1、xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,222220122222tuaxu0122222utax0122utax011utaxtaxtax1tax102uu)(fu)()(21ffuatx atx 2xat2ttxxttxx)()(21atxfatxfutax121tax121第1页/共50页xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,22222)()(21atxfatxfu)()()()0,(21xxfxfxu)()()()0,(21xxf axf atxuCaxfxfx021d)(1)()(2d)(21)(21)(01Caxxfx2d)(21)(21
2、)(02Caxxfx2d)(21)(212d)(21)(2100CaatxCaatxuatxatx11()()()d22x atx atuxatxata 一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 1t2t2f1f第2页/共50页11(,)()()()d22x atx atu x txatxata 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波1(,)()()2u x txatxat()xat()xat4 解的物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数，而在此区间外恒
3、等于01(,)()d2x atx atu x ta 11(,)()()u x txatxat第3页/共50页222|,|,0002xttxtxxttaxeueuxuauatxatxsaatxatxdsaseeexu2222)(21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222atxatxsatxatxeee22221)()(212)(atxe11(,)()()()d22x atx atu x txatxata 5 达朗贝尔公式的应用第4页/共50页11(,)()()()d22x atx atu x txatxata 1xx2xt2xxat
4、影响区域1xxatx1xxatt1x决定区域2x2xxatxxatxat依赖区间t(,)P x txatC特征线特征变换行波法又叫特征线法atx atx 6 相关概念第5页/共50页22222(,),0(,0)(,0)(),(),uuaf x txttxu xu xxxxt 7 非齐次问题的处理(齐次化原理)222112211,0(,0)(,0)(),(),uuaxttxu xu xxxxt 222222222(,),0(,0)(,0)0,0,uuaf x txttxuxuxxt 利用叠加原理将问题进行分解：12uuu111(,)()()()d22x atx atu x txatxata 第6
5、页/共50页222222222(,),0(,0)(,0)0,0,uuaf x txttxuxuxxt 22222,(,)(,)0,(,),axttxxxf xxt 利用齐次化原理，若 满足：则：20(,)(,)dtux tx t令：1tt 22212211,0(,0)(,0)0,(,),axttxxxf xxt 第7页/共50页22212211,0(,0)(,0)0,(,),axttxxxf xxt 11()1()11(,)(,)d(,)d22x atx a tx atx a tx tffaa 20()0()(,)(,)d1(,)d d2ttx a tx a tux tx tfa 从而原问题的
6、解为()0()11(,)()()()d221(,)d d2x atx attx a tx a tu x txatxatafa 第8页/共50页0)(22222yuAByxuBAxuyAxyBxxuxuxuxuBuAxuBuAxu22yuyuyuyuuyuuyu22yuBuAyuBuAyxu222222)(yuAByxuBAxu222222222222222222()()2uuuuuuAABBABAABBuuuAB uBA22)(uBuA22222222uBuABuAuu222222uuu22222)(uBuBAuA第9页/共50页0)(22222yuAByxuBAxuAxy Bxy 02u22
7、(d)()d d(d)dddd0yABx yABxyA xyB x特征方程第10页/共50页xyxuexuxyyuyxuxux,0)0,(,)0,(,0,03222222222d2d d3dyx yxxy3xy 02u)()(21ffu)()3()0,(212xfxfexux)()3(0)0,(21xfxfyxuCxfxf)()3(3121Cexfx4343)3(21Cexfx4343)(9/12Cexfx4343)(22CeCeuxyxy43434343223(d3d)(dd)0yxyx)()3(21xyfxyf2243433xyxyee例1 解定解问题解第11页/共50页例2 求解2222
8、222sin(cos)cos0uuuuxxxxx yyy 解：特征方程为222(d)2sin d d(cos)(d)0yx x yxx22(dsin d)(d)0yx xx(dsin dd)(dsin dd)0yx xxyx xxdsin1ddsin1dyxxyxx 12coscosyxxCyxxC令：coscosxxyxxy20u (,)()()u (,)(cos)(cos)u x yxxyxxy第12页/共50页例3 求解Goursat问题2222,0(),0(0)(0)(),0txt xuutxt ttxuxxuxx 其中解：令xtxt200220,0,0(),0(),0uuu 2x2t
9、)()(21ffu122()(0)()ff122()()(0)ff2122(,)()(0)()(0)uff 12(0)(0)(0)ff12(0)(0)(0)ff(,)()()(0)22xtxtu x y第13页/共50页思考题：求解如下定解问题2222425,0,(,0)(,0)sin,3,uuyxtxu xu xxxxt 第14页/共50页二 积分变换法1 傅立叶变换法(,)(,)d1(,)(,)d2j xj xUtu x t exu x tUt e傅立叶变换的性质()(j)()nnf(x)F微分性j()af(xa)Fe位移性积分性01()d()jxfF1()()f axFaa相似性傅立叶变
