离,它可正可负它可正可负,也可以也可以为为0.0.（2 2）注意截距式方程的适用范围）注意截距式方程的适用范围,否则易漏解否则易漏解.返回返回 求经过点求经过点A(-3,4),A(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和等于且在两坐标轴上的截距之和等于1212的的直线方程直线方程.解法一解法一:设直线方程为设直线
13、方程为y-4=k(x+3)(k0),y-4=k(x+3)(k0),当当x=0 x=0时时,y=3k+4;,y=3k+4;当当y=0y=0时时,.,.3k+4-3=12,3k+4-3=12,即即3k3k2 2-11k-4=0-11k-4=0，解得解得k=4k=4或或k=.k=.直线方程为直线方程为y-4=4(x+3)y-4=4(x+3)或或y-4=(x+3)y-4=(x+3)，即即4x-y+16=04x-y+16=0或或x+3y-9=0.x+3y-9=0.34-kxk43131返回返回 解法二解法二:设直线方程为设直线方程为y=kx+by=kx+b,直线经过直线经过A(-3,4)A(-3,4)，
14、3k-b+4=0 3k-b+4=0 又又在两轴上截距和等于在两轴上截距和等于12,12,由由解得解得 k=4 k=4 k=b=16 b=16 或或 b=3.b=3.直线方程为直线方程为y=4x+16y=4x+16或或y=-13x+3,y=-13x+3,即即4x-y+16=04x-y+16=0或或x+3y-9=0.x+3y-9=0.12k-b b31返回返回 解法三解法三:设直线方程为设直线方程为 ,直线经过点直线经过点A(-3,4),A(-3,4),.整理得整理得a a2 2-5a-36=0,-5a-36=0,a=9a=9或或a=-4.a=-4.直线方程为直线方程为 或或 .即即x+3y-9=
15、0 x+3y-9=0或或4x-y+16=0.4x-y+16=0.112-ayax11243-aa-139yx1164y-x返回返回 学点四学点四 直线的一般式方程直线的一般式方程设直线设直线l l的方程为的方程为(m(m2 2-2m-3)x+(2m-2m-3)x+(2m2 2+m-1)y=2m-6,+m-1)y=2m-6,根据下根据下列条件分别确定列条件分别确定m m的值的值.(1)l(1)l在在x x轴上的截距是轴上的截距是-3;-3;(2)l(2)l的斜率是的斜率是-1.-1.【分析【分析】(1)1)要使直线在要使直线在x x轴上的截距为轴上的截距为-3,-3,令令y=0,y=0,得得 ,
16、但要注意但要注意m m2 2-2m-30.-2m-30.(2)(2)当斜率为当斜率为-1-1时时,有有 ,但要注意但要注意2m2m2 2+m-10.+m-10.332622m-mm-x1123222 m-mm-m-返回返回【解析【解析】(1)(1)由题意可得由题意可得 m m2 2-2m-30 -2m-30 由由解得解得m=3m=3或或m=.m=.分别代入分别代入检验可知检验可知m=.m=.(2)(2)由题意可得由题意可得 2m2m2 2+m-10 +m-10 由由解得解得m=-1m=-1或或m=-2.m=-2.分别代入分别代入检验得检验得m=-2.m=-2.【评析】【评析】一般式化为特殊式是
17、在一定的条件下进行一般式化为特殊式是在一定的条件下进行,若忽视了该条件若忽视了该条件,则易出现失误则易出现失误,导致题目解错导致题目解错.332622m-mm-35351123222 m-mm-m-返回返回 设直线设直线l l的方程为的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)(1)若若l l在两坐标轴上的截距相等在两坐标轴上的截距相等,求求l l的方程的方程;(2)(2)若若l l不经过第二象限不经过第二象限,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.(1)(1)当直线当直线l l过原点时过原点时,该直线该直线l l在在x x轴和轴和y y轴上的截
18、距都为零轴上的截距都为零,当然相等当然相等,此时此时a=2,a=2,方程为方程为3x+y=0.3x+y=0.若若a2,a2,由由l l在两坐标轴上的截距相等有在两坐标轴上的截距相等有 ,即即a+1=1,a=0,la+1=1,a=0,l的方程为的方程为x+y+2=0.x+y+2=0.综上可知综上可知l l的方程为的方程为3x+y=03x+y=0或或x+y+2=0.x+y+2=0.212a-aa-返回返回(2)(2)将将l l的方程化为的方程化为y=-(a+1)x+a-2,y=-(a+1)x+a-2,欲使欲使l l不经过第二象限不经过第二象限,当且仅当当且仅当 -(a+1)0 -(a+1)=0-(
19、a+1)0 -(a+1)=0 a-20 a-20 或或 a-20.a-20.a-1.a-1.综上可知综上可知,a,a的取值范围是的取值范围是(-,-1(-,-1.返回返回 学点五学点五 直线方程的综合问题直线方程的综合问题求当直线方程求当直线方程Ax+By+CAx+By+C=0=0的系数的系数A,B,CA,B,C满足什么满足什么 条件时条件时,这条直线具有下列性质：这条直线具有下列性质：(1)(1)与与x x轴垂直轴垂直;(2);(2)与与y y轴垂直轴垂直;(3)(3)与与x,yx,y轴都相交轴都相交;(4);(4)过原点过原点.【分析【分析】把直线的几何条件把直线的几何条件,借助图形转化为
20、直线的借助图形转化为直线的斜率、截距等条件斜率、截距等条件,从而转化为从而转化为A,B,CA,B,C满足的条件满足的条件.返回返回【解析【解析】(1)(1)与与x x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为x=a,x=a,即即x-a=0.x-a=0.它缺少关于它缺少关于y y的一次项的一次项,B=0.,B=0.故当故当B=0B=0且且A0A0时时,直线直线Ax+By+CAx+By+C=0=0与与x x轴垂直轴垂直.(2)(2)类似于类似于(1)(1)可知当可知当A=0,A=0,但但B0B0时时,直线直线Ax+By+CAx+By+C=0=0与与y y轴垂直轴垂直.(3)(3)要使直线与要使直线与x,
