1、柱、锥、台和球的体积青藏铁路是西部大开发的标志性工程，全长青藏铁路是西部大开发的标志性工程，全长19561956公里，是世界上海拔最高、线路最长、穿越冻土公里，是世界上海拔最高、线路最长、穿越冻土里程最长的高原铁路里程最长的高原铁路.青藏铁路青藏铁路假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫路基假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1千千米铁路需要碎石多少立方米？米铁路需要碎石多少立方米？想知道如何求吗？想知道如何求吗？让我们一起来探索吧！让我们一起来探索吧！24100011.1.掌握柱、锥、台和球体的体积的求法掌
2、握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点）（重点）2.2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式，能运用柱、了解柱、锥、台和球的体积计算公式，能运用柱、锥、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和锥、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和 解决有关的实际问题解决有关的实际问题.（难点）（难点）取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？观察改变前后的体积是否发生变化？高度、书中每页纸高度、书中每页纸的的面积和顺序不变面积和顺序不变【概念理解概念理解】作图验证作图验证祖暅原理：祖暅原理：幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异.这就是说，夹在
3、两个平行平面间的两个几何体，被平这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有着光辉的成就。祖冲之的儿率等问题方面有着光辉的成就。祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践的基础上，于的基础上，于5 5世纪末提出了这个体积计算世纪末提出了这个体积计算原理。原理。祖暅提出这个原理，要比其他国家的
4、数祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到学家早一千多年。在欧洲直到1717世纪，才有世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（意大利数学家卡瓦列里（CavalieriCavalieri.B.B，15981598年年16471647年）提出上述结论。年）提出上述结论。（429429年年500500年）年）1.1.棱柱和圆柱的体积棱柱和圆柱的体积 s sh hS SS S等底面积，等高的两个柱体的体积相等等底面积，等高的两个柱体的体积相等探究探究1 1 柱、锥、台、球的体积柱、锥、台、球的体积柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积底面积S和高和高h的积的
5、积.即即 ShV 柱体柱体底面半径是底面半径是r，高为，高为h的的圆柱体圆柱体的体积的计算公式是：的体积的计算公式是：2 圆柱Vr h2.2.棱锥和圆锥的体积棱锥和圆锥的体积 1VSh3棱锥类似地类似地,底面积相等底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等高也相等的两个锥体的体积也相等.V锥体锥体=1 1S Sh h3 3S S为底面积为底面积,h,h为高为高.s ss s等底面积、等高的锥体间的体积有何关系等底面积、等高的锥体间的体积有何关系?【思考思考】3.3.棱台和圆台的体积棱台和圆台的体积 s ss ss ss sh hx xV V台体台体=1 1h(s+ss+s)h(s+ss+s)3
6、 3上、下底面的面积分别是上、下底面的面积分别是S S，S S,高是高是h h，则，则,xsxhs因因为为,h sxss所所以以11VShx)Sx33台体（xSSxSh31313111h SSh(SS)33SS11Sh(SS)h S331h(SSSS).3推推导导过过程程11Sh(SS)x33SSxh4.4.球的体积球的体积 RROOR RR R 一个半径和高都等于一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以其上底的圆柱，挖去一个以其上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等的半球的体积相
7、等.球球1 1V=V=2 23 32 2=R R3 33 3球球4 4V=V=R R3 3RROOR RR R22221 1 RR-RR-RRRR3 3V台体台体=1 1h h(s s+s ss s+s s)3 3V柱体柱体=shV锥体锥体=1 1s sh h3 3s ss s/s ss s/s sS=0S=0S=S探究探究2 2柱、锥、台的体积关系柱、锥、台的体积关系例例1.1.如图所示，在长方体如图所示，在长方体ABCDABCDA AB BC CDD中，用中，用截面截下一个棱锥截面截下一个棱锥C CA ADDDD，求棱锥，求棱锥C CA ADDDD的的体积与剩余部分的体积之比体积与剩余部分
8、的体积之比.【例题讲解例题讲解】解：解：已知长方体可以看作是直四棱柱已知长方体可以看作是直四棱柱ADDADDA ABCCBCCB B.设底面设底面ADD ADD A A的面积是的面积是S S，高为，高为h h，则它的体积为则它的体积为 V=V=ShSh.因为棱锥因为棱锥C CA A DD DD 的底面面积是的底面面积是 S S，高是，高是h h，12所以棱锥所以棱锥C CA A DD DD 的体积是的体积是V VC CADDADD=余下的体积是余下的体积是111.326ShSh所以所以 棱锥棱锥C CADDADD的体积与剩余部分的体积之比的体积与剩余部分的体积之比是是1 1：5.5.15ShS
9、h=Sh.66例例2.2.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯如图，共重有一堆相同规格的六角螺帽毛坯如图，共重5.8 kg.5.8 kg.已知螺帽的底面六边形边长是已知螺帽的底面六边形边长是12 mm,12 mm,高是高是10 mm,10 mm,内孔直径内孔直径是是10 mm,10 mm,这一堆螺帽约有多少个这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是铁的密度是7.8 g/cm7.8 g/cm3 3，3.14)?3.14)?分析：分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛一个圆柱的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积
10、即可坯的体积即可所以一个螺帽毛坯的体积为所以一个螺帽毛坯的体积为V=3.74V=3.7410103 3-0.785-0.78510103 3 2.96 2.9610103 3（mmmm3 3）=2.96(cm=2.96(cm3 3).).因此约有毛坯因此约有毛坯5.85.810103 3（2.962.967.8)250(7.8)250(个个)答：这堆螺帽约有答：这堆螺帽约有250250个个.解答：解答：V V正六棱柱正六棱柱=2333126 103.74 10(mm)4，V V圆柱圆柱=2335 100.785 10(mm),1 1设六正棱锥的底面边长为设六正棱锥的底面边长为1 1，侧棱长为，
11、侧棱长为 ，那么，那么它的体积为（它的体积为（）A.6 A.6 B.B.C.2 C.2 D.2D.25333B B2.2.直三棱柱直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的体积为的体积为V V，已知点，已知点P P，Q Q分别分别为为AAAA1 1，CCCC1 1上的点，而且满足上的点，而且满足AP=CAP=C1 1Q Q，则四棱锥，则四棱锥B BAPQCAPQC的体积是（的体积是（）A.A.B.B.C.C.D.D.12V13V14V23VB B4 4把一个大金属球表面涂漆，需油漆把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4 kg2.4 kg，若把，若把这个金属球熔化，制成这个金属球熔
12、化，制成6464个半径相等的小金属球个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用油漆油漆 kg.kg.9.69.63.3.正棱锥的高和底面边长都缩小原来的正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 ，则它的，则它的体积是原来的（体积是原来的（）A.A.B.B.C.C.D.D.121518116132B B5 5已知圆锥的母线长为已知圆锥的母线长为8 8，底面周长为，底面周长为66，则，则它的体积是它的体积是 .3 556 6一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是的体积是V V，则这个正方体的体积是，则这个正方体的体积是 .2 33V1.1.柱体、锥体、柱体、锥体、台体的体积台体的体积13VSh锥体锥体1()3VSSSS h台体台体柱体柱体VSh SS 0S3.3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积和锥、台、球等常见的几何体的体积和.2143RR3 3球球4 4V=RV=R3 32.2.球的体积公式球的体积公式不能把希望叫做白日做梦，也不能把白日之梦叫做希望。
