1、第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分&3.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念&3.2 3.2 柯西柯西-古萨定理及其推广古萨定理及其推广&3.3.3 柯西积分公式及其推论柯西积分公式及其推论&3.4 3.4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分&1.有向曲线有向曲线&2.积分的定义积分的定义&3.积分性质积分性质&4.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1.有向曲线有向曲线:()()()()(1)Cz tx tiy tt 的的表表示示0)()(tztz连连续续且且光光
2、滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲线线约约定定 C:).(因因而而可可求求长长:的方向规定的方向规定C:A,B,AB,BA,;C 开开曲曲线线指指定定起起点点终终点点若若为为正正则则为为负负 记记作作A(起点起点)B(终点终点)C:围围线线CC,C 正正方方向向观观察察者者顺顺此此方方向向沿沿 前前进进一一周周逐段光滑的简单闭曲线简称为围线逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.C的的内内部部一一直直在在观观察察者者的的左左边边。2.积分的定义积分的定义BzzzAnABn ,:)3(10小小弧弧段段个个任任意意分分划划成成将将14()()kkkkkzzfz ，作作乘乘积积1(5)()nnkkkSfz 作作和
3、和式式Dzzfw )()1(设设定义定义.)2(的一条光滑有向曲线的一条光滑有向曲线点点内点内点为区域为区域BADCDABxyo1 1z1 kzk kz1 nzkz 111,maxkkkkkkkk nzzzSzzS 记记为为的的长长度度0()1lim()(2)nkknkfzI 若若如何取如何取无论如何分割无论如何分割iC,CdzzfBACzf)(,)()(记记作作的的积积分分从从沿沿曲曲线线为为则则称称)3()(lim)(.,.1 nkkknCzfdzzfei A (1)C()Cf z dz 为为闭闭线线，记记若若曲曲作作 baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(,:)2(则则
4、取取极极限限求求和和取取乘乘积积分分割割2212(),CCCa bbadzbazdz 特特例例：若若表表示示连连接接点点的的任任一一曲曲线线 则则0,0,)2(CCzdzdzC则则表表示示闭闭曲曲线线若若关关。和和的的形形状状还还不不仅仅因因为为一一般般不不能能写写成成存存在在如如果果方方向向有有与与曲曲线线有有关关,与与 .,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3(12124)()()()nnCCCCCCCCf z dzf z dz 分分段段光光滑滑曲曲线线（对对路路径径的的可可加加性性）.)()()()(,)5估估值值定定理理上上满满足足在在函函数数的的长长度度为为设设
5、MLdszfdzzfMzfCzfLCCC 3.积分性质积分性质1)()()()CCf z dzf z dz 方方向向性性2)()()CCkf z dzkf z dz=蝌蝌3)()()()()CCCf zg z dzf z dzg z dz （线线性性性性）由积分定义得：由积分定义得：证明证明2=+,(01)Cztit的的参参数数方方程程为为而而C之长为之长为2,根据估值不等式知根据估值不等式知21dCzz 21dCsz 2211zz 例例21 d2,2 CzzCii 试试证证积积分分路路径径为为连连接接 到到点点的的直直线线段段.21 ,Cz因因为为在在上上连连续续 且且1 212ti 214
6、1t dCs 22 xyo2i2i4.积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法()(,)(,),(),().Cf zu x yiv x yCf zCf z dz 若若在在光光滑滑曲曲线线上上连连续续 则则沿沿可可积积 即即存存在在定理定理3.1)4()(CCCudyvdxivdyudxdzzf且且 Cidydxivu)(记忆记忆kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz ),(),(11 令令1111(,)(,)(,)(,)nnkkkkkkkknnkkkkkkkkuxvyivxuy nkkkkknkkknyixivuzfS11)()(证明证明0.当当时时，均均是
7、是实实函函数数的的曲曲线线积积分分(,)(,)(,)(,)!CCCCu x y dxv x y dyv x y dxu x y dy 、存存在在故故都都(),(,),(,)fzCu x yv x yC连连 续续连连 续续在在上上在在上上A 1(),()cf zCf z dz 结结论论：当当是是连连续续函函数数是是光光滑滑曲曲线线时时，一一定定存存在在。2()cf z dz 结结论论：可可以以通通过过两两个个二二元元实实函函数数的的线线积积分分来来计计算算。1limlim()(,)(,)(,)(,)nnkknnkCCCCSfzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy (
8、)Cf z dz ()(),()()(),()()(),()()()()()Cf z dzu x t y t x tv x t y t y t dtiv x t y t x tu x t y t y t dt dttztzf)()(dttiytxtytxvitytxu)()()(),()(),(:)()()(:ttiytxtzzC设设光光滑滑曲曲线线由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得()()()Cfz dzf z tzt dt （3 3.6 6）用（用（3.6）式计算复变函数的积分）式计算复变函数的积分,是从积分路径的是从积分路径的参数方程着手参数方程着手,称为称为参数方程法参数方程法.
