1、1.31.3简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系有如下关系()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中所有坐标中至少有一个至少有一个)符合方程符合方程f(,)=0；()方程方程f(,)=0的所有解为坐标的点都的所有解为坐标的点都在曲线上。在曲线上。则曲线的方程是则曲线的方程是f(,)=0。探 究(,0)(0)(,)aC aa 如图，半径为 的圆的圆心坐标为你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满足的条件吗？xC(a,0)O(,)M A)1()0,2(),2,0()1.(
2、.cos2cos),(,2的坐标满足等式可以验证，点即中。在以外的任意一点，那么，为圆上除点设，那么是交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式)1(),()1(的极坐标方程。叫做曲线那么方程上，的点都在曲线并且坐标适合方程一个满足方程一点的极坐标中至少有上任意，如果平面曲线一般地，在极坐标系中CfCffC0),(0),(0),(的圆的极坐标方程。为半径就是圆心在所以，aaaCa),0)(0,(cos2极坐标方程：极坐标方程：例例1、已知圆、已知圆
3、O的半径为的半径为r，建立怎样的极坐，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？标系，可以使圆的极坐标方程简单？xOrM简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心)1(,),(.rrOMMrOO5 3cos5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐思考：标和半径。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解：两边同乘以 得即化为直角坐标为即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来
4、求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点圆的极坐标方程为半径为圆心为)cos(2)0)(,(练习以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC题组练习题组练习1 1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为中心在极点，半径为2；()中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a；()中心在中心在(a,/2)，半径为，半径为a；()中心在中心在(0,)，半径为，半径为r。2
5、 2acos 2asin 2+0 2-2 0 cos(-)=r2方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin414)2(22 yx圆的圆心距是多少？的两个和、极坐标方程分别是sincos21cos(,0)2sincos()cos()2212sin(,),2 22解：圆 圆心的坐标是圆圆 的圆心坐标是所以圆心距是题组练习题组练习2 23cos()4、极坐标方程所表示的曲线是（）A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆D为半径的圆。为圆心，以解：该方程可以化为21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22
6、222yxyxyx即解：410cos()3、圆 的圆心坐标是)0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、D（）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解：化为直角坐标系为即2126:2cos,:2 3 sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3,0(1)3(:1)0,1(,1)1(:2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、从极点 作圆：的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMONCMONM解：如图，圆 的圆心半径连结，是弦的中点所以，动点的轨迹方程是 化为直角坐标方程。把极坐标方程练习cos241648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx两边平方得：即解：方程可化为
