1、2.1.12.1.1合情推理合情推理在在日常生活日常生活中，人们常常进行这样那样的推理。例如：中，人们常常进行这样那样的推理。例如：（1）气象专家预测未来几天天气的状态；）气象专家预测未来几天天气的状态；（2）医生诊断病人的病症；）医生诊断病人的病症；（3）考古学家推断出土文物的年代等等。）考古学家推断出土文物的年代等等。在在高中数学高中数学中，时时刻刻都在应用推理。中，时时刻刻都在应用推理。例如：例如：（1）必修）必修1函数单调性的证明；函数单调性的证明；（2）必修）必修2立体几何命题的证明立体几何命题的证明;（3）必修）必修4三角函数性质的推导；三角函数性质的推导；（4）必修）必修5数列通
2、项公式的推导等等。数列通项公式的推导等等。引言：归纳推理归纳推理歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：3710，31720，131730，1037，20317，301317偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数63+3，任何任何一个不小于一个不小于6 6的偶数都等于两个的偶数都等于两个 奇质数之和；奇质数之和；至今无人证明它是错误的至今无人证明它是错误的 。83+5，105+5，125+7，147+7，165+11，1 00029+971，铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和
3、为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般1.归纳推理的定义归纳推理的定义:由某类事物的部分对象具有某些特征由某类事物的部分对象具有某些特征,推推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理理,或者由个别事实概括出一般结
4、论的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为称为归纳推理归纳推理(简称归纳简称归纳)。简言之简言之,归纳推理是由归纳推理是由部分到整体、部分到整体、由由个个别到一般别到一般的推理。的推理。例例1.1.观察下图观察下图,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n21=12得出一般性结论：得出一般性结论：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，nn1n1na2.aa1,a1a(n1,2,3),例例已已知知数数列列的的第第一一项项且且试试归归纳纳出出这这个个数数列列的的通通项项公公式式。动手，练一练动手，练一练 nn1n+1n2a1.aa1
5、,a2anN,在在数数列列中中，试试猜猜想想这这个个数数列列的的通通项项公公式式。每一行首末两端的数都等于上一行首末两端的数都是每一行首末两端的数都等于上一行首末两端的数都是1，其它各数等于上一行与之相邻的两数之和其它各数等于上一行与之相邻的两数之和。1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明发明了锯；了锯；2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮原人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮原理理,发明了潜水艇发明了潜水艇.3.利用平面向量的基本定理类比利用平面向量的基本定理类比得到空间向量得到空间向量的基本定理的基本定理.类比推理类比推理 除了类比推理，在人类的发明
6、创造中，还除了类比推理，在人类的发明创造中，还常常应用另一种推理常常应用另一种推理-类比推理。类比推理。比如：比如：圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x0,y0)为圆心为圆心,r为半径的为半径的圆的方程为圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂中点的连线垂直于弦直于弦球心与不过球心的截面圆的圆球心与不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面圆心的连线垂直于截面圆 与球心距离相等
7、的两截面圆面积相等与球心距离相等的两截面圆面积相等与球心距离不相等的两截面圆面积与球心距离不相等的两截面圆面积不相等不相等,距球心较近的截面圆面积较大距球心较近的截面圆面积较大以点以点(x0,y0,z0)为球心为球心,r为半径的为半径的球的方程为球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V=RV=R3 3球的表面积球的表面积2 2S=4RS=4R圆的周长圆的周长 S=2RS=2R圆的面积圆的面积2 2S=RS=R 由两类对象具有某些类似特征和其中由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些
8、已知特征，推出另一类对一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为象也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理（简称类比）（简称类比）2.类比推理的定义类比推理的定义:简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 数学家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的类比是一个伟大的引路人引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题比问题.”.”例例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想出空间中四面体性质的猜想abcoABCs1s2s3c2=a2+b
9、2直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cAOBAOCBOC90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S2222123SSSS猜猜想想：类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以找出两类对象之间可以确切表述的相似特征确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想；P A B B A P A B C B A C
10、由上图（左）有面积关系：由上图（左）有面积关系：PBPAPBPASSPABBPA则由上图（右），则类似的结论是：则由上图（右），则类似的结论是：ABCPCBAPVVPCPBPAPCPBPA动手，练一练动手，练一练1.2.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高.P为三为三角形内任一点角形内任一点,P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可我们可以得到结论以得到结论:试通过类比试通过类比,在空间中在空间中,设设ha,hb,hc,hd,是三棱锥是三棱锥A-BCD四个四个面上的高面上的高.P为三棱锥内任一点为三棱锥内任一点,P到