9、例例3.1 解解 .43 :,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 直线方程为直线方程为,10,4,3 ttytx ,)43(,tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d CCyixiyxzz另解：因为另解：因为Aoxy ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关,43 曲线曲线的的是怎样从原点连接到点是怎样从原点连接到点所以不论所以不论iC .2)43(d2izzC Aoxy.Cz dz 练练习习：计计算算:Ciia ab b=-的的直
10、直线线段段；解解():11zit ta ba b=-=-线线段段的的参参数数方方程程为为 ,dzidtzitt=10111011()22Cz dzt idtitdttdtii-=-+=-+=-=-+=-+=-蝌蝌蝌蝌解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()(titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032
11、322 tit;3221i .1 1 (2);1 (1):,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线为为其中其中计算计算ixixyCzzC 例例3.1 解解xyoi 11iy=x2xy (2)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd,1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 积分路径不同积分路径不同,积分结果也
12、可能不同积分结果也可能不同.例例3.2 解解,12zdzzz 计计算算积积分分其其中中 为为圆圆环环及及实实轴轴积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为:21,I ztt zdzz 12dt xyo2C1C1212III2:2(0),iCze 1:(0),iCze 从从 到到:12,II zttIzdzz 2Czdzz IIzdzz 0diiieiee 21dt 022d2iiieiee .所所围围区区域域位位于于上上半半平平面面部部分分的的边边界界dzzzC 1112dt0diiieiee21dt022d2iiieiee30diie1302diie230diie20cos3id 0sin3i
13、d 2234.3小结小结 求积分的方法求积分的方法knkknczfdzzf 1)(lim)()1(udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()()()3(40()(),()cf zDCDf z dz 若若解解析析单单连连通通则则11005()(),()(),()()zzzzf zDDf z dzF zFzf z 若若在在 内内解解析析单单连连通通 则则例例3.3 解解.,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzz
14、zd)(110 20)1(1d ninierire,d20 innerizxyor0z ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin;0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 .0,0,0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,d20 inneri Cnzzzd)(110例如例如 1zdzz 2,i 1zdzz 1zdz 2 例如例如 1zdzz 练习练习1zdzz 20iie d 0,20ied 0 1zzdz 2,i .,)(010
15、为为整整数数为为半半径径的的正正向向圆圆周周为为中中心心表表示示以以这这里里计计算算nrzCzzdzCn 例例2 20:0 irezzC解解oxy irezz 0 z0zrC 00)sin(cos02202020ndninrinididerininn Cnzzdz10)(20)1(1derirenini 0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn.,0应应记记住住以以后后经经常常用用到到,这这个个结结果果无无关关及及这这个个结结果果与与半半径径zrA 例题,811Cdzzz证明:12.Cz 证明：CCdzzzdzzz1111Cdzz21122CzdzCdz28.oxyiz 1
