1、第第3 3讲讲 函数与方程及函数的应用问题函数与方程及函数的应用问题1.1.函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根 （1 1）函数的零点）函数的零点 对于函数对于函数f f(x x)，我们把使，我们把使f f(x x)=0)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数 f f(x x)的零点的零点.（2 2）函数的零点与方程根的关系）函数的零点与方程根的关系 函数函数F F(x x)=)=f f(x x)-)-g g(x x)的零点就是方程的零点就是方程f f(x x)=)=g g(x x)的的 根，即函数根，即函数y y=f f(x x)的图象与函数的图象与函数y y=g g(x x)的图象交点
2、的图象交点 的横坐标的横坐标.（3 3）零点存在性定理）零点存在性定理 如果函数如果函数y y=f f(x x)在区间在区间a a,b b上的图象是连续不上的图象是连续不 断的一条曲线，且有断的一条曲线，且有f f(a a)f f(b b)0)11，B B （2 2）（）（20092009福建文，福建文，1111）若函数）若函数f f（x x）的零点）的零点 与与g g(x x)=4)=4x x+2+2x x-2-2的零点之差的绝对值不超过的零点之差的绝对值不超过0.250.25，则则f f(x x)可以是可以是 ()()A.A.f f(x x)=4)=4x x-1-1B.B.f f(x x)
3、=()=(x x-1)-1)2 2 C.C.f f(x x)=e)=ex x-1-1D.D.解析解析 g g(x x)=4)=4x x+2+2x x-2-2在在R R上连续且上连续且 )21ln()(xxf212)41(g.01212)21(,02322g 设设g g(x x)=4)=4x x+2+2x x-2-2的零点为的零点为x x0 0,则则 又又f f(x x)=4)=4x x-1-1的零点为的零点为 f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 2的零点为的零点为 x x=1;=1;f f(x x)=e)=ex x-1-1的零点为的零点为x x=0;=0;的零点为的零点为 故选故选
4、A.A.答案答案 A A,21410 x.4141,4141000 xx;41x)21ln()(xxf.23x二、函数与方程的综合应用二、函数与方程的综合应用例例2 2 已知函数已知函数f f（x x）=-=-x x2 2+8+8x x，g g（x x）=6ln=6lnx x+m m，是否存在实数是否存在实数m m，使得，使得y y=f f（x x）的图象与）的图象与y y=g g（x x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m m 的取值范围；若不存在，说明理由的取值范围；若不存在，说明理由.思维启迪思维启迪 f f(x x)与与g g(x x
5、)图象的交点的问题可以转化图象的交点的问题可以转化 为研究为研究 (x x)=)=g g(x x)-)-f f(x x)的零点问题，即研究的零点问题，即研究 (x x)的的 图象的变化趋势图象的变化趋势.解解 函数函数y y=f f(x x)的图象与的图象与y y=g g(x x)的图象有且只有三的图象有且只有三 个不同的交点个不同的交点,即函数即函数 (x x)=)=g g(x x)-)-f f(x x)的图象与的图象与x x轴轴 的正半轴有且只有三个不同的交点的正半轴有且只有三个不同的交点.(x x)=)=x x2 2-8-8x x+6ln+6lnx x+m m,当当x x(0,1)(0,
6、1)时时,(,(x x)0,()0,(x x)是增函数是增函数;当当x x(1,3)(1,3)时时,(,(x x)0,()0,()0,(x x)是增函数是增函数;当当x x=1,=1,或或x x=3=3时时,(,(x x)=0.)=0.(x x)极大值极大值=(1)=(1)=m m-7,-7,(x x)极小值极小值=(3)=(3)=m m+6ln 3-15.+6ln 3-15.当当x x充分接近充分接近0 0时时,(,(x x)0,)0,)0,要使要使 (x x)的图象与的图象与x x轴正轴正 半轴有三个不同的交点半轴有三个不同的交点,必须且只须必须且只须 即即77m m15-6ln3.15-
7、6ln3.所以存在实数所以存在实数m m,使得函数使得函数y y=f f(x x)与与y y=g g(x x)的图象有的图象有 且只有三个不同的交点且只有三个不同的交点,m m的取值范围为的取值范围为 (7,15-6ln3).(7,15-6ln3).探究提高探究提高 f f(x x)的图象与的图象与g g(x x)的图象交点个数问题的图象交点个数问题辅助函数辅助函数 (x x)=)=g g(x x)-)-f f(x x)的零点个数的零点个数.另外，二次另外，二次 方程根的分布问题可通过其相应抛物线而转化，方程根的分布问题可通过其相应抛物线而转化，就是数形结合中的以形助数思想就是数形结合中的以形