11、相应四个面的距离分到相应四个面的距离分别为别为pa,pb,pc,pd,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.1ccbbaahphphp 平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论证证法法ABCPpapbpc1ccbbaahphphp1ddccbbaahphphphpABCDP证证法法1,2121ABCPABPACPBCccbbaaABCPABPACPBCABCPABccABCPACbbABCPBCaaaaSSSShphphpSSSSSShpSShpSShBCpBChp同理有,S,_.ABCa b cABC 已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r=3 3.2
12、Sabc 分析：面积法分析：面积法1234,A-BCD,R_.S SSSV 根根据据类类比比推推理理的的方方法法 若若一一个个四四面面体体四四个个面面的的面面积积分分别别为为体体积积为为，则则四四面面体体的的内内切切球球半半径径12343VSSSS ,S,2.ABCa b cSABCabc 变变式式：已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r=合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为
13、出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们能帮助我们猜测和发现结论。猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。提供证明的思路和方向。从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的
14、推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理谢谢指导，再见！谢谢指导，再见！3 3:(:(20012001年上海年上海)已知两个圆已知两个圆x x2 2+y+y2 2=1:=1:与与x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1,则由则由式减去式减去式式可得上述两圆的对称轴方程可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推推广的命题为广的命题为-.-.(x-a)(x-a)2 2+(y-b
15、)+(y-b)2 2=r=r2 2与与(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或设圆的方程为设圆的方程为b bd),d),则由则由式减去式可得上述两圆的对称轴式减去式可得上述两圆的对称轴方程方程.484128161216412,.,_,_,.(09)nnnnanSSSSSSSSbnTTTT 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为则则，成成等等差差数数列列练练习习直直击击高高考考：浙浙类类比比以以上上结结论论：设设等等比比江江文文第第1616数数列列的的前前 项项积积为为则则，成成等等比比数数列列题题81248TTTT例例7.PAPBPCPA PB
16、 PC（2004广东，广东，15）由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA APB BA AC C图图(1)图图(2)100203040102030TTT qTTT，成等比数列，公比为 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理简言之，简言之，演绎推理演绎推理是由是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；演绎推理的一般模式演绎推理的一般模式“三段论三段论”大前提大前提-已知的一般原理已知的一般原理小
17、前提小前提-所研究的特殊情况所研究的特殊情况结论结论-根据一般原理，对特殊情况做出的判断根据一般原理，对特殊情况做出的判断演绎推理的定义演绎推理的定义例例8.8.用三段论的形式写出下列演绎推理用三段论的形式写出下列演绎推理（1)1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等。正方形的对角线相等。矩形的对角线相等矩形的对角线相等 （大前提）（大前提）正方形是矩形正方形是矩形 （小前题）（小前题）正方形的对角线相等正方形的对角线相等（结论）（结论）（2)ysinx是三角函数，三角函数是周期函数，是三角函数，三角函数是周期函数，ysinx（x为为R
18、）是周期函数。）是周期函数。三角函数是周期函数三角函数是周期函数（大前提）（大前提）ysinx是三角函数是三角函数（小前题）（小前题）ysinx是周期函数是周期函数（结论）（结论）3.3.三段论的基本格式三段论的基本格式MP（M是是P）SM（S是是M）所以所以 SP（S是是P）（大前提）（大前提）（小前提）（小前提）（结论）（结论）M MP PS SM MS SP P三角函数三角函数是是周期函数周期函数y ysinxsinx是是三角函数三角函数 y ysinxsinx是是周期函数周期函数4.4.用集合的观点来理解用集合的观点来理解:若若集合集合M M的所有元素的所有元素都具有都具有性质性质P,
19、P,S S是是M M的一个子集的一个子集,那么那么S S中所有元素也中所有元素也都具有都具有性质性质P P.M MS Sp演绎推理演绎推理矩形矩形的的对角线相等对角线相等 （大前提）（大前提）正方形正方形是是矩形矩形 （小前题）（小前题）正方形正方形的的对角线相等对角线相等（结论）（结论）演绎推理（练习）练习练习1 1：把下列推理恢复成完全的三段论：把下列推理恢复成完全的三段论:是直角三角形；，所以，三边长依次为）因为（ABCABC5432.521的图象是一条直线）函数（xy（大前提）形是直角三角形两条边的平方和的三角一条边的平方等于其它（小前提），而，的三边长依次为222345543ABC（
20、结论）是直角三角形ABC(0)ykxb k一次函数的图象是一条直线（大前提）（小前提）是一次函数函数52xy（结论）的图象是一条直线函数52xy125.yx（）函数的图象是一条直线是直角三角形；，所以，三边长依次为）因为（ABCABC5432例例1010推理形式正确，但推理结论错误，因为推理形式正确，但推理结论错误，因为大前提错误。大前提错误。因为指数函数因为指数函数 是增函数（是增函数（大前提大前提）而而 是指数函数（是指数函数（小前提小前提）所以所以 是增函数（是增函数（结论结论）（1)1)上面的推理形式正确吗？上面的推理形式正确吗？（2)2)推理的结论正确吗？为什么？推理的结论正确吗？为