10、换的定义)(jF(x)f)(2F(x)f 偏微分方程变常微分方程第15页/共50页xxtxuxxutxxuatu),()0,(),()0,(0,22222)(Ff(x)(jF(x)f)(2F(x)f),(d)0,(d),()0,(0),(d),(d2222tUUttUattU例1 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质taBtaAtUsincos),(,0)()UA()(,)()cossinUta ta ta()Baj)(eF)f(xj)(d0F)f(x第16页/共50页()(,)()cossinUta ta ta j2)(2)(jjjjtatatataeeaeetatatataeeaeejjjj
11、j)(j)(21)()(21d)(d)(21)()(21),(00atxatxaatxatxtxud)(21)()(21atxatxaatxatxj)(eF)f(xj)(d0F)f(x第17页/共50页xxxutxxuatu),()0,(0,222,1)0,(0),(d),(d22UttUattUtaCetU22),(22222221 eextatxeeta2222421txetatxu22421),(22(,)atUte例2 解定解问题解：利用傅立叶变换的性质1C xu第18页/共50页2 拉普拉斯变换法00()()d()()dptptT pf t etf tT p ep拉普拉斯变换的性质(
12、)(1)(2)(1)()(0)(0)(0)nnnnnf(x)p F ppfpff微分性1()()f axFaa相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程()(0)f(x)pF pf2()(0)(0)f(x)p F ppff第19页/共50页0,),0(0,0)0,(0,0,222tNtuxxutxxuatupNpUxxpxUapxpU),0(0,d),(d),(222xapxapBeAepxU),(,)pxaNU x peppkeptk1)2(erfc(,)erfc()2xu x tNa tpaxeptax1)2(erfc例3 解定解问题解：对t求拉氏变换NABp第20页/共50页例4 解
13、定解问题解：对x求傅氏变换xxxutxtxfxuatu),()0,(0,),(222),()0,(0),(),(d),(d22UttFtUattU22)(),(),(appFpUapeat1tataetFetU2222),()(),(2222()0()(,)dtatateFe 22122apeta),(),()(),(22pFpUappU对t求拉氏变换第21页/共50页22222221 eextatxeeta2222421d)(21),(21)(),(0)(442222ttxtxetaxfetaxtxu22224()4011()d(,)d d22()xxtttefeatat tataetFet
14、U2222),()(),(d),()()(02222tattaeFe第22页/共50页xxtxuxxutxxtxutu,sin)0,(,0)0,(0,sin22222222sin),(ddsin),(pxpxUxxpxUp)1()1(j1),()1()1(j),(222ppUpUp222)1()1(j11),(pppU例5 解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换第23页/共50页1)1()1(j1122ppxttxusin),(2)1()1(jp222)1()1(j11),(pppU1 第24页/共50页例6 求方程 0,1,22yxyxyxu满足边界条件 ，2)0,(xxuyyucos)
15、,1(的解。)(2122xgyxxu)()(612123yfxfyxu221)0()()0,(xfxfxuyyffyyucos)()1(61),1(212)0()(221fxxf)1(61cos)(122fyyyf32221211cos(1)(0)66ux yxyyff12(1,0)(1)(0)1uff322211cos166ux yxyy解法一：第25页/共50页0,1,22yxyxyxu2)0,(xxuyyucos),1(222),(ddpxxpxpUxpxpxpxUx2),(dd32CpxpxpxU2333),(1),1(2pppUpppppxpxpxU13113),(32233161c
16、os61),(2223yyxyxyxu解法二：对y求拉氏变换231113pCppp第26页/共50页2222222,0(1)(,0)0,(,0)1,1uuxtxttxxu xxu xxtx 例7 解定解问题解：对t取拉氏变换222)(),()(),(pGpxUFpUp2221(),()(1)1xGFxx1)()()()(),(222222pFpGpFpGpUx取傅立叶变换其中2222222)1(d),(d11),(pxxxpxUxpxUp第27页/共50页0200202111(,)()()sin()sin()()sin11()()sind()sin11()()dcos()sin11()()co
17、s|cosd()sin11()sinttttUtGtFtGttFttGtFtGtFtGtFtGtt 221()sin11 1()()sin()sinFttGFtGt 1)()()()(),(222222pFpGpFpGpU第28页/共50页tGtFGttUsin)(11sin)(1)(),(2222()(1)xGxd1j)(-22xG22j)()(1GG x-22dd1 x-2-22dd1121 x-2dd11212 x-d11d212x-2d1121xarctan21j-j()sin()2jtteeFtF2211112j1txtx11()sinj()sinjFtFtd11112j1j22xt
18、t)arctan()arctan(21txtxj2()()1()1tf xtFeFx第29页/共50页tGtFGttUsin)(11sin)(1)(),(2222()(1)xGxxGarctan21)(12tFsin)(1)arctan()arctan(21txtxj-j2211()sin()2jtteeGtGtxtxarctanarctanj4121 11()sinjarctanarctand4jxGttt txtxxxxxxx|)1ln(21arctan41|)1ln(21arctan4122)1ln(21arctan)1ln(21arctan4122txtxtxtxtxtx 2211ln