16、01C2C3C)()2)13201见见图图的的值值计计算算CCCOzCCdzzC 例例310)1(:)11 ttizC解解12)1)(1010 tdtdtiittdzzC101:10:)232 titzCttzC 32CCCdzzdzzdzziiidtittdt 1)21(21)1(1010.1;,1,2121向向的的下下半半圆圆周周，逆逆时时针针方方是是单单位位圆圆顺顺时时针针方方向向的的上上半半圆圆周周是是单单位位圆圆其其中中的的值值计计算算 zCzCdzzdzzCC.0,:)11 iezC解解:idtidieedzziiC 001.0,:)22 iezCidtidieedzziiC 00
17、2例例4作业 P69 2;4;21(),f zzC 例例3.3.中中 在在全全平平面面解解析析 它它沿沿连连接接起起点点及及终终点点的的任任意意 的的积积分分值值相相同同，3.2 Cauchy-Goursat定理定理()Im,Im.Cf zzzdzC 在在复复平平面面上上处处处处不不解解析析的的值值与与积积分分路路径径有有关关0013 320.z zrdzizz 例例中中 ()()()BCCAf z dzf z dzf z dz即即与与路路径径无无关关，也也即即0,zz 为为奇奇点点 即即不不解解析析的的点点，0zz 但但在在除除去去的的非非单单连连通通区区域域内内处处处处解解析析。由此猜想由
18、此猜想：复积分的值与路径无关：复积分的值与路径无关(或沿闭路的或沿闭路的积分值积分值0)的条件可能与被积函数的解析性及解的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关。析区域的单连通性有关。复函积分与路径无关复函积分与路径无关被积函数被积函数的解析性的解析性解析区域解析区域的单连通的单连通性性?)(,)(内内连连续续在在且且内内处处处处解解析析在在单单连连通通设设DzfDivuzf ()cCCCDf z dzudxvdy ivdxudy 又又对对于于 闭闭曲曲线线，DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公公式式由由 cdzzf0)(yxyx
19、yxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并满满足足都都是是连连续续的的内内在在以以及及它它们们的的偏偏导导数数和和,yyxxiuvivuzf )(1900,().GoursatCauchyfz年年给给出出了了定定理理的的新新证证明明 且且将将连连续续 这这一一条条件件去去掉掉了了1825()()0cCauchyDf zDCf z dz 年年给给出出了了 单单连连通通区区域域 内内处处处处解解析析的的沿沿 内内任任一一条条闭闭曲曲线线的的积积分分(),.fzD当当时时解解析析的的定定义义为为存存在在 且且在在 内内连连续续1851.RiemannCauchy年年给给出出了了定定理理的的上上
20、述述简简单单证证明明Cauchy 定理定理,:()CauchyGoursatfzD-这这就就产产生生了了著著名名的的定定理理从从此此解解析析函函数数的的定定义义修修改改为为在在 内内存存在在(),()0.Cf zzDCDf z dz 设设在在 平平面面上上单单连连通通区区域域 内内解解析析为为 内内任任一一条条闭闭曲曲线线Cauchy-Goursat定理（定理定理（定理3.2）：）：1()D,(),.Cf zDCD 为为边边若若的的界界在在上上解解析析 定定理理仍仍成成立立A DCDC(2)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图。不必是简单的！如下图。DDC推论推论3.2 设设f(z)在单
21、连通区域在单连通区域D内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0,z1D,积分积分c f(z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线的曲线C，即积分与路径无关即积分与路径无关。C1120()()()zCCzf z dzf z dzf z dz见见上上左左图图z1z0C1C2C1C2z0z1典型例题典型例题例例1 1解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 ,1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有 1.0d321zzz思考题思考题应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?思考题答案思考题答案(1)注意定理的条件注意
