1、 第四章第四章 级数级数第一节 复数项级数第二节 幂级数第三节 泰勒级数第四节 洛朗级数第一节 复数项级数一、复数列的极限二、级数的概念三、典型例题四、小结与思考一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义 ,0 数数相应地都能找到一个正相应地都能找到一个正如果任意给定如果任意给定 ,),(时成立时成立在在使使NnNn ,时的极限时的极限当当称为复数列称为复数列那末那末 nn 记作记作.lim nn .收敛于收敛于此时也称复数列此时也称复数列n ,),2,1(其中其中为一复数列为一复数列设设 nn,nnniba ,为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba 2.复数列收敛的条件复数列收敛的
2、条件 ),2,1(的充要条件是的充要条件是收敛于收敛于复数列复数列 nn.lim,limbbaannnn ,lim nn如果如果那末对于任意给定的那末对于任意给定的0 就能找到一个正数就能找到一个正数N,时时当当Nn ,)()(ibaibann证证,)()(bbiaaaannn从而有从而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理.2,2 bbaann反之反之,如果如果,lim,limbbaannnn ,时时那末当那末当Nn 从而有从而有)()(ibaibannn )()(bbiaann 定理一说明定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散
3、性个实数列的敛散性.lim nn所以所以证毕证毕,bbaann课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn ;1)1()2(niznn.1)3(2innenz 二、级数的概念二、级数的概念1.1.定义定义,),2,1(为为一一复复数数列列设设 nbannn nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和收敛与发散收敛与发散,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列ns,1收敛收敛那末级数那末级数 nn.lim称称为为级
4、级数数的的和和并并且且极极限限ssnn 说明说明:.lim ssnn 利用极限利用极限 与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不收敛不收敛如果部分和数列如果部分和数列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn:,0 nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z,)1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为nns 21)()(2121nnbbbiaaa ,nni )(11收收敛敛的的充充要要条条件件
5、级级数数 nnnnniba .11都收敛都收敛和和 nnnnba定理二定理二 .11 nnnnba都收敛都收敛和和级数级数于是于是 :极限存在的充要条件极限存在的充要条件根据根据ns ,的极限存在的极限存在和和nn 说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二定理二)1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解;1 11发散发散因为因为 nnnna .1121收敛收敛 nnnnb所以原级数发散所以原级数发散.课堂练习课堂练习 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnn
6、nba和和0lim nn 必要条件必要条件重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn:,1 nine级数级数例如例如,0limlim innnne 因为因为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察0lim nn?,0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.,0lim nn 3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 .,11也收敛也收敛那末那末收敛收敛如果如果 nnnn .11成立成立且不等式且不等式 nn
7、nn 注意注意 ,1的的各各项项都都是是非非负负的的实实数数 nn 应用正项级数的审敛法则判定应用正项级数的审敛法则判定.定理三定理三证证由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnnnbabbaa 根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则,知知 ,11都收敛都收敛及及 nnnnba .11也都收敛也都收敛及及故故 nnnnba由定理二可得由定理二可得.1是收敛的是收敛的 nn,11 nkknkk 又由又由 nkknnkkn11limlim 可知可知证毕证毕.11 kkkk 或或非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明,22nnn
8、nbaba 由由,11122 nkknkknkkkbaba知知如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.1nn 1nn 定义定义.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba,11绝对收敛时绝对收敛时与与 nnnnba所以所以.1绝对收敛绝对收敛也也 nn 综上综上:nienn)11()1(因为因为下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;)11()1(nienn .sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所以所以而而0lim,1lim nnnnba解解 三、典型例题三、典型例题例例1 1),sin)(cos11
9、(ninn .cos)2(innn )2(解解 innncos 由于由于,时时当当 n所以数列发散所以数列发散.,)11(收敛收敛所以数列所以数列nienn .1lim nn 且且,coshnn,n 例例2 2 1 112是否收敛？是否收敛？级数级数 nnni解解 级数满足必要条件级数满足必要条件,01lim12 ninn即即但但 1112)1(11nnnnnini)31211()31211(i,1 1发散发散级数级数因为因为 nn.原原级级数数仍仍发发散散,1)1(1收敛收敛虽虽 nnn 11nn 11)1(nnni !)8(1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnni例例3 3,!81
10、收敛收敛 nnn故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.,!8!)8(nninn 因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解 ;)1(1收敛收敛因为因为 nnn,211收收敛敛也也 nn故原级数收敛故原级数收敛.,)1(1收收敛敛为为条条件件但但 nnn所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.21)1(1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnnin例例4 4解解四、小结与思考四、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应了解复数列的极限概念应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充
11、要条件的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质收敛与条件收敛的概念与性质.思考题思考题:,11问问均发散均发散和和如果复数项级数如果复数项级数 nnnn?)(1也发散吗也发散吗级数级数 nnn 第二节第二节 幂级数幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义 ,),2,1()(为一复变函数序列为一复变函数序列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表
