1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三1.1.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 与此平面的交线与该直线平行与此平面的交线与该直线平行.这个定理叫做直线与平面平行的这个定理叫做直线与平面平行的 .用用符号表示为符号表示为 .2.2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的么它们的 平行平行.这个定理叫做平面这个定理叫做平面与平面平行的与平面平行的 ，用符号表示为，用符号表示为 .任一平面任一平面 性质定理性质定理 交线交线 性质定理性质定理 ,=a,=bab a,a,=bab返回返回 返回返回 学
2、点一学点一 用线面平行的性质定理证线线平行用线面平行的性质定理证线线平行 若一直线和两个相交平面都平行若一直线和两个相交平面都平行,则这条直线和两平面的则这条直线和两平面的交线平行交线平行.【分析【分析】条件中给出了线面平行条件中给出了线面平行,由性质定理由性质定理,应转化为线应转化为线线平行线平行.【解析【解析】已知已知:a,a,=b.求证求证:ab.证明证明:如图所示如图所示,过过a作平面作平面,设设=m,过过a作平面作平面,设设=n.a,a,=m,am.同理同理an,mn.m,n,m,又又m,=b,mb.又又am,ab.图图2-3-2返回返回【点评】【点评】(1)如果已知直线与平面平行如
3、果已知直线与平面平行,在利用直线与平在利用直线与平面平行的性质定理时面平行的性质定理时,常作过此直线与已知平面相交的辅常作过此直线与已知平面相交的辅助平面助平面,完成线面平行向线线平行的转化完成线面平行向线线平行的转化,再由线线平行再由线线平行向线面平行转化向线面平行转化,这种互相转化的思想方法的应用这种互相转化的思想方法的应用,在立在立体几何中十分常见体几何中十分常见.(2)本题是直线与平面平行的判定定理和性质定理的综合本题是直线与平面平行的判定定理和性质定理的综合应用应用.(3)在寻求线线平行时在寻求线线平行时,初中阶段学过的平行线的判定要初中阶段学过的平行线的判定要充分利用充分利用,如中
4、位线的性质、等比例截割定理、平行四边如中位线的性质、等比例截割定理、平行四边形的性质等形的性质等.返回返回 如图所示如图所示,已知已知=CD,=EF,=AB,AB.求证：求证：EF.证明证明：AB,AB,又又AB,=CD,ABCD,同理同理，.返回返回 学点二学点二 直线与平面平行的判定及性质定理的应用直线与平面平行的判定及性质定理的应用如图所示，线段，所在直线是异面直线，如图所示，线段，所在直线是异面直线，分别是线段，的中点，分别是线段，的中点.【分析【分析】利用利用“线线线线线线面面”的转化的转化.(1)求证：，共求证：，共面并且所在平面平行于直线面并且所在平面平行于直线和；和；(2)设，
5、分别是和设，分别是和上任意一点，求证：被上任意一点，求证：被平面平分平面平分.返回返回【证明【证明】(1)，分别是，分别是，的中点，的中点，CD,FGCD,EHFG,因此，共面因此，共面.CDEH,CD平面，平面，平面，平面，平面，同理，平面，同理，平面平面.(2)设设平面，连接平面，连接.设设，平面，平面平面平面.CQ平面，平面，平面，平面，CQMN.是是ABC的中位线，的中位线，是的中点，是的中点，则是的中点，即被平面平分则是的中点，即被平面平分.【点评】，三点所确定的辅助平面是解决本题的【点评】，三点所确定的辅助平面是解决本题的核心核心.有了面，就有了连接与面的桥梁，有了面，就有了连接与
6、面的桥梁，线面平行的性质才能得以应用线面平行的性质才能得以应用.返回返回 返回返回 如图如图2-3-4所示，已知所示，已知ABCD是平行四边形，点是平行四边形，点P是平面是平面ABCD外一点，外一点，M是是PC的中点，在的中点，在DM上取一点上取一点G，过，过G和和AP作平面交平面作平面交平面BDM于于GH.求证：求证：APGH.返回返回 证法一：如图，连接证法一：如图，连接AC交交BD于于O，连接，连接MO.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，O是是AC的中点的中点.又又M是是PC的中点，的中点，APOM.OM平面平面BMD，PA平面平面BMD，PA平面平面BMD.平面平面PAH
7、G平面平面BMD=GH，PA 平面平面PAHG,PAGH.返回返回 证法二：同证法一有证法二：同证法一有APOM.PA平面平面PAHG,OM平面平面PAHG,OM平面平面PAHG.平面平面PAHG平面平面BMD=GH,OM平面平面BMD,OMGH.APGH.学点三学点三 面面平行的性质定理面面平行的性质定理 已知，是夹在两个平行平面已知，是夹在两个平行平面，之间之间的线段，分别为，的中点，求证：的线段，分别为，的中点，求证：平面平面.【分析【分析】分，是否共面两种情况分，是否共面两种情况.【证明【证明】若，在同一平面内，则平面与若，在同一平面内，则平面与，的交线为，的交线为，.,ACBD.又，
