1、2.3 空间曲线的方程一、空间曲线的一般方程.的交线空间曲线可看成两曲面xyzo图图11S2S设两曲面为)2,1(0),(izyxFSii：.L它们的交线为L标满足：上的任何点的坐则L.0),(,0),(21zyxFzyxF(2.3-1)(2.3-1).,)13.2(,上交线即在同时在两曲面上的点坐标满足反之L.)13.2(叫空间曲线的一般方程如来表达可用不同形式的方程组空间曲线注,L.0,0zxoy轴的方程是(1)(1).0,0)1(zxzx与因方程组(2)(2).)2(,表示轴的方程也可用故同解oy.,1圆心在原点的圆的方程半径为面上求在例Rxy.球面与平面的交线因空间的圆总可看成是解示为
2、所以所求圆的方程可表.0,2222zRzyx(3)(3).0,)3(222zRyx与因(4)(4).)4(,表示故所求圆的方程也可用同解.2222与圆柱面都过所求圆因球面Rzyx示为故所求圆的方程也可表.2222222RyxRzyx，可根据需要选择用一般式表示时空间曲线注,1L.,的公共点再无别之外上的点是它们的公共点个曲面除去曲线但必须注意这两表示的任意两曲面方程联立过曲线LL须分析方程要判别其形状已知曲线的一般方程,().,再综合考察形及特征组中每个方程表示的图例例 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zy
3、x表示平面，表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.任何空间曲线如.02,20222zzyx而的圆半径为中心在上表示平面,4),2,0,0(,2z.5,20222zzyx.不表示任何曲线它们可能不表示面方程联立任意两个给定的曲注,2,0),(3的左端能分解因式若曲面方程注zyxF所表则如0),(),(),(),(zyxFzyxzyxfzyxF方程组因程组的形式在这里不可将它写成方与它们的方程分别为示的曲面是两个,0),(,0),(,zyxzyxf.0),(,0),(zyxzyxf表示两如方程若存在的话表示两曲面的交线0),(xy.0,0,00yxyx而方程组与个坐标面二、空间曲
4、线的参数方程(表示空间曲线的常用方法)数方程有空间曲线的向量式参与平面曲线类似地,).(trr(2.3-2)(2.3-2).)()()()(321etzetyetxtr或(2.3-3)(2.3-3).,bat 参数 )()()(tzztyytxx坐标式参数方程).(bta(2.3-4)(2.3-4).,轴即的交线与却表示两个坐标面zxozyoz 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.并设轴重合于轴线使；在空间取坐标系解,ozkjiO作直线作圆周运动的角速质点运动的起点为,),0
5、,0,(aA).(,如图的位置质点运动到秒后经运动的速度ptbvA pQt 质点运动轨迹的向量式参数方程质点运动轨迹的向量式参数方程xyzor则面上射影为在,Qxyp,),(tOQi,k tbQP,QPOQOPr).(sincosttbktajtair(2.3-5)(2.3-5)taxcostaysintbz坐标式参数方程为坐标式参数方程为).(t.为参数t.为参数t(2.3-6)(2.3-6)图图2 分别写成则设)63.2(),53.2(,t).(sincosbkajaircosax sinay bz)53.2(与).()63.2().2(,图曲线的形状象弹簧为参数式中得曲线方程的一般形式从
6、上式消去.sin,cosbzaybzax(2.3-7)(2.3-7)又可得的前两式由,)63.2(222ayx这说明这条曲线在它是一个圆柱面这就是,),112.2(.,3,称其为圆柱螺旋线线说明它是圆柱面上的曲成图常把其图形画这个圆柱面上Axyzo图图3可见与比较),73.2()63.2(显示空间曲线的参数方程将中在有些问题想像出轨迹的图形且从它易确的质点运动的意义不仅表示出明参数方程,.,)63.2(螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程 bzayaxsincos),(vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 .出它的优越性.的的参参数数方方程程写写出出曲曲线线例例3 3xyzyx9222标标平平面面内内,先先把把曲曲线线投投影影到到某某个个坐坐解解：程程写写出出投投影影曲曲线线的的参参数数方方:参参数数方方程程再再写写出出原原空空间间曲曲线线的的平平面面内内，得得把把曲曲线线投投影影到到 yoz)20(,sin3cos23 zy).20(,sin3cos23cos23 zyx,09222 xzy练习题.6)2.(5)2(.3)5)(3.(29392PP；