12、达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作.)(1 nnzf)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数.)(,)(,)()(lim ,001000它的和它的和称为称为收敛收敛在在那末称级数那末称级数存在存在极限极限内的某一点内的某一点如果对于如果对于zszzfzszszDnnnn )()()()(21zfzfzfzsn称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,那末它的和一定那末它的和一定 :)(zsz的一个函数的一个函数是是2.2.幂级数幂
13、级数当当11)()(nnnazczf或或,)(11时时 nnnzczf是函数项级数的特殊情形是函数项级数的特殊情形,即即 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(.22100nnnnnzczczcczc或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz ,z在在收敛收敛,z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足证证 ,00收敛收敛因为级
14、数因为级数 nnnzc由收敛的必要条件由收敛的必要条件,有有0lim0 nnnzc因而存在正数因而存在正数M,0Mzcnn 有有使对所有的使对所有的n,0zz 如果如果 ,1 0 qzz那末那末而而nnnnnnzzzczc00 由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知:.0是绝对收敛的是绝对收敛的故级数故级数 nnnzc nnnnnzczczcczc22100收敛收敛.另一部分的证明请课后完成另一部分的证明请课后完成.nMq 证毕证毕2.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都
15、收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.例如例如,级数级数 nnnzzz2221对任意固定的对任意固定的z,从某个从某个n开始开始,总有总有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.(2)对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.例如例如,级数级数 nnznzz2221,0 时时当当 z通项不趋于零通项不
16、趋于零,;,级数收敛级数收敛时时设设 z.,级数发散级数发散时时 z如图如图:故级数发散故级数发散.xyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.答案答案:.为中心的圆域为中心的圆域是以是以az 幂级数幂级数 0)(nnnazc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?例如例如,级数级数
17、:1210nnnnnnnznzz1,1 zR收敛圆周收敛圆周均为均为收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;,1在其它点都收敛在其它点都收敛发散发散在点在点 z在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.3.收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1:比值法比值法(定理二定理二):,0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R证证由于由于zcczczcnnnnnnnn111limlim ,1 时时当当 z 0nnnzc收敛收敛.,z ,0收敛收敛使级数使级数 nnnzc ,01zz 使使据阿贝尔定理据阿贝尔定理,.01必收敛必收敛级数级数 nnnzc根据上节定理三根据上节定理三
18、,0 nnnzc级数级数,1 内收敛内收敛在圆在圆 z,1 0zz外有一点外有一点假设在圆假设在圆 ,1 1zz外再取一点外再取一点在圆在圆 ,1 1时时然而当然而当 z11111limzzczcnnnnn ,01收敛相矛盾收敛相矛盾与与 nnnzc,1 0外发散外发散在圆在圆故故 zzcnnn所以收敛半径为所以收敛半径为.1 R证毕证毕.1 即假设不成立即假设不成立.如果如果:,0在复平面内处处收敛在复平面内处处收敛则级数则级数 nnnzc即即.R,0.1 注意注意:nnncc1lim 存在且不为零存在且不为零.定理中极限定理中极限 .2(极限不存在极限不存在),即即.0 R,0 0均发散均
19、发散以外的一切以外的一切对于复平面内除对于复平面内除则级数则级数zzzcnnn pnnnnnncc)1(limlim1 .11 R所以所以答案答案，因为因为pnnc1 课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数 1npnnz)(为为正正整整数数p的收敛半径的收敛半径.pnn)11(1lim .1 方法方法2:根值法根值法(定理三定理三),0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R说明说明:0 0 RR(与比值法相同与比值法相同)如果如果三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的四则运算幂级数的四则运算.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设
20、,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf Rz ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 2.幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当rz 时时,)(0 nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当Rz 时时,0.)()(nnnzgazgf说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.00)(nnnzzc定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那末那末(2)(zf在收敛圆在收敛
21、圆Raz 内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,.)()(11 nnnaznczf即即是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数.0)()(nnnazczf它的和函数它的和函数(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,0.,d)(d)(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)(nnnzaazncf 或或简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即四、典型例题
22、四、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数 nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为)1(,11112 zzzzzzsnnn1 zzsnn 11lim级数级数 0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 0nnz发散发散.且有且有.1112 nzzzz收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域,1 z由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内,级数绝对收敛级数绝对收敛,收敛半径为收敛半径为1,例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)13nnnz(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)1)1(nnnz
23、(并讨论并讨论2,0 z时的情形时的情形)或或nnnnnnc31limlim 解解(1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因为因为,1.11lim3 nnn所以收敛半径所以收敛半径,1 R即原级数在圆即原级数在圆1 z内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的p级数级数).13(p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周1 z上上,级数级数 13131nnnnnz说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当 z原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数,收敛