8、助数思想.,0153ln6)(,07)(mxmx极小值极大值 变式训练变式训练2 2 设函数设函数f f(x x)=(1+)=(1+x x)2 2-m mln(1+ln(1+x x),),h h(x x)=)=x x2 2+x x+a a.(1)(1)当当a a=0=0时，时，f f(x x)h h(x x)在（在（0,+0,+）上恒成立，）上恒成立，求实数求实数m m的取值范围；的取值范围；（2 2）当）当m m=2=2时，若函数时，若函数k k(x x)=)=f f(x x)-)-h h(x x)在在0,20,2上上 恰有两个不同的零点，求实数恰有两个不同的零点，求实数a a的取值范围的取
9、值范围.解解 （1 1）f f(x x)h h(x x)1+1+x x-m mln(1+ln(1+x x)0)0 记记 则则f f(x x)h h(x x)在（在（0,+0,+）上恒）上恒 成立等价于成立等价于m m (x x)min.)min.)1ln(1xxm,)1ln(1)(xxx 当当x x(0,e-1)(0,e-1)时，时，(x x)0)0)0，故，故 (x x)在在x x=e-1=e-1处处 取得极小值，也是最小值，取得极小值，也是最小值，即即 (x x)min=(e-1)=e)min=(e-1)=e，故，故m me.e.(2)(2)函数函数k k(x x)=)=f f(x x)-
10、)-h h(x x)在在0 0，2 2上恰有两个不上恰有两个不 同的零点等价于方程同的零点等价于方程(1+(1+x x)-2ln(1+)-2ln(1+x x)=)=a a在在0 0，2 2 上恰有两个相异实根上恰有两个相异实根.,)1(ln1)1ln()(2xxx 令令g g(x x)=(1+)=(1+x x)-2ln(1+)-2ln(1+x x),),则则 当当x x0,10,1）时，）时，g g(x x)0)0)0 故故g g(x x)在在0 0，1 1）上是减函数，在（）上是减函数，在（1 1，2 2上是上是 增函数，增函数，故故g g(x x)minmin=g g(1)=2-2ln2,
11、(1)=2-2ln2,g g(0)=1,(0)=1,g g(2)=3-2ln3.(2)=3-2ln3.因为因为g g(0)(0)g g(2)(2)，所以只要，所以只要g g(1)(1)a ag g(2)(2)，即可以，即可以 使方程使方程(1+(1+x x)-2ln(1+)-2ln(1+x x)=)=a a在在0 0，2 2上恰有两个上恰有两个 相异实根，即相异实根，即a a(2-2ln2,3-2ln3(2-2ln2,3-2ln3.11)(xxxg三、函数的实际应用三、函数的实际应用例例3 3 某地有三家工厂，分别位于某地有三家工厂，分别位于 矩形矩形ABCDABCD的顶点的顶点A A，B B
12、及及CDCD的中的中 点点P P处，已知处，已知ABAB=20 km,=20 km,CBCB=10km=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCDABCD的区的区 域上（含边界），且与域上（含边界），且与A A，B B等距离的一点等距离的一点O O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AOAO，BOBO，OPOP，设排污管道的总长为，设排污管道的总长为y y km.km.（1 1）按下列要求写出函数关系式：）按下列要求写出函数关系式：设设BAOBAO=(rad),=(rad),将将y y表示成表示成 的函数关系式；
13、的函数关系式；设设OPOP=x x（kmkm），将），将y y表示成表示成x x的函数关系式的函数关系式.（2 2）请你选用（）请你选用（1 1）中的一个函数关系式，确定）中的一个函数关系式，确定 污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.思维启迪思维启迪 本题可以根据图形，利用解三角形的本题可以根据图形，利用解三角形的 知识求得知识求得y y关于关于 及及x x的函数关系式，而后根据解析的函数关系式，而后根据解析 式特点选择恰当方法求函数的最小值式特点选择恰当方法求函数的最小值.解解 (1)(1)由条件知由条件知PQPQ垂直平分垂直平分ABAB,若
14、若BAOBAO=(rad),=(rad),则则 故故 所以所以 故所求函数关系式为故所求函数关系式为,cos10cosBAOAQOA,tan1010.cos10OPOB又,tan1010cos10cos10OPOBOAy).40(10cossin1020y 若若OPOP=x x(km),(km),则则OQOQ=(10-=(10-x x)(km),)(km),所以所以 故所求函数关系式为故所求函数关系式为 (2)(2)选择函数模型选择函数模型,令令y y=0,=0,得得 因为因为 所以所以 当当 时，时，y y000，y y是是 的增函数，的增函数，.2002010)10(222xxxOBOA)