22、定理的条件“单连通域单连通域”.(2)注意定理不能反过来用注意定理不能反过来用.)(,0d)(内处处解析内处处解析在在而说而说即不能由即不能由CzfzzfC ;2321 1)(:内内在圆环域在圆环域反例反例 zzzf .11)(:2内内在在反例反例 zzzf&(1).原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念&(2).积分计算公式积分计算公式2 原函数与不定积分原函数与不定积分 1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由推论由推论3.2知：设知：设f(z)在单连通区域在单连通区域D内解析，内解析，则对则对D中任意曲线中任意曲线C,积分积分c f(z)dz与路径无关，只与路径无关，只
23、与起点和终点有关。与起点和终点有关。当起点固定在当起点固定在z0,终点终点z在在D内变动内变动,c f(z)dz在在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作01()()()zzF zfd 定理定理3.3 设设f(z)在单连通区域在单连通区域D内解析，则内解析，则F(z)在在D内解析，且内解析，且)()(zfzF 0()()zzF zfd 上面定理表明上面定理表明 是是f(z)的一个的一个原函数。原函数。定义定义3.2 若函数若函数 (z)在区域在区域D内的导数等于内的导数等于f(z)，即，即 ,称称 (z)为为f(z)在在D内的原函数内的原函数.)()(zfz
24、 设设H(z)与与G(z)是是f(z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，)(,)()(0)()()()()()(为任意常数为任意常数cczHzGzfzfzHzGzHzG 这表明：这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章练习题见第二章练习题7)7)czFdzzf)()(2.积分计算公式积分计算公式定义定义 设设F(z)是是f(z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f(z)的不定积分，记作的不定积分，记作定理定理3.4 设设f(z)在单连通区域在单连通区域D内解析，内解析，F(z)是是f(z)的一个原函数，则的
25、一个原函数，则101001()()()(,)zzf z dzF zF zzzD A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强思考题思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有莱布尼兹公式有何异同何异同?思考题答案思考题答案两者的提法和结果是类似的两者的提法和结果是类似的.;,)(0都是复数都是复数因而因而且积分路线是曲线且积分路线是曲线为单连域中的解析函数为单连域中的
26、解析函数但在复积分中要求但在复积分中要求zzCzf.,)(都是实数都是实数数数上的连续实函上的连续实函为区间为区间在实积分中要求在实积分中要求babaxf两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大.例例1 计算下列积分：计算下列积分：;3,3,0Re,31)12iizzCdzzC终终点点为为起起点点为为为为半半圆圆周周：其其中中 解解1)32|1211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上解析上解析，在在32319312222222ideideiedzziiiC ：解解.,1arg1)2的的任任意意曲曲线线终终点点为为起起点点为为内内：为为单单连连通通区区域域其其中中zz
27、DCdzzC ).(ln1lnln11ln,1DzzzdzzzzDzC 故故的一个原函数，的一个原函数，是是又又内解析内解析在在解解2)例例3 计算下列积分：计算下列积分：32|332izdzziiii 11111|11 nnnnnzndzz iiizzzzdzziicossin|cossinsin00 小结小结 求积分的方法求积分的方法knkknczfdzzf 1)(lim)()1(udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()()()3(40()(),()cf zDCDf z dz 若若解解析析单单连连通通则则11005()(),()(),()()zzzzf
28、zDDf z dzF zFzf z 若若在在 内内解解析析单单连连通通 则则例例2 2.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz ,21 1 1 上解析上解析都在都在和和因为因为 izizz根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221.i 01200:,(),.niiCD C CCCCCC 其其中中是是在在的的内内部部的的简简单单闭闭曲曲线线 互互不不包包含含也也不不相相交交及及每每一一条条曲