8、为，的中点，又，为，的中点，.又又平面平面，MN平面平面,平面平面.返回返回 若，异面，如图所示，过作若，异面，如图所示，过作交交于于，取中点，连接，取中点，连接，.AECD,AE，确定，确定 平面平面.则平面则平面 与与，的交线为，的交线为，.又，为，的中点，又，为，的中点，ED平面平面,PN平面平面,平面平面.同理可证同理可证，平面平面,又又PNMP=P,平面平面平面平面.又又平面，平面，平面平面.返回返回【点评】（）分类讨论常用于位置关系不确定的条件【点评】（）分类讨论常用于位置关系不确定的条件.(2)本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广.返回返回
9、 如图所示，正三棱柱如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是BC的中点，试的中点，试判断判断A1B与平面与平面ADC1的位置关的位置关系，并证明你的结论系，并证明你的结论.直线直线A1B平面平面ADC1，取，取B1C1的中点的中点D1，连接，连接A1D1，BD1，则则A1D1AD,D1BC1D,AD平面平面A1D1B，C1D平面平面A1D1B.又又ADC1D=D,平面平面ADC1平面平面A1D1B，A1B平面平面A1D1B，A1B平面平面ADC1.返回返回 学点四学点四 平行的综合问题平行的综合问题设，是单位正方体设，是单位正方体的面的面、面面A1B1C1D1的中心的中心.证明：证明
10、：平面平面AA1B1B【分析【分析】学完了空间中的平行关系，要证明直线和学完了空间中的平行关系，要证明直线和平面平行的途径主要有两种：一是可以由线线平行平面平行的途径主要有两种：一是可以由线线平行来证，即在平面内找一条直线和已知直线平行；二来证，即在平面内找一条直线和已知直线平行；二是通过面面平行的性质来证明是通过面面平行的性质来证明.返回返回【证明【证明】证法一：如图所示，分别取证法一：如图所示，分别取，A1B1 的中点，连接，的中点，连接，.，分别是面，分别是面，面，面A1B1C1D1的中点，的中点，AD,MP=AD,NQA1D1，.且且.四边形为平行四边形四边形为平行四边形.MN面面AA
11、1B1B，AA1B1B 面，面，面面 AA1B1B.2121返回返回 证法二证法二：如图所示，连接：如图所示，连接，在，在AB1D1中，中，显然，分别是显然，分别是，D1的中点的中点,PQ，且，且 .PQ平面平面，平面平面，平面平面.21返回返回 证法三证法三：如图所示，取：如图所示，取的中点，分别连接的中点，分别连接，由题知，由题知，D1，PEAA1，A1B1，又，又EQ=E,PE面，面，面，面，面面，面面面面.又又PQ面，面，面面AA1B1B.返回返回【点评】本题在证明线面平行时提供了三种证法，证法【点评】本题在证明线面平行时提供了三种证法，证法一通过平行四边形的对边平行得到一通过平行四边
12、形的对边平行得到“线线平行线线平行”，从而，从而证得证得“线面平行线面平行”；证法二通过三角形的中位线与底边；证法二通过三角形的中位线与底边平行得到平行得到“线线平行线线平行”，从而证得，从而证得“线面平行线面平行”；证法；证法三是通过构造两个平行平面，然后运用面面平行的性质三是通过构造两个平行平面，然后运用面面平行的性质来证，即先由来证，即先由“线线平行线线平行”证得证得“面面平行面面平行”，再由，再由“面面平行面面平行”得到得到“线面平行线面平行”.本题充分体现了本题充分体现了“线线线线平行平行”“”“线面平行线面平行”“”“面面平行面面平行”之间的转化之间的转化.返回返回 已知三棱锥已知
13、三棱锥，B，C是是PBC,PCA,PAB的重心的重心.(1)求证：面求证：面面；面；(2)求求SABC：SABC.返回返回（）证明（）证明：设，是，的中点：设，是，的中点.连接，则连接，则C,分别在分别在,上上.在在PMN中，中，.MNAC,且且 .平面平面.同理，同理，AB平面平面.又又 AB=A,平面平面平面平面.（）（）同理同理AB=AB,=BC，ABCABC.SABC：SABC=1：9.313132PMAPPNCP31CACACACACB返回返回 线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行,此处的线此处的线线是指与平面平行的一条直线和过这条直线