15、.100(2002022xxxxy2cos)sin)(sin1020(coscos10 y,cos)1sin2(102,21sin.40.6)6,0()4,6(所以当所以当 时，时，这时点这时点O O位于线段位于线段ABAB的中垂线上，的中垂线上，且距离且距离ABAB边边 处处.探究提高探究提高 解决函数实际应用题的关键有两点：解决函数实际应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确 问题的实际背景；然后进行科学地抽象概括，问题的实际背景；然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理将实际问题归纳为相应的数学问题
16、；二是要合理 选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间 的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关 系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使 实际问题获解实际问题获解.6)(km).10310(1023211020minykm3310 变式训练变式训练3 3 某物流公司购买了一某物流公司购买了一 块长块长AMAM=30=30米，宽米，宽ANAN=20=20米的矩形米的矩形 地块地块AMPNAMPN，规划建设占地如图，规划建设占地如图 中矩形中矩形ABCDABCD的仓
17、库，其余地方为道路和停车场，的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点要求顶点C C在地块对角线在地块对角线MNMN上，上，B B、D D分别在边分别在边 AMAM、ANAN上，假设上，假设ABAB长度为长度为x x米米.（1 1）要使仓库占地）要使仓库占地ABCDABCD的面积不少于的面积不少于144144平方平方 米，米，ABAB长度应在什么范围？长度应在什么范围？（2 2）若规划建设的仓库是高度与）若规划建设的仓库是高度与ABAB长度相同的长长度相同的长 方体建筑，问方体建筑，问ABAB长度为多少时仓库的库容量最长度为多少时仓库的库容量最 大？（墙体及楼板所占空间忽略不计）大？（墙体及楼板
18、所占空间忽略不计）解解 （1 1）依题意三角形）依题意三角形NDCNDC与三角形与三角形NAMNAM相似，相似，所以所以 即即 矩形矩形ABCDABCD的面积为的面积为 定义域为定义域为00 x x30,30,要使仓库占地要使仓库占地ABCDABCD的面积不少于的面积不少于144144平方米，即平方米，即 化简得化简得x x2 2-30-30 x x+2160+2160，解得，解得1212x x18,18,所以所以ABAB长度应在长度应在1212，1818内内.,NANDAMDC,3220,202030 xADADx,32202xxS,14432202xx （2 2）仓库体积为）仓库体积为 V
19、 V=40=40 x x-2-2x x2 2令令V V=0=0，得，得x x=0=0或或x x=20.=20.当当00 x x200,0,当当2020 x x3030时时V V0,0,所以所以x x=20=20时时V V取最大值取最大值 即即ABAB长度为长度为2020米时仓库的库容量最大米时仓库的库容量最大.)300(322032xxxV,m300083 规律方法总结规律方法总结 1.1.函数与方程函数与方程（1 1）函数）函数f f(x x)有零点有零点方程方程f f(x x)=0)=0有根有根函数函数f f(x x)的的图象与图象与x x轴有交点轴有交点.（2 2）函数）函数f f(x
20、x)的零点存在性定理的零点存在性定理.如果函数如果函数f f(x x)在区间在区间a a,b b上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的曲线，并且有曲线，并且有f f(a a)f f(b b)0)0，那么，函数，那么，函数f f(x x)在区间在区间（a a,b b）内有零点，即存在）内有零点，即存在c c(a a,b b)，使，使f f(c c)=0.)=0.如果函数如果函数f f(x x)在区间在区间a a,b b上的图象是连续不断上的图象是连续不断的曲线，并且函数的曲线，并且函数f f(x x)在区间在区间a a,b b上是一个单调上是一个单调函数，那么当函数，那么当f f(a a)f
21、f(b b)0)0)0，那么，函数，那么，函数f f(x x)在区在区间间(a a,b b)内不一定没有零点内不一定没有零点.如果函数如果函数f f(x x)在区间在区间a a,b b上的图象是连续不断上的图象是连续不断的曲线，那么当函数的曲线，那么当函数f f(x x)在区间（在区间（a a,b b）内有零点时）内有零点时不一定有不一定有f f(a a)f f(b b)0)0.)0.例如例如函数函数f f(x x)=)=x x3 3-5-5x x2 2+6+6x x在区间在区间1 1，4 4上有零点上有零点2 2和和3 3，却有却有f f(1)(1)f f(4)0.(4)0.2.2.函数综合
