1、第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析频率特性法是分析线性系统的工程实用方法。频率响应系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系。系统的频率特性反映系统的稳态性能、稳定性、暂态性能。用频域法分析线性系统的优点：可方便、直观地分析多个参数变化对系统性能的影响，并能大致指出改善系统性能的途径。可用实验方法确定稳定系统的频率特性。频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1=0.5=1=2=2.5=4曲线如
2、下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。第一节 频率特性频率特性的定义频率特性的定义 频率响应与正弦输入信号的复数比电路的频率特性（惯性环节）电路的传递函数为1111)()()(12sRCssUsUsG 频率特性设输入tUumsin11其拉氏变换为2211)(sUsUm则输出的拉氏变换为2u221211)(sUssUm求拉氏反变换，得)sin(112212212tUeUumtm其中arctg暂态分量稳态分量 频率特性电路的频率响应为)s
3、in(1lim2212tUumt)11sin(111jtjUm电路的频率特性为)()(11)(jeAjjG式中arctan)11()(1111)(22jjA为幅频特性为相频特性 频率特性（）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性（）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移（）已知系统的传递函数，令，可得系统的频率特性。（）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质js 频率特性频率特性的图形表示频率特性的图形表示（）幅相频率特性图又称极坐标图，乃魁斯特图用描点法绘制例绘制惯性环节的幅相频率特性，其中jjG11)(s 1解：arctgA)(11)(22
4、，频率特性描点后可得惯性环节的幅相频率特性图列表 频率特性（2）对数频率特性图（伯德图）由对数幅频特性和相频特性两个图组成，横坐标是对数坐标。例绘制惯性环节的伯德图，其中jjG11)(s1惯性环节的对数幅频特性为22221lg2011lg20)(lg20)(AL（单位分贝，记为dB）相频特性为arctg)(频率特性伯德图中的对数幅频特性用近似曲线方法绘制。b.当时，（在半对数坐标系中是直线方程，斜率为-20dB/dec,dec表示10倍频程）1lg20)(La.当时，（在半对数坐标系中是和横轴重合的水平线）101lg20)(L-20dB/dec 频率特性c.称为惯性环节的转折频率，水平线和斜率
5、为20dB/dec的直线在该处连接。1 频率特性惯性环节 近似曲线和精确曲线的最大误差发生在处，为1dB32lg201lg20122相频特性可用描点方法绘制，其特点是曲线关于奇对称。)51(，第二节 典型环节的频率特性熟练掌握各种典型环节的频率特性，对于绘制反馈控制系统的开环频率特性很有帮助。因为系统可以看成就是由这样一些典型环节组成的。一一.比例环节比例环节比例环节的传函为常数，它的特点是其输出能够无失真和无滞后地复现输入信号 典型环节的频率特性0)(lg20)()(KLKjG对数幅频特性为一直线 典型环节的频率特性二惯性环节二惯性环节jjG11)(22221lg2011lg20)(lg20
6、)(ALarctg)(典型环节的频率特性三积分环节三积分环节传递函数它的输出量是输入量对时间的积分幅相频率特性 上式表明，积分环节的幅频特性与频率成反比，而相频特性恒为ssG1)(211)(jejjG90 典型环节的频率特性90)(lg201lg20)(L转折点转折点 典型环节的频率特性四微分环节四微分环节理想微分环节90)(lg20)()()(2LejjGssGj 典型环节的频率特性比例微分22)(221lg20)()(11)(1)(LarctgejjGssGj 典型环节的频率特性五振荡环节五振荡环节1212)(22222sssssGnnn时间常数阻尼比，只讨论欠阻尼情况，因为过阻尼可分解成
7、两个惯性环节自然振荡角频率1n2222222222)(2221lg20)(lg20)(112)(211)()(211)(ALarctgAeAjjGj，典型环节的频率特性 典型环节的频率特性在低频段（），10)(,1)(LA在高频段（），1)lg(40)(,1)(22LA高频段渐进线是一条斜率为40dB/dec的直线交接频率为在转折频率附近，实际幅频特性与渐近线之间存在较大的误差。误差的大小取决于值。越小，误差越大。当时，在幅频特性上出现峰值振荡环节的对数幅频特性，可以在渐近线的基础上，根据书上误差校正曲线进行修正1707.0 典型环节的频率特性六滞后环节六滞后环节0)(lg20)()(,1)(
