1、课件1第第3 3章章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法 迭代法的基本思想是，把n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111（3.1）或 Ax=b改写成等价的方程组 nnnnnnnnnnngxmxmxmxgxmxmxmxgxmxmxmx2211222221212112121111，或x=Mx+g 迭代法是从某一取定的初始向量x x(0)出发,按照一个适当的迭代公式,逐次计算出向量x x(1),x x(2),使得向量序列x x(k)收敛于方程组的精确解.迭代法是一类逐次近似的方法.其优点是,算法简便,程序易于实现.课
2、件2由此建立方程组的迭代公式 x(k+1)=Mx(k)+g,k=0,1,2,(3.2)其中M称为迭代矩阵迭代矩阵。对任意取定的初始向量x x(0),由(3.2)式可逐次算出迭代向量x x(k),k=1,2,如果向量序列x(k)收敛于x*,由(3.2)式可得 x*=Mx*+g 从而x x*是方程组x=Mx+g的解,也就是方程组Ax=b的解.这种求解线性方程组的方法称为迭代法迭代法 ,若迭代序列x(k)收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.1 Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法迭代法 Jacobi方法是由方程组(3.1)中第k个方程解出x x(k),得到等价方程组:课件3
3、从而得迭代公式nnnnnnnnnnnnnnnnnnnabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaax1122112222223222312221211111131113211121,3,2,1,)3.3()(1)(2)(1)1(222)(222)(2223)(2221)1(111)(111)(1113)(1112)1(112131232kabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxnnnknnnnknnnknnnkknkkkknkkknnnn课件4式(3.3)称为JacobiJacobi迭代法迭代法,简称为J J迭代法迭代法.,则J迭代法可写
4、成 x x(k+1)=BxBx(k)+g g k=0,1,2,可见,J J迭代法的迭代矩阵为0002122222211111112nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaBTnnnababab),(222111g若记,2,1,0,2,1,)(11)(11)()1(knixaxabaxnijkijijkijiiikjji J J法也记为课件5G-SG-S迭代法也可记为,3,2,1,)4.3()1(1)1(2)1(1)1(222)(222)(2223)1(2221)1(111)(111)(1113)(1112)1(112131232kabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxabxaaxaa
5、xaaxnnnknnnnknnnknnnkknkkkknkkknnnn式(3.4)称为Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法迭代法,简称为G-SG-S迭代法迭代法.若在J J迭代法中,充分利用新值,则可以得到如下的迭代公式,2,1,0,2,1,)(11)(11)1()1(knixaxabaxnijkijijkijiiikjji课件6方程组的精确解为x x*=(1,1,1)T.解解 J J迭代法计算公式为例例1 用J法和G-S法求解线性方程组141035310214310321321321xxxxxxxxx57)(2103)(1101)1(321)(3103)(151)1(257
6、)(3101)(2103)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取初始向量x x(0)=(0,0,0)T,迭代可得4.1,5.0,4.1)1(3)1(2)1(1xxx11.1,2.1,11.1)2(3)2(2)2(1xxx计算结果列表如下:课件7可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解,而切迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.kx1(k)x2(k)x3(k)x(k)-x*0123456701.41.110.9290.99061.011591.0002510.998236400.51.201.0550.96450.99531.0057951.000125501.41.110.9290.9906
7、1.011591.0002510.998236410.50.20.0710.03550.011590.0057950.0017636 G-S G-S迭代法的计算公式为:课件8 同样取初始向量x x(0)=(0,0,0)T,计算结果为 由计算结果可见,G-S迭代法收敛较快.取精确到小数点后两位的近似解,G-S迭代法只需迭代3次,而J迭代法需要迭代7次.57)1(2103)1(1101)1(321)(3103)1(151)1(257)(3101)(2103)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxkx1(k)x2(k)x3(k)x(k)-x*012301.41.06340.995104400.7
8、81.020480.9952756801.0260.9875161.0019068610.40.06340.0048956 课件9 为了进一步研究,从矩阵角度来讨论上述迭代法.对线性方程组AxAx=b b,记 D D=diag(a11,a22,ann)000121323121nnnnaaaaaaL000,122311312nnnnaaaaaaU则有 A A=D D-L L-U U于是线性方程组 AxAx=b b 可写成 (D D-L L-U U)x x=b b等价于 DxDx=(L L+U U)x x+b b 或或 x x=D D-1(L L+U U)x x+D D-1b b 课件10由此建立
9、J J迭代法迭代公式 x x(k+1)=D D-1(L L+U U)x x(k)+D D-1b b k=0,1,2,或写成 x x(k+1)=BxBx(k)+g g k=0,1,2,其中000)(21222222111111121nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaULDBnnnababab2221111,bDgG-SG-S迭代法迭代公式可写成 x x(k+1)=D D-1LxLx(k+1)+D D-1UxUx(k)+D D-1b b 课件11 讨论迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g k=0,1,2,Dx Dx(k+1)=LxLx(k+1)+UxUx(k)+b b (D D-L L)x