22、题的求解往往应用多种知识和技能函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件件.要认真分析，处理好各种关系要认真分析，处理好各种关系;把握问题的把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决来解决.3.3.应用函数模型解决实际问题的一般程序应用函数模型解决实际问题的一般程序与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产
23、值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答的有关知识加以综合解答.读题读题（文字语言）（文字语言）)(数学语言建模 求解求解（数学应用）（数学应用）)(检验作答反馈一、选择题一、选择题1.(20091.(2009青岛模拟青岛模拟)方程方程mxmx2 2+2(+2(m m+1)+1)x x+m m+3=0+3=0仅有仅有 一个负根，则一个负根，则m
24、m的取值范围是的取值范围是()()A.A.（-3-3，0 0）B.B.-3-3，0 0）C.C.-3-3，0 0D.D.-1-1，0 0 解析解析 当当m m=0=0时，时，符合题意符合题意,当当m m00时，时，-3-3m m0 0 23x030)3(4)1(4212mmxxmmm 验证：当一根为零即验证：当一根为零即x x1 1x x2 2=0=0时，另一根为负时，另一根为负 m m=-3=-3也符合也符合,-3,-3m m0.0.故选故选C.C.答案答案2.2.（20092009湖北文，湖北文，8 8）在）在“家电下乡家电下乡”活动中，某活动中，某 厂要将厂要将100100台洗衣机运往邻
25、近的乡镇台洗衣机运往邻近的乡镇.现有现有4 4辆甲型辆甲型 货车和货车和8 8辆乙型货车可供使用辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输每辆甲型货车运输 费用费用400400元，可装洗衣机元，可装洗衣机2020台；每辆乙型货车运输台；每辆乙型货车运输 费用费用300300元，可装洗衣机元，可装洗衣机1010台台.若每辆车至多只运若每辆车至多只运 一次，则该厂所花的最少运输费用为一次，则该厂所花的最少运输费用为 （）A.2 000A.2 000元元B.2 200B.2 200元元 C.2 400C.2 400元元D.2 800D.2 800元元C C 解析解析 设需甲型货车设需甲型货车x x辆辆,乙
26、型货车乙型货车y y辆辆,由题意知由题意知 作出其可行域如图，作出其可行域如图，可知目标函数可知目标函数z z=400=400 x x+300+300y y在点在点A A处取最小值，处取最小值，z z=400=4004+3004+3002 2 =2 200(=2 200(元元).).答案答案 B B.1001020,8,4yxyyxx*3.3.已知函数已知函数f f（x x）=x x|x x-4|-5-4|-5，则当方程，则当方程f f（x x）=a a有三有三 个根时，实数个根时，实数a a的取值范围是的取值范围是()()A.-5 A.-5a a-1 B.-5-1 B.-5a a-1-1 C
27、.C.a a-5-1-1 解析解析 在平面直角坐标系中画出函数在平面直角坐标系中画出函数f f（x x）=x x|x x-4|-5=4|-5=的图象，由图象可得当的图象，由图象可得当 -5-5a a-1-1时，直线时，直线y y=a a与函数与函数f f（x x）的图象有）的图象有3 3个交个交 点，即方程点，即方程f f（x x）=a a有三个根，所以选有三个根，所以选A.A.x x2 2-4-4x x-5,-5,x x44-x x2 2+4+4x x-5,-5,x x400即可即可.由它们的图象可知由它们的图象可知x x00时有时有9 9个交点，故总共有个交点，故总共有1818 个交点个交
28、点.方程方程f f(x x)=lg|)=lg|x x|有有1818个解个解.B B5.5.设函数设函数y y=x x3 3与与 的图象的交点为的图象的交点为(x x0 0,y y0 0)，则则x x0 0所在的区间是所在的区间是 （）A.A.（0 0，1 1）B.B.（1 1，2 2）C.C.（2 2，3 3）D.D.（3 3，4 4）解析解析 在同一坐标系中，分别画出在同一坐标系中，分别画出y y=x x3 3与与 的图象，观察易知图象的交点存在且唯一，又的图象，观察易知图象的交点存在且唯一，又 所以两函数交点横坐标所以两函数交点横坐标 x x0 0(1,2).(1,2).2)21(xy,)
29、21(1213,)21(22232)21(xyB B二、填空题二、填空题6.6.某工厂生产某种产品固定成本为某工厂生产某种产品固定成本为2 0002 000万元，并且万元，并且 每生产一单位产品，成本增加每生产一单位产品，成本增加1010万元万元.又知总收入又知总收入 K K是单位产品数是单位产品数Q Q的函数，的函数，则总利则总利 润润L L（Q Q）的最大值是）的最大值是 万元万元.解析解析 总利润总利润L L（Q Q）=K K（Q Q）-10-10Q Q-2 000-2 000 故当故当Q Q=300=300时，总利润时，总利润L L（Q Q）的最大值为）的最大值为2 5002 500万