29、曲线线是是逆逆时时针针顺顺时时针针012,nDCCCCC 设设 是是由由所所围围成成的的有有界界多多连连通通区区域域定理定理3.5（复合闭路定理）：（复合闭路定理）：3 复合闭路定理复合闭路定理定理定理3.2的推广的推广01012()()()()()iCnCCif z dzf z dzf z dz 或或(),f zD在在 内内解解析析 则则CiCD012112233()()CcccLLLLLLf z dzf z dz 证明证明0)()(HAFFEEAAAEAFEAGFdzzfdzzf012CCCC 设设Dc1c2L1L2L3AAEEFFGH0C012010()()()()()kkCcccccc
30、cf z dzf z dzf z dzf z dzf z dz 01()()()kcccf z dzf z dzf z dz A 1)()(ccdzzfdzzf此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它的积分值，只要在变的积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过的的f(z)的不解析点的不解析点.D CC1C1C10012CzCdzizz 如如：对对任任意意包包含含在在内内的的正正向向简简单单闭闭曲曲线线有有：闭路变形原理闭路变形原理21 d.1zzz 练练习习 计计算算 ,1 2
31、在内的闭曲线在内的闭曲线是包含是包含因为因为 zz根据复合闭路定理即定理根据复合闭路定理即定理3.5可知可知,2.2d11 zizz.1:1 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzz 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式原式)01,011(21 CCdzzdzz21111CCdzdzzz 解解 C1C21xyo例例3.7220ii.1:12 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzzz 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式原式)01,011(21 CCdzzdzzi
32、iidzzdzzCC 42211112 解解 C1C21xyo练习练习作业 P69 7(2)(3);9;10(1)(3)3.3 CauchyCauchy积分公式及其推论积分公式及其推论 1 1）通过两个二元实变函数的积分来计算；）通过两个二元实变函数的积分来计算；1 1.复变函数积分的计算复变函数积分的计算预备知识预备知识 2）化为参变量的定积分来计算；化为参变量的定积分来计算；2 2.复变函数积分的性质复变函数积分的性质3 3.柯西积分定理柯西积分定理4 4.复合闭路定理复合闭路定理柯西定理在多连域的推广柯西定理在多连域的推广5 5.闭路变形原理闭路变形原理复合闭路定理的特例复合闭路定理的特
33、例,(),Df zD 设设单单连连通通在在 内内解解析析分析分析DCz0C100)(zzzzf在在则则.不解析不解析0()0.Cf zdzzz 一一般般0()?Cf zdzzz 100()()CCf zf zdzdzzzzz闭闭路路变变形形原原理理0,zD Cdzzzzf0)()0(01可可充充分分小小 zzzC,)(的的连连续续性性zf.,这这就就是是下下面面的的定定理理这这个个猜猜想想是是对对的的DCC1猜想积分：猜想积分：特别取特别取0()f z)(0zf)(20zif 00|()z zf zdzzz 0 000|1()z zf zdzzz z0 00|()z zf zdzzz 定理定理
34、(Cauchy 积分公式积分公式)1)(),f zD设设在在区区域域 内内处处处处解解析析00()2()Cf zdzif zzz ,)2DDC它它的的内内部部完完全全含含于于曲曲线线内内任任意意一一条条正正向向简简单单闭闭是是03)zC为为 内内任任意意一一点点，则则0.KzzzRC 设设的的内内部部证明证明00()()CKf zf zdzdzzzzz 00()()d0.Kf zf zzzz 只只需需证证明明:DCKzz0R0000()()()KKf zf zf zdzdzzzzz 000()()2()Kf zf zif zdzzz 00()()Kf zf zdszz 0000lim()()0
35、,()0()()zzf zf zzzRf zf z ，当当，00()()Kf zf zdzzz KdsR 2 根据闭路变形原理根据闭路变形原理,该积分的值与该积分的值与R无关无关,所以只有所以只有在对所有的在对所有的R 积分值都为零时才能任意小。证毕。积分值都为零时才能任意小。证毕。001()()2Cf zf zdzizz 00()2()Cf zdzif zzz 或或(1)函数在函数在C内部任一点的值可以用它在边界上的内部任一点的值可以用它在边界上的 值表示值表示,从而得到解析函数的一个积分表达式。从而得到解析函数的一个积分表达式。A 关于公式的说明关于公式的说明:1()()d(),2Cff