24、收敛.,2时时当当 z发散发散.原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，调和级数，(2)1limlim1 nnccnnnn,1.1 R即即incncos 因为因为nnnnnnnneeeecc 111limlim 所以所以故收敛半径故收敛半径.1eR 0)(cosnnzin例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解),(21coshnneen ,e 解解)4sin4(cos21 ii因为因为nnic)1(所以所以nnncc1lim .2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie ;)2(4inne nnn)2()2(lim1 .2 例例5 把函数把函数b
25、z 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的幂的幂级数级数,其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数bz 1写成如下的形式写成如下的形式:bz1)()(1abaz abazab 111代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 时，时，当当1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 设设,时时那末当那末当Raz 级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz 例例6 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收
26、敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因为因为.1 R所以所以利用逐项积分利用逐项积分,得得:0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn,1.1zz .)1(12z 1 z例例7 求级数求级数 01)12(nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解1212limlim 11 nnnnnncc因为因为.21 R所所以以,21时时当当 zzzznnn 11212)12(11故故,2,12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 例例8 计算计算.21,d)(1 zczz
27、cnn为为其中其中解解,21内内在在 z 1)(nnzzS和函数和函数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 五、小结与思考五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质数的运算性质.阿贝尔资料阿贝尔资料Born:5 Aug 1802 in Frindoe(near Stavanger),NorwayDied:6 April 1829 in Froland,NorwayNie
28、ls Abel第三节第三节 泰勒级数泰勒级数二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？DKz.内任意点内任意点,)(内解析内解析在区域在区域设函数设函数Dzf,0为中心的任一圆周为中心的任一圆周内以内以为为zD如图如图:r0z.Krz 0 圆周圆周.0rz ,KD 记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于由柯西积分公式由柯西积分公式,有有 Kzfizf,d)(21)(其中其中 K 取正方向取正方向.,的内部的内部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分
29、变量因为积分变量KzK.1 00 zzz 所以所以0001111zzzzz 则则 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)(NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 由高阶导数公式由高阶导数公式,上式又可写成上式又可写成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010,0)(lim zRNN若若可知在可知在K内内 000)()(!)()(nnnzznzfzf,)(内可以用幂级数来表示内可以用幂级
30、数来表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 ,)()(内解析内解析在在DKDzf 则在则在K上连续上连续,10,qq且且无关的量无关的量是与积分变量是与积分变量,)(上也连续上也连续在在因此因此Kf,)(上有界上有界在在 Kf 即存在一个正常数即存在一个正常数M,.)(MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqn 0lim nNqK0)(lim zRNN在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周K的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要K内成立内成立.D在在 000)()(!)()
31、(nnnzznzfzf的的泰勒展开式泰勒展开式,)(zf在在0z泰勒级数泰勒级数如果如果0z到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立dzz 0因为凡满足因为凡满足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理)(zf在在0z的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径R至少等于，至少等于，d但但成立，成立，000)()(!)()(nnnzznzfzf二、泰勒定理二、泰勒定理,2,1,0),(!10)(nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定
32、理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,dzz 0时时,00)()(nnnzzczf成立成立,当当说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多;(想一想想一想,为什么为什么?);,)(.200zdzdDzf 即即之间的距离之间的距离一个奇点一个奇点到最近到最近等于等于则则内有奇点内有奇点在在如果如果;,0.30级数称为麦克劳林级数级数称为麦克劳林级数时时当当 z4.函数在区域函数在区域D内解析的充要条件是它在内解析的充要条件是它在D
33、内每一内每一点均可展为泰勒级数点均可展为泰勒级数；5.5.泰勒泰勒展开式是唯一的。:)(0已被展开成幂级数已被展开成幂级数在在设设zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末,)(00azf,)(10azf 即即,)(!10)(zfnann 因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:,2,1,0,)(!10)(nzfncnn.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函
34、数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数例如，例如，.0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1,0(,1)(0)(neznz故有故有 02!21nnnznznzzze,在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze.R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)()(znzee 因为因为仿照上例仿照上例,)!12()1(!5!3sin1253 nzzzzznn)(R,)!2()1(!4!21cos242 nzzzznn)(R.0 cos sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在与与可得可得 zzz2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式
35、,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.例如，例如，.0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,!