14、的平面与已知平线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线面的交线.这个定理用符号语言来表示这个定理用符号语言来表示,即即 a a ab在应用该定理时在应用该定理时,要防止出现要防止出现“一一 =b 条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的的错误错误.画一条直线与已知平面平行时画一条直线与已知平面平行时,通常把表示直线的线段画在通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一并且使它与平行四边形的一边或平行四边形内的一条线段平行边或平行四边形内的一条线段平行.1.如
15、何理解线面平行的性质定理？如何理解线面平行的性质定理？返回返回 2.如何理解两个平面平行的性质定理？如何理解两个平面平行的性质定理？平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者，平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者，是立体几何最基本又最常见的一类问题是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往证明线面平行往往转化为证明面面平行转化为证明面面平行.必须注意，已知两个平面平
16、行，虽然一个平面内的任何一必须注意，已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，但是分别在这两个平面内的条直线都平行于另一个平面，但是分别在这两个平面内的两条直线不一定平行，它们可能是平行直线，也可能是异两条直线不一定平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线，否则导致这两个平面就有面直线，但不可能是相交直线，否则导致这两个平面就有公共点公共点.返回返回 1.线面平行的性质定理应和线面平行的判定定理对照着记忆线面平行的性质定理应和线面平行的判定定理对照着记忆.一个是由线面平行得到其他什么结论一个是由线面平行得到其他什么结论;另一个是由什么条件得另一个是
17、由什么条件得到线面平行到线面平行,两者经常结合使用两者经常结合使用,线线平行线线平行线面平行线面平行线线平线线平行行.体现了数学中的转化思想体现了数学中的转化思想,也体现了立体几何中的也体现了立体几何中的“降维降维”与与“升维升维”的思想方法的思想方法.2.除了两个平面平行的性质定理外，两个平面平行还有下列性除了两个平面平行的性质定理外，两个平面平行还有下列性质：质：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面于另一个平面.用符号表示为：用符号表示为：,aa.此性质由面面此性质由面面平行得到线面平行，这也是线面平行的一个判
18、定方法平行得到线面平行，这也是线面平行的一个判定方法.（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等；）夹在两个平行平面之间的平行线段相等；（3）经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行）经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.返回返回 返回返回 1.已知三条互相平行的直线已知三条互相平行的直线a,b,c中，中，a,b,c，则两个平面，则两个平面,的位置关系是（的位置关系是（）A.平行平行 B.相交相交C.平行或相交平行或相交 D.不能确定不能确定 返回返回 2.经过平面经过平面外两点，作与平面外两点，作与平面平行的平面，则平行的平面，则这样的平面可以作这样的平面可以作 （）A.1个或
19、个或2个个 B.0个或个或1个个C.1个个 D.0个个返回返回 3.设设 m，n是平面是平面内的两条不同直线，内的两条不同直线，l1,l2是平是平面面内的两条相交直线，则能使内的两条相交直线，则能使的一个条的一个条件是件是 （）A.m且且l1 B.ml1且且nl2C.m且且n D.m且且nl2返回返回 返回返回 4.平面平面平面平面，ABC和和ABC分别在分别在平面平面和平面和平面内，若对应顶点的连线共点，则这内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形两个三角形 .返回返回 5.已知平面已知平面平面平面,AB,CD是夹在两平行平是夹在两平行平面间的两条线段，面间的两条线段，A，C在在内，内，B，D在在内，内，点点E，F分别在分别在AB，CD上，且上，且AE:EB=CF:FD=m:n.求证：求证：EF.返回返回 返回返回 6.如图如图2-3-10，四面体，四面体ABCD被一平面所截，截面被一平面所截，截面与四条棱与四条棱AB，AC，CD，分别相交于，分别相交于E，F，G，H四点，且截面四点，且截面EFGH是一个平行四边形，求证：是一个平行四边形，求证：BC平面平面EFGH.返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回