21、yx,y轴都相交轴都相交,则它与两轴都不垂直则它与两轴都不垂直,由由(1)(2)(1)(2)知当知当A0A0且且B0,B0,即即A AB0B0时时,直线直线Ax+By+CAx+By+C=0=0与与x x轴轴,y,y轴都相交轴都相交.(4)(4)将将x=0,y=0 x=0,y=0代入代入Ax+By+CAx+By+C=0=0得得C=0,C=0,故当故当C=0C=0时时,直线直线Ax+By+CAx+By+C=0=0过原点过原点.返回返回【评析】二元一次方程【评析】二元一次方程Ax+By+CAx+By+C=0=0表示一条直表示一条直线的先决条件是线的先决条件是A,BA,B不同时为不同时为0,0,因此，
22、在讨论因此，在讨论时时,一定要注意一定要注意.返回返回 如果如果A AC0,C0,且且B BC0,C0,那么直线那么直线Ax+By+CAx+By+C=0=0不通过不通过()()A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限(A(AC0C0且且B BC0,C0,AA与与B B同号同号,且都与且都与C C异号异号,0.0.即直线即直线Ax+By+CAx+By+C=0=0的斜率小于的斜率小于0,0,在在y y轴上截距大于轴上截距大于0.0.直线不通过第三象限直线不通过第三象限.故应选故应选C.)C.)BABCC 返回返回 直线的点斜式方程是由直线
23、的一个点和直线的斜率直线的点斜式方程是由直线的一个点和直线的斜率通过斜率公式导出的通过斜率公式导出的,由由 化成化成y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1),),前者表示除去一点的直线前者表示除去一点的直线,而后者表示整条直线而后者表示整条直线.当当直线的斜率不存在时不能用点斜式求它的方程直线的斜率不存在时不能用点斜式求它的方程,这时这时直线平行于直线平行于y y轴或者与轴或者与y y轴重合轴重合,直线的方程可以写成直线的方程可以写成x=xx=x1 1,在点斜式方程在点斜式方程y-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1)中中,如果如果x x1 1=0=0且且y y1 1=b,=
24、b,它可改写成它可改写成y=kx+by=kx+b,其中其中b b为该直线在为该直线在y y轴上的截轴上的截距距,k0,k0，这就是一次函数的表达式，这就是一次函数的表达式,该种形式的方该种形式的方程称为直线的斜截式方程程称为直线的斜截式方程.11x-xy-yk 1.1.如何理解直线的点斜式方程如何理解直线的点斜式方程?返回返回 直线的两点式方程是由点斜式导出的直线的两点式方程是由点斜式导出的,当直线的当直线的斜率不存在斜率不存在(x(x1 1=x=x2 2)或斜率为或斜率为0(y0(y1 1=y=y2 2)时时,不能用不能用两点式方程两点式方程 来表达它来表达它,但把直线的两但把直线的两点式方
25、程化成点式方程化成(x(x2 2-x-x1 1)(y-y)(y-y1 1)=(x-x)=(x-x1 1)(y)(y2 2-y-y1 1)可以可以用来求过平面内任意两点的直线的方程用来求过平面内任意两点的直线的方程.如果直如果直线与线与x x轴相交于点轴相交于点(a,0),(a,0),与与y y轴相交于点轴相交于点(0,b)(0,b)时时,直线的两点式方程变为直线的两点式方程变为 ,称该种形式的称该种形式的方程为直线的截距式方程方程为直线的截距式方程.121121-xxx-x-yyy-y1byax2.2.如何理解直线的两点式方程如何理解直线的两点式方程?返回返回 1.1.直线方程概念的理解应注意
26、两个方面直线方程概念的理解应注意两个方面:(1)(1)以方程的每一组解为坐标的点都在直线上以方程的每一组解为坐标的点都在直线上.(2)(2)直线上的任一点的坐标都满足关于直线上的任一点的坐标都满足关于x,yx,y的二元一次的二元一次方程方程.2.2.截距不是距离更不是长度截距不是距离更不是长度,是直线与坐标轴交点处是直线与坐标轴交点处的横的横(或纵或纵)坐标坐标,可以是正值、负值可以是正值、负值,也可以是零也可以是零.3.3.涉及用斜率求直线方程的问题时涉及用斜率求直线方程的问题时,应时刻注意斜率应时刻注意斜率不存在的情况不存在的情况,避免漏解避免漏解.返回返回 4.4.利用待定系数法求直线方
27、程时利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给要能根据题中所给已知条件选用最恰当的形式已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵并能根据问题的需要灵活准确地进行互化活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时在研究无特殊限制的直线情况时,常将直线化为一般形式常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜而当研究直线的斜率与倾斜角时角时,又以直线的斜截式最为方便又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程也常将直线方程的一般式化为斜截式的一般式化为斜截式:当当B0B0时时,直线方程为直线方程为 y=-x-,y=-x-,其中其中-为直线的斜率为直线的斜率,-,-为直线在为直线在y y轴上的截距轴上的截距;当当B=0B=0时时,x=-,x=-表示与表示与y y轴平行的直线或轴平行的直线或y y轴轴(C=0).(C=0).BABCBABCAC返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回