36、21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,)1()1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)41253 nzzzzznn)1(z)1(z)(z)(z,)!2()1(!4!21cos)5242 nzzzznn)(z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1(z 32!3)2)(1(!2)1(1)1()7zzzz ,!)1()1(nznn )1(z例例1 1.)1(1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz)1(11121 z四、典型例题四、典型例题,11)1(12 zz
37、z上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z zz11)1(12.1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导,例例2 2.0 )1ln(泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值 zz分析分析,1,1 )1ln(是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z.1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1 Ro1 1xyzzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132
38、nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解zz 11)1ln(02)1()1(1nnnnnzzzz)1(z,0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzC 例3.1 121)(2并指出展开范围的幂级数，展开成把函数zzzzf 例例4 4.0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因为因为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(.1,12)1(012 znznnn例例5 5.cos2的幂级数的展为将zz解解),2cos1
39、(21cos2zz 因为因为 !6)2(!4)2(!2)2(12cos642zzzz zzzz!62!42!221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz!62!42!22165432练习练习 1.1.2.2.sin的幂级数的展为将zzez.232的幂级数的展为将zzzz五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.泰勒资
40、料Born:18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex,EnglandDied:29 Dec 1731 in Somerset House,London,EnglandBrook Taylor第四节第四节 洛朗级数洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入四、洛朗级数的应用五、小结与思考一、问题的引入一、问题的引入问题问题:.,)(00的幂级数的幂级数是否能表示为是否能表示为不解析不解析在在如果如果zzzzf nnnzzc)(.10 双边幂级数双边幂级数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛 n
41、nnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)(zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz 收敛域收敛域:)1(21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR R结论结论:的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201RzzR 圆环域圆环域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z定理定理:.
42、)(0分可以逐项求导，逐项积和函数是解析的，而且的收敛圆环域内的双边幂级数nnnzzc双边幂级数在收敛圆环域内有与幂级数在收敛圆双边幂级数在收敛圆环域内有与幂级数在收敛圆内类似的性质内类似的性质.:10 内内在圆环域在圆环域 z例如，例如，10)1(1)(zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2.问题问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数?,111zz 所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z内
43、可以展开成级数内可以展开成级数.内，内，在圆环域在圆环域110 z也可以展开成级数：也可以展开成级数：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域设设 )(201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0(nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数为洛朗系数.内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末Dzf)(d21d21)(1
44、2 KKzfizfizf证证)()(1100zzzz 因因为为对于第一个积分对于第一个积分:00001nnzzzz 111100000zzzzzzzz 0zRr2R.z1K2K1R.,)()(0100 nnnzzz nnnzzc)(00 d)(212 Kzfi所以所以对于第二个积分对于第二个积分:d)(211 Kzfi)()(11 00zzzz 因因为为 100zzz nnKnzzzfi)(d)()(2100102 000111zzzzz 1010)()(nnnzzz,)()(10110nnnzzz d)(211 Kzfi则则其中其中)(zRN d)()()(211010 KNnnnzzfzi
45、)()(d)()(21011101zRzzzfiNnNnKn 下面证明下面证明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq 令令.10,q无关无关与积分变量与积分变量)()(的连续性决定的连续性决定由由因为因为又又zfMf szzzzfzRKNnnNd)(21)(1000 rqrMnNn 221.1qMqN .0)(lim zRNN所以所以,)(01nnnzzc d)(21 1 Kzfi于于是是nnKnzzzfi )(d)()(2101101 d)(21d)(21)(12 KKzfizfizf则则nnnnnnzzczzc )()(0100.)(0nnnzzc ),2
46、,1,0(d)()(2110 nzficCnn 如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单0znncc 与与闭曲线闭曲线.则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.nnnzzczf)()(0 1)正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分的解析部分和主要部分.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一
47、般方法.2)某一圆环域内的解析函数洛朗展开式是唯一某一圆环域内的解析函数洛朗展开式是唯一的，的，不同圆环域内展开式不唯一不同圆环域内展开式不唯一.3)某一圆环域内解析的函数都可在圆环域的中某一圆环域内解析的函数都可在圆环域的中心处展为洛朗级数心处展为洛朗级数.4)函数在圆环域内可展为洛朗级数充要条件是函数在圆环域内可展为洛朗级数充要条件是它在圆环域内解析它在圆环域内解析.5)泰勒级数是洛朗级数的特殊情况泰勒级数是洛朗级数的特殊情况.三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法:1.直接法直接法 2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc)
48、,2,1,0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.例例1 1,0 内内在在 z.)(2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知:d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2,1,0(,)0(:nzC ,3 时时当当 n0 nc,2在圆环域内解析在圆环域内解析zez故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:,2 时时当当 n由高阶导数公式知由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()(nnnzzf
49、故故 !4!3!211122zzzz z0 d213 Cnneic另解另解 !4!3!21143222zzzzzzez !4!3!211122zzzz本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,.2的奇点的奇点也是函数也是函数zez根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点:简捷简捷,快速快速.2.间接展开法间接展开法例例2 2 :)2)(1(1)(在圆环域在圆环域函数函数 zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析
50、的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解,)2(1)1(1)(zzzf ,10 )1内内在在 z4)011;z5)11;z oxy1,1 z由于由于 nzzzz2111则则2112121zz )(zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z从而从而 nnzzz22212122 ,21 )2内内在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122)(zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zz
