1、在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构们进一步来讨论线性方程组解的结构.在方程组的在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题.在有在有多个解的情况下，所谓多个解的情况下，所谓下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解但是全部的解都可以用有限多个解表示出来但是全部的解都可以用有限多个解表示出来.这就这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果是本节要讨论的问题和要得到的主要结果.11 1122121 122221 1220,0,(1)0.nnnnsssn
2、na xa xa xa xa xa xa xa xa x设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组它的解是一个它的解是一个 n 维向量，称之为维向量，称之为，所有解构成的集合，称之为所有解构成的集合，称之为.由它的由它的方程组方程组(1)有下面两个重要性质：有下面两个重要性质：一一 齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的定理给出定理给出.(以下将看到以下将看到 n-r也就是自由未知量的个数也就是自由未知量的个数).设方程组设方程组(1)的系数矩阵的秩为的系数矩阵的秩为 r，不，不妨设左上角的妨设左上角的 r 级子式不等于零级子式不等于零.于是按上一节最于是按
3、上一节最后的分析，方程组后的分析，方程组(1)可以改写成可以改写成11 111,11121 122,1121 1,11,(3).rrrrnnrrrrnnrrrrr rrrnna xa xaxa xa xa xaxa xa xa xaxa x如果如果 r=n，那么方程组没有自由未知量，方程，那么方程组没有自由未知量，方程组组(3)的右端全为零的右端全为零.这时方程组只有零解，当然这时方程组只有零解，当然也就不存在基础解系也就不存在基础解系.以下设以下设 r n.我们知道，把自由未知量的任意一组值我们知道，把自由未知量的任意一组值(cr+1,cr+2,cn)代入代入(3)，就唯一地决定了方程，就唯
4、一地决定了方程(3)也就是方程组也就是方程组(1)的一个解的一个解.换句话说，方程组换句话说，方程组(1)的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样解就完全一样.特别地，如果在一个解中，自由未特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定是零解知量的值全为零，那么这个解一定是零解.因此，为了求方程组因此，为了求方程组(1)的的 n-r 个不同的解，个不同的解，在在(3)中，令自由未知量中，令自由未知量 xr+1,xr+2,xn 取下列取下列n-r 组数：组数：12100010,(4)001rrnxxx 于是就得出方程组于是
5、就得出方程组(3),也就是方程组也就是方程组(1)的的 n-r 个个解：解：11112212,1,(,1,0,0),(,0,1,0),(5)(,0,0,1).rrn rn rn r rcccccc下面来证明，下面来证明，(5)就是一个基础解系就是一个基础解系.首先证明首先证明 1,2,n-r 线性无关线性无关.事实上，如果事实上，如果k1 1+k2 2+k n-r n-r=0,即即k1 1+k2 2+k n-r n-r=(*,*,k1,k2,kn-r)=(0,0,0,0,0).比较最后比较最后 n-r 个分量，得个分量，得k1=k2=kn-r=0.因此，因此，1,2,n-r 线性无关线性无关.
6、再证明方程组再证明方程组(1)的任意一个解都可以由的任意一个解都可以由 1,2,n-r 线性表出线性表出.设设 =(c1,cr,cr+1,cr+2,cn)(6)是方程组是方程组(1)的一个解的一个解.由于由于 1,2,n-r 是是(1)的解，所以线性组合的解，所以线性组合cr+1 1+cr+2 2+cn n-r (7)也是也是(1)的一个解的一个解.比较比较(7)和和(6)的最后的最后 n-r 个分个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全一样，即一样，即这就是说，任意一个解这就是说，任意一个解 都能表成都能表成 1,2,n-r 的线性组合的线
7、性组合.综合以上两点，我们就证明了综合以上两点，我们就证明了 1,2,n-r 确为方程组确为方程组(2)的一个基础解系，因而齐的一个基础解系，因而齐次线性方程组的确有基础解系次线性方程组的确有基础解系.证明中具体给出的证明中具体给出的这个基础解系是由这个基础解系是由 n-r 个解组成个解组成.至于其他的基础至于其他的基础解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量.=cr+1 1+cr+2 2+cn n-r (8)由基础解系的定义，可得出下面重要结论：由基础解系的定义，可
8、得出下面重要结论：=k1 1+k2 2+kn-r n-r 设设 1,2,n-r 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 (1)的的基础解系，则称基础解系，则称是齐次线性方程组是齐次线性方程组 (1)的的.求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组1234512345123453642022353056860 xxxxxxxxxxxxxxx11 11221121 1222221 122,(9).nnnnsssnnsa xa xa xba xa xa xba xa xa xb设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组若令若令 b1=b2=bs=0，就得到齐次方程组，就得到齐次方程组(1).方程组方程组(1)称为
9、方程组称为方程组(9)的的.方程组方程组(9)的解与它的导出组的解与它的导出组(1)的解之间有密的解之间有密切的切的关系关系：(10)=0+k1 1+k2 2+kn-r n-r 设设 0 是非齐次线性方程组的一个特解，是非齐次线性方程组的一个特解，1,2,n-r 是它的导出组的一个基础解系，则它是它的导出组的一个基础解系，则它的任一个解的任一个解 可表示为可表示为称之为非齐次线性方程组的称之为非齐次线性方程组的.由定理由定理 9 容易得出以下推论：容易得出以下推论：求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组123451235124512340,221,3321,21,xxxxxxxxxxxxxxxxx 设线性方程组设线性方程组1231231234,3,24.axxxxbxxxbxx讨论方程组的解的情况与参数讨论方程组的解的情况与参数 a,b 的关系，有解时的关系，有解时求其解求其解.