21、什么？xy a1()2xy1()2xy 错误的前提和推理形式可能导致错误的结论错误的前提和推理形式可能导致错误的结论；错误的前提和推理形式可能导致错误的结论错误的前提和推理形式可能导致错误的结论；正确的正确的前提前提和和推理形式推理形式一定能得到一定能得到正确正确的的结论！结论！但是但是因而，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具因而，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具1212A AD DE EC CM MB B1212A AD DE EC CM MB B可以省略不写可以省略不写。1212,(,1),xxxx 任任取取且且22121122()()(2)(2)fxfxxxxx 2121()(2)
22、xxxx 122112211212,0;,1,20.()()0,()().xxxxxxxxf xf xf xf x 所所以以所所以以1212,(,1),xxxx 任任取取且且22121122()()(2)(2)fxfxxxxx 2121()(2)xxxx 122112211212,0;,1,20.()()0,()().xxxxxxxxf xf xf xf x 所所以以所所以以例例 求证：一个三角形中，最大的角不小于求证：一个三角形中，最大的角不小于60。证明：设证明：设ABC中，中，ABC，则则 A+B+C 3C 即即 3C180 所以所以 C60 省略了大前提省略了大前提不等式的性质不等式的
23、性质 省略了大前提省略了大前提三角形内角和是三角形内角和是180 思考：证明过程中哪步到哪步是三段论？思考：证明过程中哪步到哪步是三段论？在应用三段论进行证明时，因为作为在应用三段论进行证明时，因为作为一般性道理一般性道理的的大前提大前提被人们熟知，是显然的，所以书写时被人们熟知，是显然的，所以书写时可以省可以省略不写略不写。正确的前提和推理形式一定能得到正确的结论！正确的前提和推理形式一定能得到正确的结论！从一般性的命题推演出特殊性命题的推理从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为方法，称为演绎推理演绎推理注：注：演绎推理是由演绎推理是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；1.1.所有
24、的金属都能导电所有的金属都能导电,所以铜能够导电所以铜能够导电.因为铜是金属因为铜是金属,2.2.三角函数都是周期函数三角函数都是周期函数,所以所以tan tan 是周期函数是周期函数 因为因为tan tan 是三角函数是三角函数,大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论“三段论三段论”是演绎推理的一般模式；包是演绎推理的一般模式；包括括大前提大前提-已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提-所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断据一般原理，对特殊情况做出的判断.2.三段论是演绎推理的一般模式三段论是演绎推理的一般模式,包括包
25、括:(1)大前提大前提 已知的一般原理已知的一般原理;(2)小前提小前提 所研究的特殊情况所研究的特殊情况;(3)结论结论 根据一般原理根据一般原理,对对殊情况做出的判断殊情况做出的判断.特特M是是P，S是是M，所以，所以，S是是P。用集合论的观点看用集合论的观点看,三段论三段论的依据是的依据是:若集若集合合M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P,S是是M的一个子的一个子集集,那么那么S中所有元素也都具有性质中所有元素也都具有性质P.M MS Sa a1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,所以所以,铜能够导电铜能够导电.铜是金属铜是金属,2.个位数字是个位数字是0或或5的正整数必
26、是的正整数必是5的倍数的倍数2375的个位数是的个位数是5所以，所以，2375是是5的倍数的倍数例例16.已知已知lg2=m,计算计算lg0.8解解（1）lgan=nlga(a0)lg8=lg23所以所以lg8=3lg2（2）lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)lg0.8=lg(8/10)所以，所以，lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论练习：练习：1.1.把下列推理恢复成完全的三段把下列推理恢复成完全的三段论论:(1)(1)因为因为 ,所以所以 21tan2cot(2)(2)函数函数 的图象是一条直线的图象是一条直线
27、.52 xy练习练习2.如图如图,D,E,F分别是分别是BC,CA,AB上的点上的点,BFD=A,DEBA,求证：求证：ED=AF.ABDCEF证证:(1)同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行,(大前提大前提)BFD与与A是同位角是同位角,且且BFD=A,(小前提小前提)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提大前提)DEBA且且DFEA,(小前提小前提)所以所以,DFEA.(结结 论论)所以所以,四边形四边形AFDE是平行四边形是平行四边形.(结结 论论)(3)平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等,(大前提大前提)ED和和AF为平行四
28、边形的对边为平行四边形的对边,(小前提小前提)所以所以,ED=AF.(结结 论论)练习练习3.3.指出下列推理中的错误指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因并分析产生错误的原因;(1)(1)整数是自然数整数是自然数,-3-3是整数是整数,-3-3是自然数是自然数;(2)(2)无理数是无限小数无理数是无限小数,是无限小数是无限小数,是无理数是无理数.)333.0(3131演绎推理错误的主要原因演绎推理错误的主要原因（1）大前提不成立；）大前提不成立；（2）小前提不符合大前提的条件）小前提不符合大前提的条件4.演绎推理具有如下特点演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理演绎的前提是一
29、般性原理,演绎所得的结论演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完结论完全蕴涵于前提之中。全蕴涵于前提之中。(2)在演绎推理中在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联前提与结论之间存在必然的联系系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数学中严格证明的工具。学中严格证明的工具。(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。作用，有助于科学的理论化和系统化。