8、)()(ALAejGesGjs相位滞后角与成正比。越大，相位滞后随的增长越快第三节 系统开环频率特性的绘制控制系统是由典型环节组成的，熟悉了典型环节的特性，就不难绘制控制系统的开环频率特性了一各型别系统开环幅相频率特性的特点一各型别系统开环幅相频率特性的特点)1)(1()(21ssKsG0型系统 系统开环频率特性的绘制幅相频率特性特点：特点：（），曲线起始于正实轴的（，）点（），曲线沿(nm)90的方向趋近于坐标原点其中n为传递函数分母阶次，m为分子阶次0 系统开环频率特性的绘制型系统)1()(ssKsG幅相频率特性如图。特点：（）时，是一条平行于虚轴，趋向无穷远的直线（），曲线沿(nm)90
9、的方向趋近于坐标原点090)(,)(A90)()(,0)(,mnA 系统开环频率特性的绘制型系统)1()(2ssKsG特点：（），是一条和实轴平行伸向无穷远的直线（），曲线沿(nm)90的方向趋近于坐标原点0180)(,)(A90)()(,0)(,mnA幅相频率特性如图。系统开环频率特性的绘制二系统伯德图的绘制二系统伯德图的绘制 设开环系统由n个典型环节串联组成)()()()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()()()(212121)()(2)(1)(212121nnjnjjjnnLLLLnAAAAeAeAeAeAjGjGjGjGsGsGsGsGn可见，当
10、开环系统由若干典型环节串联组成时，其对数幅频特性和相频特性分列为各典型环节的对数幅频特性和相频特性之和因此绘制系统开环对数频率特性的方法之一，就是画出各环节的对数频率特性，然后相加 系统开环频率特性的绘制例5-3 212222212221221)(1lg201lg20lg20)(11)()1)(1()(2arctgarctgKLKAjjKjG 系统开环频率特性的绘制 系统开环频率特性的绘制例5-464)(05.01)21()5.01(4)(2jjjjjjG1.为避免差错，必须将 化成如上标准形式，即典型环节频率特性的乘积。写出幅频特性、对数幅频特性和相频特性表达式)(jG22222)05.0(
11、)641()2(1)5.0(14)(A比例环节：，20lg4=12dB积分环节：j12.分析组成系统的典型环节，并按转折频率从大到小的顺序列出)641(05.02905.0)()05.0()641(lg20)2(1lg20lg20)5.0(1lg204lg20)(222222arctgarctgarctgL 系统开环频率特性的绘制5.01,2,211111转折频率j21,5.0,5.01222转折频率j81,2.0,81,64)(05.0113332jj惯性环节：一阶微分环节：振荡环节：选定伯德图各坐标轴的比例尺，和频率范围，一般取最低频率为最小转折频率的1/10左右，最高频率为最大转折频率的
12、倍左右，注意，轴是对数刻度，最低频率不可能取作在取最低频率为0.1，最高频率为100 从低频到高频画出对数幅频特性的渐近线1 系统开环频率特性的绘制低频渐近线是斜率为-20vdB/dec的直线，其中v为积分环节的个数，在处，渐近线通过20lgK这一点此处，v=1,20lg4=12dB,通过 作斜率为-20dB/dec的直线在最小转折频率处，渐近线斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，这是惯性环节起作用的结果当频率高于转折频率时，一阶微分环节 将起作用，渐近线斜率从-40dB/dec变为-20dB/dec.1dBL12)(,15.01211j2251j 系统开环频率特性的绘制考虑振荡环
13、节的作用，在处，渐近线的斜率将有-40dB/dec的改变，形成斜率为-60dB/dec的渐近线必要时，按误差校正曲线，对渐近线进行修正，得到精确的对数幅频特性。根据各环节的相频特性，可以绘制系统的相频特性82 系统开环频率特性的绘制190124127130122)(5.在分析和设计系统时，往往对对数幅频特性曲线与轴交点频率称剪切频率附近的相频特性比较感兴趣因此也可以在附近取几个频率点，代入的表达式，用解析的方法求出相频特性的几个点低频段和高频段均可按的变化趋势画出如此例有c)()(系统开环频率特性的绘制 系统开环频率特性的绘制三最小相位系统与非最小相位系统三最小相位系统与非最小相位系统最小相位
