1、目录 上页 下页 返回 结束 常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路:求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrye和它的导数只差常数因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1.当042qp时,有两个相异实根,21r,r方程有两个线性无关的特解:,e11xry,e22xry 因此方程的通解为xrxrCCy21ee21(r 为待定常数),xrre,函数为常数时因为所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.目录 上页 下页 返回 结束),(
2、0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr2.当042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解(u(x)待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u=x,则得,e12xrxy 因此原方程的通解为xrxCCy1e)(21,2p.e11xry)(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru目录 上页 下页 返回 结束),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosex
3、xxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对
4、应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)(e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:目录 上页 下页 返回 结束 例例1.032 yyy求方程的通解.解解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxCCy321ee例例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问
5、题的解为ttse)24(22C目录 上页 下页 返回 结束 例例3.xxO解解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律,0v速度为.)(txx 立坐标系如图,0 xx 设 t=0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为由第六节例1(P323)知,位移满足目录 上页 下页 返回 结束 方程:22ddtx02xk特征方程:,022 krkri2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0
6、 xkv0方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)kvC020022020tan,vxkkvxA目录 上页 下页 返回 结束 解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxtO简谐振动 A:振幅,:初相,周期:kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt,000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定)目录 上页 下页 返回 结束 方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21解的解的特征特征解的解的
7、特征特征解的解的特征特征目录 上页 下页 返回 结束 小阻尼自由振动解的特征小阻尼自由振动解的特征:)sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始条件确定任意常数后变形)sin(etAxtntxOT0 x运动周期:;2T振幅:tnAe衰减很快,)0,0(00vx此图随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.目录 上页 下页 返回 结束 大阻尼解的特征大阻尼解的特征:(n k)1)无振荡现象;trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)(limtxtOtx0 x此图参数:1,5.1kn5.10 x073.50v2)对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.目
8、录 上页 下页 返回 结束 临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征:(n=k)任意常数由初始条件定,tntCCxe)(21)()1tx最多只与 t 轴交于一点;:,21取何值都有无论CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2)无振荡现象;此图参数:2n1.00 x10v0 xOxy目录 上页 下页 返回 结束 例例4.052)4(yyy求方程的通解.解解:特征方程,052234rrr特征根:i21,04,321rrr因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5(yy解方程解解:特征方程:,045rr特征根:
9、1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不难看出,原方程有特解)e,132xxxx目录 上页 下页 返回 结束 02)(22222rr例例6.)0(0dd444wxw解方程解解:特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解:xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC目录 上页 下页 返回 结束 例例7.02)4(yyy解方程解解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为i,2,1ri4,3r则方程通解:xxCCycos)(31xxCCsin)(42目录 上页
10、 下页 返回 结束 内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21,rr(1)当时,通解为xrxrCCy21ee2121rr(2)当时,通解为xrxCCy1e)(2121rr(3)当时,通解为)sincos(e21xCxCyxi2,1r可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解.答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaCCyee21作业作业 P340 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第八节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题,2cos,e2,e321xyxyyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:,121 rri24,3r因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr04852)4(yyyyy故所求方程为其通解为xCxCxCCyx2sin2cose)(4321