30、万 元元.,20140)(2QQQK.5002)300(2010002102014022QQQQ2 5002 5007.7.如图是用二分法求方程如图是用二分法求方程2 2x x+3+3x x=7=7在（在（1 1，2 2）内近似）内近似 解的程序框图，要求解的精确度为解的程序框图，要求解的精确度为0.010.01，则框图，则框图 中（中（1 1）处应填）处应填 ，（，（2)2)处应处应 填填 .f f(a a)f f(m m)0)0|a a-b b|0.01|0,0,且且 a a1)1)有两个零点，则实数有两个零点，则实数a a的取值范围是的取值范围是 .解析解析 设函数设函数y y=a ax
31、 x(a a00，且，且a a1)1)和和 函数函数y y=x x+a a，则函数，则函数f f(x x)=)=a ax x-x x-a a(a a0,0,且且a a1)1)有两个零点，就是函数有两个零点，就是函数y y=a ax x (a a00，且，且a a1)1)与函数与函数y y=x x+a a有两个交点，由图象可有两个交点，由图象可 知当知当00a a111时，因为函数时，因为函数y y=a ax x(a a1)1)的图象过点的图象过点 （0 0，1 1），而直线），而直线y y=x x+a a所过的点一定在点（所过的点一定在点（0 0，1 1）的上方，所以一定有两个交点，所以实数的
32、上方，所以一定有两个交点，所以实数a a的取值的取值 范围是范围是a a1.1.a a11三、解答题三、解答题9.9.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为4040 元，出厂单价定为元，出厂单价定为6060元，该厂为鼓励销售商订元，该厂为鼓励销售商订 购，决定当一次订购量超过购，决定当一次订购量超过100100件时，每多订购一件时，每多订购一 件，订购的全部服装的出场单价就降低件，订购的全部服装的出场单价就降低0.020.02元，元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600600件件.（1 1）设一次订购）设一次订
33、购x x件，服装的实际出厂单价为件，服装的实际出厂单价为p p 元，写出函数元，写出函数p p=f f(x x)的表达式；的表达式；（2 2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得 的利润最大？其最大利润是多少？的利润最大？其最大利润是多少？解解 （1 1）当）当00 x x100100时，时，p p=60;=60;当当100100 x x600600时，时，p p=60-(=60-(x x-100)-100)0.02=62-0.020.02=62-0.02x x.（2 2）设利润为）设利润为y y元，则元，则 当当00 x x100100时，时，y y
34、=60=60 x x-40-40 x x=20=20 x x;当当100100 x x600600时，时，y y=(62-0.02=(62-0.02x x)x x-40-40 x x=22=22x x-0.02-0.02x x2 2.600100,02.062,1000,60 xxxp.600100.02.022,1000,202xxxxxy 当当00 x x100100时，时，y y=20=20 x x是单调增函数，当是单调增函数，当x x=100=100时，时，y y最大，此时最大，此时y y=20=20100=2 000100=2 000；当当1001002 000.6 0502 000
35、.所以当一次订购所以当一次订购550550件时，利润最大，最大利润为件时，利润最大，最大利润为 6 0506 050元元.10.10.如图，已知等腰梯形如图，已知等腰梯形ABCDABCD的三边的三边 ABAB、BCBC、CDCD分别与函数分别与函数 x x-2,2-2,2的图象切于点的图象切于点P P、Q Q、R R，且点且点P P的横坐标为的横坐标为t t(0(0t t2).2).(1)(1)试求直线试求直线ABAB的方程；的方程；（2 2）试求点）试求点P P的坐标，使得梯形的坐标，使得梯形ABCDABCD的面积最的面积最 小，并求出梯形面积的最小值小，并求出梯形面积的最小值.解解 （1
36、1）由题意）由题意 直线直线ABAB的方程为的方程为).2,0(),20)(221,(2QtttP.2212xyxy,tyktxAB.2212ttxy,2212xy (2)(2)设其面积为设其面积为S S,由（由（1 1）知，）知，令令y y=0=0得得 令令y y=2=2得得 当且仅当当且仅当 即即 时取等号时取等号.当当 时，时，S S最小且最小且 此时此时 当当P P的坐标为的坐标为 时，梯形时，梯形ABCDABCD的面积有最的面积有最 小值，最小值为小值，最小值为,2212:ttxylAB)0,24(2ttA),2,21(tB,24)2(222)2421(212tttttS,2tt 2,02 t2t,24minS).1,2(P)1,2(.24返回