14、系统系统传递函数的极点，零点都位于左半平面非最小相位系统在右半平面存在极点，零点最小相位系统的特点：不含有滞后环节，或不稳定的环节对于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角最小幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，因此只要知道其对数幅频特性，就可以画出其相频特性，也可以写出其传递函数。而非最小相位系统的幅频特性和相频特性之间不存在这种唯一对应关系 系统开环频率特性的绘制例有二个系统，开环传递函数分别为比较它们对数频率特性解：中含有滞后环节，为非最小相位系统sesKsGsKsG1)(,1)(1211)(2sG3.57)(1)()(1)(1221211212arctgKAarctgKA)
15、(L)(090)(1decdB/20)(211 系统开环频率特性的绘制最小相位系统对数幅频特性和相频特性的关系：低频段对数幅频特性的斜率为-20dB/dec时，相频特性趋于90高频段对数幅频特性的斜率-20（nm）dB/dec时，相频特性趋近于 90（nm）)(L)(090)(1decdB/20)(211第四节乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性一一Ngquist稳定判据稳定判据Ngquist稳定判据的数学基础是复变函数论中的映射定理，又称幅角定理闭环系统稳定的充要条件是：系统的全部特征根（或极点）位于左半平面Ngquist稳定判据：闭环系统稳定充分和必要条件是，当从变化到时，系统的开环频率特性
16、按逆时针方向包围点周，为系统位于右半平面的开环极点数目)()(jHjG)0,1(j 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性应用的两种情况不含有积分环节时例解：系统稳定)()(sHsG)1)(1()()(21sTsTKsHsG 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性.含有积分环节时根据映射定理，沿小半圆从变化到时，在平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从经过转到)()(sHsG)()(sHsG 0 022例)1()()(TssKsHsG，v=1,顺时针转过弧度系统稳定 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性例)12)(1(14)()(2sssssHsG，V=2，从顺时针顺时针包围点两周，系统
17、不稳定，并有两个闭环极点在右半面)0,1(j0P 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性二根据二根据Bode图判断系统的稳定性图判断系统的稳定性Ngquist图和Bode图的对应的关系 单位圆与分贝线对应，单位 圆外,平面上的负实轴与的180线对应采用Bode图的Ngquist判据：闭环系统稳定的充要条件是，当由变到时，在的频段内，曲线穿越线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为，为右半平面的开环极点个数0)(L1)()(jHjG)(0)(L)(2P 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性若开环系统稳定（即最小相位系统），则闭环系统稳定的充要条件是曲线正、负穿越线的次数等于零)(例)1()()(ssKsH
18、sG用伯德图判别系统的稳定性解：作系统伯德图因为在的频段内，相频特性 不穿越线按照乃氏稳定判据系统是稳定的0)(L)(180 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性三系统的稳定裕量三系统的稳定裕量至此为止我们讨论系统的稳定性问题只涉及定性的概念，根据稳定判据判别系统稳定或不稳定。现在要进一步讨论系统能够的相对稳定性问题稳定裕量就是表征系统稳定程度的量它是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。的轨迹越接近于包围点，系统的稳定程度越差因此，系统开环频率特性靠近点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。系统的稳定裕量用相角裕度和增益裕度来表示)()(jHjG)0,1(j)0,1(jgK 乃
19、奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性剪切频率对应于的频率，记为相角裕量在剪切频率处，使系统达到临界稳定状态所要附加的相角滞后量1)()(jHjGcc)(180c为使系统稳定，相角裕量必须为正值增益裕度在相角特性等于的频率处，开环幅频特性的倒数若系统增益增大到，则系统达到临界稳定状态。gK)(180)()(1jHjGgKKg或)()(1gggjHjGK)()(lg20lg20gggjHjGKGM 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性稳定的系统，为正GMKg,1 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性考虑到系统中元件参数的变化可能对稳定性带来不利影响，系统必须具有适当的相角裕量和增益裕量在设计系统时，相角裕
