1、第2课时分段函数及映射第一章 1.2.2函数的表示法1.会用解析法及图象法表示分段函数；2.给出分段函数，能研究有关性质；3.了解映射的概念.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一分段函数思考设集合AR，B0，).对于A中任一元素x，规定：若x0，则对应B中的yx；若x0，则对应B中的yx.按函数定义，这一对应算不算函数？答案答案算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各
2、段函数的定义域的交集是.(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.答案对应关系并集空集知识点二映射思考设A三角形，BR，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.答案映射的概念：设A，B是两个非空的 ，如果按某一个确定的 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的 .函数一定是映射，映射不一定是函数.集合对应关系都有唯一一个映射返回题型探究 重点难点 个个击破类型一分段函数模型例1如图所
3、示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.解析答案2反思与感悟解过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BGAGDHHC2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm.解析答案反思与感悟图象如图所示.反思与感悟反思与感悟当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.解析答案跟踪
4、训练1某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20.函数图象如图所示：类型二研究分段函数的性质例2已知函数f(x)|x3|x1|.(1)求f(x)的值域；解析答案解若x1，则x30，x10，f(x)(x3)(x1)4；若10，f(x)(x3)(x1)2x2；若x3，则x30，x10，f(x)(x3)(x1)4.解析答案1x3时，42x20；
5、解得x1，解得1x0的解集为(，1(1,1)(，1).解析答案反思与感悟(3)若直线ya与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围.解f(x)的图象如下：由图可知，当a(，4)(4，)时，直线ya与f(x)的图象无交点.反思与感悟研究分段函数，要牢牢抓住两个要点：(1)分段研究.(2)合并表达.因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体.解析答案解利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.解析答案(3)求f(x)的值域.解由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1，当x1或x1时，f(x)1.所以f(x)的值域为0,1.类型三映射的概念例3以下给出的对应是不是从集合A到集合
6、B的映射？(1)集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；解析答案解按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.解析答案(2)集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；解按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.解析答案(3)集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；解由于
7、每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.解析答案反思与感悟(4)集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.解新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：AB不是从集合A到集合B的一个映射.反思与感悟映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.解析答案跟踪训练3设集合Ax|1x2，B
8、x|1x4，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是()A.f：xyx2B.f：xy3x2C.f：xyx4D.f：xy4x2解析对于D，当x2时，由对应关系y4x2得y0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.D返回达标检测 答案1.如图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6A2.f(x)的图象如图所示，其中0 x1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是()答案B3.函数y|x1|的图象是()答案A答案C答案B规律与方法1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其
9、值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.返回2.函数与映射的关系映射f：AB，其中A、B是两个“非空集合”；而函数yf(x)，xA为“非空的实数集”，其值域也是实数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.第2课时分段函数及映射第一章 1.2.2函数的表示法1.会用解析法及图象法表示分段函数；2.给出分段函数，能研究有关性质；3.了解映射的概念.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一分段函数思考设集合AR，B0，).对于A中任一元
10、素x，规定：若x0，则对应B中的yx；若x0，则对应B中的yx.按函数定义，这一对应算不算函数？答案答案算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是.(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.答案对应关系并集空集知识点二映射思考设A三角形，BR，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A
11、中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.答案映射的概念：设A，B是两个非空的 ，如果按某一个确定的 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的 .函数一定是映射，映射不一定是函数.集合对应关系都有唯一一个映射返回题型探究 重点难点 个个击破类型一分段函数模型例1如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.解析答案2反
12、思与感悟解过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BGAGDHHC2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm.解析答案反思与感悟图象如图所示.反思与感悟反思与感悟当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.解析答案跟踪训练1某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象
13、.解设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20.函数图象如图所示：类型二研究分段函数的性质例2已知函数f(x)|x3|x1|.(1)求f(x)的值域；解析答案解若x1，则x30，x10，f(x)(x3)(x1)4；若10，f(x)(x3)(x1)2x2；若x3，则x30，x10，f(x)(x3)(x1)4.解析答案1x3时，42x20；解得x1，解得1x0的解集为(，1(1,1)(，1).解析答案反思与感悟(3)若直线ya与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围.解f(x)的图象如下：由图可知，当a(，4)(4，)时，直线ya与f(x)的图象无交点.反思与感悟研究分段函数，要牢牢抓住两个
14、要点：(1)分段研究.(2)合并表达.因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体.解析答案解利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.解析答案(3)求f(x)的值域.解由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1，当x1或x1时，f(x)1.所以f(x)的值域为0,1.类型三映射的概念例3以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；解析答案解按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.解析答案(2)集合AP|P是平面直
15、角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；解按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.解析答案(3)集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；解由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.解析答案反思与感悟(4)集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.解新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一
16、个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：AB不是从集合A到集合B的一个映射.反思与感悟映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.解析答案跟踪训练3设集合Ax|1x2，Bx|1x4，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是()A.f：xyx2B.f：xy3x2C.f：xyx4D.f：xy4x2解析对于D，当x2时，由对应关系y4x2得y0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.D返回达标检测 答
17、案1.如图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6A2.f(x)的图象如图所示，其中0 x1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是()答案B3.函数y|x1|的图象是()答案A答案C答案B规律与方法1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.返回2.函数与映射的关系映射f：AB，其中A、B是两个“非空集合”；而函数yf(x)，xA为“非空的实数集”，其值域也是实数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.
