1、第三章 空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量的线性运算a在在_中，把具有中，把具有_和和_的量叫做向量的量叫做向量.平面平面大小大小方向方向思考：在空间中，如何来定义向量呢？空间向思考：在空间中，如何来定义向量呢？空间向量如何表示呢？量如何表示呢？1.1.理解空间向量的有关概念理解空间向量的有关概念.2.2.能够进行简单的向量的加法、减法和数乘运算能够进行简单的向量的加法、减法和数乘运算.（重点、难点）（重点、难点）3.3.能正确应用空间向量的概念和运算法则解决一些能正确应用空间向量的概念和运算法则解决一些 简单问题简单问题.在空间中，同样把具有在空间中，同样把具有_和和_的量叫做的量叫
2、做向量向量.与平面向量一样，空间向量也是用有向线段来与平面向量一样，空间向量也是用有向线段来表示，如下图所示：表示，如下图所示：探究点探究点1 1 空间向量的概念空间向量的概念方向方向大小大小a相等向量：同向相等向量：同向且且等长等长的有向线段表示同一向量或的有向线段表示同一向量或相等的向量相等的向量.aaaaBAABCCDD,.如如右右图图所所示示的的位位移移向向量量可可以以分分别别用用同同向向且且等等长长的的有有向向线线段段，来来表表示示，即即aAA BB CC DDAABBCCDDa.0 ABAABBAB用用有有向向线线段段表表示示向向量量时时，为为向向量量的的起起点点，为为向向量量的的
3、终终点点起起点点与与终终点点重重合合的的向向量量叫叫做做零零向向量量记记零零为为向向量量：aa表表示示向向量量 的的有有向向线线段段的的长长度度叫叫做做向向量量的的长长度度或或模模向向模模：，记记作作量量的的.有有向向线线段段的的方方向向表表示示向向量量的的方方向向，有有向向线线段段所所在在的的直直线线叫叫做做向向量量向向量量的的基基：的的基基线线线线特别地，我们规定：特别地，我们规定：零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线如如果果空空间间中中一一些些向向量量的的基基线线互互相相或或，则则这这些些向向量量叫叫做做共共线线向向量量或或平平行行向向量量.如如下下平平行行向向量量 或或图图所所示示
4、，a a平平行行于于b,b,记记作作a a共共线线向向量量：平平行行合合/b/b重重.4ab由由上上图图我我们们可可以以看看出出，当当两两向向量量 与与 共共线线时时，从从向向量量的的模模和和方方向向的的角角度度看看，共共有有以以下下 种种情情况况：a b与与 同同向向且且模模相相等等a b与与 反反向向且且模模相相等等a b与与 同同向向且且模模不不相相等等a b与与 反反向向且且模模不不相相等等“相等向量相等向量”属于属于“共线向量共线向量”的一的一种特殊情况种特殊情况!探究点探究点2 2 空间向量的加法、减法和数乘向量运算空间向量的加法、减法和数乘向量运算,-?a baba b 思思考考
5、:已已知知两两个个不不平平行行的的向向量量如如何何做做出出baA A空间向量求和的三角形法则空间向量求和的三角形法则.B B首尾顺次相连首尾顺次相连C Cabab a+b=AB+BC=ACa+b=AB+BC=AC空间向量求和的平行四边形法则空间向量求和的平行四边形法则BACba+b两向量共起点两向量共起点O Oab a+b=OA+OB=OCa+b=OA+OB=OC由由此此可可见见，平平面面向向量量求求和和的的三三角角形形法法则则和和平平行行四四边边形形法法则则对对空空间间向向量量也也同同样样成成立立.ABBCCCC DD AA BAB 同同样样，我我们们也也能能把把平平面面内内多多个个向向量量
6、的的加加法法推推广广到到空空间间，如如图图所所示示:空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算aQP0MNa0a0;aQP 当当时时，00;a当当时时，0.aMN 当当时时，空空间间向向量量的的加加法法和和数数乘乘向向量量运运算算与与平平面面向向量量一一样样，满满足足如如下下运运算算律律：由由向向量量加加法法的的交交换换律律和和结结合合律律可可以以推推知知：1.abba加加法法交交换换律律：2.abcabc加加法法结结合合律律：3,.aaaabab分分配配律律：有有限限个个向向量量求求和和，交交换换相相加加向向量量的的顺顺序序其其和和不不变变.1 ABCD-AB C D.1 AB+AD+AA2 DD
7、-AB+BC.13 AB+AD+DD-BC.2 例例 已已知知平平行行六六面面体体，化化简简下下列列向向量量表表达达式式，并并在在图图中中标标出出化化简简结结果果的的向向量量.1 AB+AD+AA=AB+BC+CC=AC1 AB+AD+AA=AB+BC+CC=AC解解：.2 DD-AB+BC=DD-AB-AD=DD-DB2 DD-AB+BC=DD-AB-AD=DD-DB=BD=BD 1 11 13 3 A AB B+A AD D+D DD D-B BC C=A AC C+C CC C+C CB B2 22 21 1=A AC C+C CB B.2 21-.2MCBABADDDBCACCMAM
8、设线点则是是段段的的中中，们结论由由此此例例，我我可可以以得得到到下下面面的的：.个这个为邻边对线三三不不共共面面的的向向量量的的和和等等于于以以三三向向量量的的平平行行六六面面体体的的角角所所表表示示的的向向量量【变式练习变式练习】如图所示，已知正方体如图所示，已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E是是上底面上底面A A1 1C C1 1的中心，化简下列向量表达式，并在图的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量中标出化简结果的向量 111.112.22 ABBCCCAAABAD 111+.AB BC CCAC解解：1111
9、11111111111122221122.AAABADAAABADAAADDCAAACAAAEAEAC AE,图如如所所示示.21.2 MNABCDABCDMNADBC例例如如图图，分分别别是是四四面面体体的的棱棱，的的中中点点，求求证证：,.-,-,2.1.2 MNMAADDNMNMBBCCNMAMB DNCNMNADBCMNADBC显证然然 由由已已知知，得得得得因因此此 明明：1.1.给出以下命题：给出以下命题：若空间向量若空间向量若若若空间向量若空间向量其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_m n pm n n pm p.，满足 ，则 a 00a 0.，则 或 a b cab bc
10、ac.，满足，则2.,A.B.-C.-D.-ABCDABa BCb ADcCDabcc a ba b cb ac空空间间四四边边形形中中，则则 B B1111111113.-_,-_.ABCD ABC DD ABBDCCDAADA正正方方体体中中，1DB 11 BDB D或4.-:2:1,.ABCD A B C DMAAGA CCG GACDa CBb CCca b cCA CACM CG，已已知知平平行行六六面面体体，点点是是棱棱的的中中点点，点点 在在对对角角线线上上且且设设试试用用表表示示向向量量,+,121,222.33 CACDCBabCACA CCabcCMCAAMCDCBCCabcCGCAabc图如如所所示示，解解：回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？1.1.空间向量的相关的概念：空间向量的相关的概念：向量、向量的模、相等向量、平行向量向量、向量的模、相等向量、平行向量.2.2.空间向量的加法、减法及数乘运算：空间向量的加法、减法及数乘运算：三角形法则（首尾相接），平行四边形法则三角形法则（首尾相接），平行四边形法则（起点相同）（起点相同）.当你劝告别人时，若不顾及别人的自尊心，那么再好的言语都没有用的.