20、量常取30 60，增益裕量应大于分贝。此时，系统将具有较满意的暂态响应特性。最小相位系统幅频特性与相频特性存在唯一最小相位系统幅频特性与相频特性存在唯一对应关系，故可只计算相角裕量。对应关系，故可只计算相角裕量。为保证系统有足够的相角裕量，要求开环对为保证系统有足够的相角裕量，要求开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率为数幅频特性在剪切频率处的斜率为-20dB/dec，并且有相当的中频段长度并且有相当的中频段长度.乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性例)2.01)(02.01(10)()(ssssHsG求系统的稳定裕度解：（）作对数幅频特性渐近线（）求剪切频率50,521sradKKKKKLcccc
21、c/07.7510,lglglg40lg20)(11222121111二个三角形 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性（）求相角裕量（）作相频特性22.27)(18078.15205.873.5490)(02.0tan2tan90)(11cc50201007.75，180)(sradg/16对应的取几点（）求增益裕量量得处的值sradg/16)(LdBGMdBL1515)(系统稳定，且)16(15),07.7(22.2711sdBGMsgc即最小相位系统的相角裕度和增益裕度是对应的。乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性例例5 58 8 已知系统的开环传递函数 ，
22、求系统的相角裕度和增益裕度。用MATLAB可绘制系统Bode图、计算稳定裕度。系统的相角裕度 =51.85 o，增益裕度GM=67.45dB，相角剪切频率 =3.92rad/s，增益剪切频率 =242.97rad/s。)11.0()1(10)(2ssssGcg第五节闭环频率特性及频域性能指标一系统的闭环频率特性及频域性能指标一系统的闭环频率特性及频域性能指标通常系统的闭环幅频特性如图所示 闭环频率特性及频域性能指标性能指标为brrM谐振峰谐振频率带宽频率（或截止频率），是下降到时幅值的所对应的频率)(M021.反映了系统的相对稳定性。反映了系统的相对稳定性。时，相当于阻尼比为此时，可以得到比较
23、满意的暂态响应，当时，系统的阶跃响应将出现几次振荡rM4.10.1rM)3lg200(dBMdBr7.04.05.1rM 闭环频率特性及频域性能指标反映了暂态响应的速度。反映了暂态响应的速度。越大，暂态响应越快（指越短）对于欠阻尼系统，与值比较接近系统的带宽与响应速度成正比。系统的带宽与响应速度成正比。带宽宽，复现输入信号的能力就强但对高频噪声的滤波能力就差一个反馈控制系统既要求能很好地复现输入信号又希望能抑制高频噪声，这两方面是矛盾的，需要进行折中考虑也就是说设计系统时，不是带宽越宽越好闭环对数幅值曲线在附近的斜率，称作剪切率，它表征了系统从噪声中辨别有用信号的能力。曲线越陡峭，系统从噪声中
24、区别有用信号的特性越好但是一般也意味着较大，因而系统的稳定裕量较小rrsrdb0)(lg20MbrM 闭环频率特性及频域性能指标二二阶系统频域指标的暂态响应的关系二二阶系统频域指标的暂态响应的关系二阶系统的开环传函为)2()1()(2nnssssKsG式中12,nnK系统的闭环传函为2222)()(nnnsssRsC 闭环频率特性及频域性能指标二阶系统的闭环频率特性)(22)(2)1(1)()(jnneMjjRjC式中221222212tan)()2()1(1)(nnnnM 闭环频率特性及频域性能指标的关系,nnrrM2212121rnrM而欠阻尼系统的与的关系为pdM,nprMM,与的关系如
25、图.越小，越大.时，和有一一对应的关系.当时，谐振峰值不存在和之间关系如图所示prMM,rMpM707.00707.0rMrMpM22121dr只与有关当时，阻尼振荡频率当时，即不存在0707.0dr0r 闭环频率特性及频域性能指标 闭环频率特性及频域性能指标2124121412tan和之间的关系)2()(2nnjjjG和之间的关系如图所示 闭环频率特性及频域性能指标在的范围内，可用一条直线近似，即7.0018.0上式表明：选择为，对应的为0.30.6.小，小，系统的振荡趋势增强大，大，系统的暂态响应较平稳6030在满足某种条件的情况下，高阶线性系统可以近似地用具有一对主导极点的二阶系统等价表示。这时可以应用上述各种结果进行估算。