19、81arctanarctan41txtxtxtxtxtx 2211ln81arctanarctan41)arctan()arctan(21arctan2txtxtxtxtxtxtxtxxtu2arctandarctanln(1)2xxxxxc第30页/共50页3 积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4 积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中那些需要积分变换，那些不需取如何取逆变换思考利用积分变换方法求解问
20、题的好处是什么？第31页/共50页三.三维波动方程的柯西问题),(),(,0 ,00222222222zyxtuzyxuRzyxtzuyuxuatutt222222zuyuxuu第32页/共50页球对称情形球对称情形cossinsincossinrzryrx222222zuyuxuu222222sin1sinsin11ururrurrr所谓球对称是指所谓球对称是指u,与无关，则波动方程可化简为rurrratu222221rurruatu222222第33页/共50页rurruatu222222),(),(),(rturtuzyxtu)(),0(rru)(),0(rrut)()0,(tgtu0,
21、0tr半无界问题第34页/共50页22222)()(rruatru这是关于这是关于 v=r u 的一维半无界波动方程的一维半无界波动方程.rurruatu222222)(),0(rrrru)(),0(rrrrut0),(0rrtru0,0tr22222)(1rruratu第35页/共50页一般情形我们利用球平均法。我们利用球平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z
22、），考虑），考虑 u 在以（在以（x，y，z）为球）为球心，心，r 为半径的球面上的平均值为半径的球面上的平均值StrazrayraxurrtzyxurSd ),(41),(3212d ),(41200321 trazrayraxu其中,cossin1a,sinsin2acos3a为球的半径为球的半径的方向余弦，,sinddd.sin22ddrdrdScossinsincossinrzryrx第36页/共50页如把如把 x,y,z 看作参变量，则看作参变量，则u是是 r，t的函数，若能的函数，若能求出求出 ，再令，再令u,0r则).,(),(lim0tzyxurtzyxur为此把波动方程的两边
23、在以为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，为中心，r为半径的球体为半径的球体 内积分，并内积分，并应用应用Gauss公式，可得公式，可得rBddr d d d 11222222SSSBBtturranuaSnuaVuaVurrr（*1）第37页/共50页同时有同时有d d d d 1022222SrBBttutVutVurr由（由（*1）(*2)可得可得dd d 11220222SSrurraut（*2）关于关于r 微分，得微分，得dd u1122222SSurrarrt（*3）利用球面平均值的定义，（利用球面平均值的定义，（*3）可写成）可写成rurratur22222（*4）第38页/
24、共50页（*4）又可改写为）又可改写为22222)()(ruratur22222)()(ruraturrurt0rurtt000rur0,0trd 41d 4112SSuSurur第39页/共50页通解为通解为).()(21atrfatrfur令令 r 0，有，有).()(021atfatf).()()(21atfatfatfdef代入上式，得).()(ratfatrfur（*5）关于关于 r 微分，微分，).()(ratfatrfruru再令再令 r 0，有，有).(2),(0atftzyxuur（*6）22222)()(ruratur第40页/共50页接下来，求满足初值的解。对（接下来，求
25、满足初值的解。对（*5）关于）关于 t 微分，微分，).()()(ratf aatrf atur（*7）（*6）和（*7）相加即得).(2)(1)(atrfturarur即0)(1)()(2tturarurrf把代入上式，得代入上式，得d 411Suu第41页/共50页0d 41d 4)(211tSSurtaurrrf0d 4d 411tSStuarurrd d 4111SSarrr第42页/共50页从而有从而有atrrftzyxu)(2),(atrSSarrrd d 4111d d 4111SStttStaStatMatMatSSd 41d 4122),(zyxM 第43页/共50页atrS
26、ard 41atrStrazrayraxard ),(41321d ),(41321StatazatayataxtStattMatSd ),()(42第44页/共50页StaStattzyxuMatMatSSd 41d 41),(22 ddtatzatyatxttsin),cos,sinsin,cossin(41200Poisson公式公式ddtatzatyatxtsin),cos,sinsin,cossin(4200 第45页/共50页四.二维波动方程),(),(,0 ,002222222yxtuyxuRyxtyuxuatutt如果我们把上述问题中的初值视为如果我们把上述问题中的初值视为),
27、(),(yxzyx),(),(yxzyx重复推导重复推导Poisson公式的过程，将会公式的过程，将会发现所得发现所得Poisson公式中不含第三个变量。公式中不含第三个变量。降维法：降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。的方法。由由Hadamard最早提出的。最早提出的。第46页/共50页d 41d 41),(22MatMatSStatattzyxu计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在 上上的球面积分可由在圆域的球面积分可由在圆域M
28、atS222)()()(:atyxMat上的积分得到。上的积分得到。d 41d 412MatMatSSrataatr d 41d 41)()(MatMatSSrarad 141222Matradd )()()(),(21222Matyxata第47页/共50页ddatyxaddatyxtatyxuatat 0202202022)()sin,cos(21 )()sin,cos(21),(dd )()()(),(21d 412222MatMatyxatataSddatyxaat 02022)()sin,cos(21因此因此第48页/共50页物理意义物理意义惠更斯原理（无后效性现象）惠更斯原理（无后效性现象）三维情形三维情形二维情形二维情形波的弥散（后效现象）波的弥散（后效现象）第49页/共50页感谢您的欣赏！感谢您的欣赏！第50页/共50页