10、x(k+1)=UxUx(k)+b b x x(k+1)=(D D-L L)-1UxUx(k)+(D D-L L)-1b b 所以G-SG-S迭代法可以写成 x x(k+1)=GxGx(k)+g g k=0,1,2,其中 G G=(D D-L L)-1U U,g g=(D D-L L)-1b b 2 2 迭代法的收敛性迭代法的收敛性的收敛性.课件12 记误差向量e e(k)=x x(k)-x x*,则迭代法收敛就是e e(k)0 0.由于 x(k+1)=Mx(k)+g k=0,1,2,x*=Mx*+g k=0,1,2,所以 e(k+1)=Me(k),k=0,1,2,递推可得 e(k)=Mke(0
11、),k=0,1,2,可见,当k时,e e(k)0 0 Mk O O.对任意初始向量x x(0),迭代法收敛(M)1.定理定理3.1 证证 若Mk0,则k(M)=(Mk)Mk0,所以(M)1.若(M)0,使得(M)+1.则MkMk(M)+)k 0.课件13 若若M1,则对任意x x(0),迭代法收敛,而且 定理定理3.2)6.3(0)(1)k*(k)xxM1Mxx)5.3(1)1()(*)(kkkxxMMxx 证证 由于 x(k+1)=Mx(k)+g x(k)=Mx(k-1)+g x*=Mx*+g所以 x(k+1)-x(k)=M(x(k)-x(k-1),x(k+1)x*=M(x(k)x*)于是有
12、 x(k+1)-x(k)Mx(k)-x(k-1)x(k+1)x*Mx(k)x*x(k+1)-x(k)=(x(k+1)x*)-(x(k)x*)x(k)x*-x(k+1)x*课件14 x(k+1)-x(k)=(x(k+1)x*)-(x(k)x*)x(k)x*-x(k+1)x*(1-M)x(k)x*所以)()1(*)(11kkkxxMxx)1()(1kkxxMM)0()1(1xxMMk 定理3.2只是收敛的充分条件,并不必要,如7.005.08.0M则M1=1.2,M=1.3,M2=1.09,MF=1.17但(M)=0.81,所以迭代法是收敛的.由(3.5)式可见,M越小收敛越快,且当x(k)-x(
13、k-1)很小时,x(k)x*就很小,实际上用x(k)-x(k-1)作为课件15迭代终止的条件.例如kx1(k)x2(k)x3(k)x(k)-x*0123456701.41.110.9290.99061.011591.0002510.998236400.51.201.0550.96450.99531.0057951.000125501.41.110.9290.99061.011591.0002510.998236410.50.20.0710.03550.011590.0057950.0017636x(6)-x(5)=0.011339,x(7)x(6)=0.0056695 由(3.6)式可得:课件
14、16若使x(k)x*,只需可以事先估计达到某一精度需要迭代多少步.)0()1(1xxMMk ,即M(0)(1)xx)M(1ln/)ln(k 用J J迭代法求例1中方程组的解,取x(0)=(0,0,0)T,若使误差x(k)-x*10-5,问需要迭代多少次?解解 由例1知,x x(1)=(1.4,0.5,1.4)T,于是有,x x(1)-x x(0)=1.4,B B=0.5.例例2 00010310110351101103Bk应满足095.185.0ln/)4.1105.0ln(5k故取k=19,即需要迭代19次.课件173 J3 J迭代法和迭代法和G-SG-S迭代法的收敛性迭代法的收敛性 定理定
15、理3.33.3 J J迭代法收敛(B)1;若B1J J迭代法收敛;G-SG-S迭代法收敛(G)1;若G1 G-SG-S迭代法收敛;定义定义3.13.1 若n阶矩阵A=(aij)满足:niaaiinijjij,2,1,1则称矩阵A是严格对角占优矩阵严格对角占优矩阵.引理引理 若A是严格对角占优矩阵,则det(A)0.证证 A=D-L-U=D(E-D-1(L+U)=D(E-B)课件18因此,(B)B1,故=1不是B B的特征值,det(E E-B B)0.定理定理3.43.4 设A是严格对角占优矩阵,则解线性方程组Ax=b的J J迭代法和G-SG-S迭代法均收敛.因为A是严格对角占优矩阵,所以de
16、t(D)0,而且1max11nijjiiijniaaB所以,det(A)0.证证 由于B1,所以J J迭代法收敛.设是G G的任一特征值,则满足特征方程课件19 det(E-G)=det(E-(D-L)-1U)=det(D-L)-1)det(D-L)-U)=0所以有 det(D-L)-U)=0nnnnnnaaaaaaaaa212222111211UL)(D 若|1,则矩阵(D-L)-U 是严格对角占优矩阵,这与 det(D-L)-U)=0矛盾,所以|1,于是(G)1.定理定理3.5 设A 是对称正定矩阵,则解方程组Ax=b的 (1)J迭代法收敛2D-A也正定;(2)G-S迭代法必收敛.课件20
17、试建立一个收敛的迭代格式,并说明收敛性.解解 按如下方法建立迭代格式例例3 已知解线性方程组4252241632321321321xxxxxxxxx21)(321)(241)1(1kkkxxx由于迭代矩阵的行范数小于1,故此迭代法收敛.54)(352)(151)1(2kkkxxx61)(221)(131)1(3kkkxxx课件21课件22课件23课件24课件25课件26课件27课件28课件29课件30课件31设线性方程组36225124321321321xxxxxxxxx (1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)讨论这两种迭代法的收敛性.(3)取初值x(0)=(0,0,
18、0)T,若用Jacobi迭代法计算时,预估误差x*-x(10)(取三位有效数字).课堂练习课堂练习课件32 (2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当01时收敛.解解 (1)(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为 216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx (3)由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有113.05.075.0175.0110)0()1()10(*xxBBxxk