36、zzCiz 内内部部(),()kf zCf zC例例：若若在在曲曲线线 上上恒恒为为常常数数k k 则则在在曲曲线线 内内部部也也恒恒为为常常数数.0001()2zCKf zdzizz 012CKdzizz K()f zK(2)提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法。提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法。0C0()d2(),f zzif zzz 0,zC b.b.若若内内部部 则则C0()d0.f zzzz 0C,za.a.当当 为为被被积积函函数数位位于于 内内部部的的单单奇奇点点时时 c.若被积函数在若被积函数在C内部有两个以上奇点，则需内部有两个以上奇点，则需先应用复合闭路定理
37、，再用柯西积分公式。先应用复合闭路定理，再用柯西积分公式。()DD=D,f zCCCauchy若若定定理理条条件件改改为为在在为为边边界界的的区区域域内内解解析析 及及在在+上上连连续续 则则积积分分公公式式仍仍成成立立。(1 1),A 推广及其应用推广及其应用0(2):ReiCzz 若若，则则柯柯西西积积分分公公式式成成为为一个解析函数在圆心处的值一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值等于它在圆周上的平均值。200Re)Re(21dRiezfiiii 200)Re(21dzfi0()f z平均值定理：平均值定理：xyo0zRz 设设 f(z)在多连通域在多连通域 D内解析，在边界上连
38、续，内解析，在边界上连续，0012f zf zdzizz 01.nzDCCC ，D0zC1C(3)柯西积分公式可以推广到多连域。柯西积分公式可以推广到多连域。则则 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求：0sinsin21)104 zzzdzzzi iiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解2211.CzdzzzCz 求求为为包包含含在在内内的的任任意意简简单单正正向向闭闭曲曲线线例例2 21222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzzzzdzzzz012
39、1212214zzzziizzi 课堂练习课堂练习.d)1(32 zzzzze计算积分计算积分答案答案1,1,0 zzz有三个奇点有三个奇点).2(d)1(132 eeizzzezz小结与思考小结与思考一公式一公式-柯西积分公式柯西积分公式0C0()d2()f zzif zzz 两用途两用途(重点重点)-1.计算闭路复积分；计算闭路复积分；2.解析函数积分表达式。解析函数积分表达式。推广及应用推广及应用思考：思考：今后遇到闭曲线上的复变函数积分今后遇到闭曲线上的复变函数积分,应先想到什么？应先想到什么？2 解析函数的高阶导数公式解析函数的高阶导数公式 一个解析函数不仅有一阶导数一个解析函数不仅
40、有一阶导数,而且有各高阶导数而且有各高阶导数,它它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一这一点和实变函数完全不同点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间它的导数在这区间上是否连续也不一定上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了更不要说它有高阶导数存在了.问题的提出问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函其定义和求法是否与实变函数相同数相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数.(2)高阶导
41、数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示,这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?求求导导得得两两边边在在积积分分号号下下对对对对积积分分公公式式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)(Cdzzzzfizf300)()(2!2)(),2,1()()(2!)(100)(ndzzzzfinzfCnn 形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。以下将对这些公式的正确性加以证明。1()000(),!()()(1,2,)2()(),.
42、nnCf znnf zfzdznizzCf zDzD 解解析析函函数数的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数它它的的 阶阶导导数数为为其其中中为为在在的的解解析析区区域域 内内围围绕绕 的的任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线 而而且且它它的的内内部部定理定理3.7证明证明 用数学归纳法和导数定义。用数学归纳法和导数定义。zzfzzfzfDznz )()(lim)(.100000的的情情形形先先证证 Cdzzzzzfizzf 00)(21)(Cdzzzzfizf00)(21)(由由柯柯西西积积分分公公式式 CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(21)()(2
43、1)()(000000 令为令为I CCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 CCdszzzzzzfzdzzzzzzzzfI200200)(21)()(21 则则有有取取则则上上连连续续在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000 D 0zCd）（*)()(21)()(lim)(200000 Czdzzzzfizzfzzfzf 从从而而有有显显然然，的的长长度度）,0lim(03 ICLdMLzIz ()()2.n再再利利用用式式及及推推导导的的方方法法可可证
44、证的的情情形形 Czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)()(lim)(依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得 Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)()(),.f zzDf zDD定定理理表表明明在在 平平面面上上 内内解解析析在在 内内具具有有各各阶阶导导数数 即即在在 内内解解析析就就有有无无穷穷次次可可导导一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn 可可计计算算积积分分用用途途5:1cos(1)CCzrzdzz 求求下下列列积积分分值值例例145154215 12
45、412()coscos(cos)()!()!zCzzidzzzii 在在全全平平面面处处处处解解析析（）解解例例2 2.dcos)2(;d)1(1(1)12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解 ,1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z ,2 10内内在在 zz,3 n 243d)1(1zzzz131!32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式 12dcos)2(zzzzze ,cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez ,1 00内内在在 zz,1 n 12dcoszzzzze0)cos(!12 zzzei0sinc
46、os2 zzzzezei.2 i 例例3 3解解.31)2(;23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 ,0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数,23)1(z 2,z仅包含奇点仅包含奇点,1)(3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231!12 zzi;83 i 31)2(z ,0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Czz 2,0 21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC ,21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式,Czzzd
47、)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021!12)2(1!22 zzzizi8383ii .0.8 ()(,)(,)f zu x yiv x yD定定理理3 3函函数数在在区区域域 内内解解析析的的充充要要条条件件是是3 刻划解析函数的第二个等价定理刻划解析函数的第二个等价定理1,xyxyuuvvD、偏偏导导数数在在区区域域 内内连连续续;2-(,)(,)u x yv x yD、和和在在区区域域 内内满满足足柯柯西西 黎黎曼曼方方程程.证明证明充分性充分性为为P28定理定理2.8必要性必要性 条件条件2的必要
48、性已由的必要性已由P26定理定理2.7得出得出,由解析函数的无穷可微性由解析函数的无穷可微性,()fzD必必在在 内内连连续续,xyxyuuvvD从从而而必必在在区区域域 内内连连续续.课堂练习课堂练习 CzzzzzzgzC.d)()(,302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案答案;0)(,00 zgCz外外在在 .)16(2)(,2000izzgCz 内内在在例例5 5.)(,0d)(,)(内解析内解析在在证明证明都有都有内任何一条简单闭曲线内任何一条简单闭曲线且对于且对于内连续内连续在单连通域在单连通域设函数设函数BzfzzfCBBzfC (Morera定理定理)证
49、证 ,0内任意一点内任意一点为为内取定一点内取定一点在在BzzB依题意可知依题意可知 ,d)(00的路线无关的路线无关和和的值与连接的值与连接zzfzz ,d)()(0 zzfzF 定义了一个单值函数定义了一个单值函数参照本章第四节定理二参照本章第四节定理二,可证明可证明),()(zfzF ,)(内一个解析函数内一个解析函数是是所以所以BzF因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数,.)(为解析函数为解析函数故故zf作业 P70 15；16(1)(2)调和函数在流体力学和电磁学，传热学理论等调和函数在流体力学和电磁学，传热学理论等实际问题中都有重要应用。实际问题中都有重要应
50、用。3.4 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系.),()00:),(2222内内的的调调和和函函数数为为则则称称即即（方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数DyxyxLaplaceDyx 定义定义3.31.调和函数调和函数内内的的调调和和函函数数。是是，内内解解析析在在区区域域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()(定理定理3.10证明：证明：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则 ,uvuvCRxyyx 由由方方 程程222222,uvuvxy xyx y
