1、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系学习目标学习目标l l baca理解并掌握根与系数的关系：x x1 1+x+x2 2=-=-，x x1 1x x2 2=会用根的判别式及根与系数的关系解题.解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式式axax2 2bxbxc c0 0，当，当b b2 24ac04ac0时，将时，将a a，b b，c c代入代入式子式子 x x 就就得到方程的根，得到方程的根，当当b b2 24ac4ac0 0时，时，方程没有实数根方程没有实数根.242bbaca 探究探究：一元二次方程：一元二次方程axax2 2b
2、xbxc c0(a0)0(a0)的根的根由方程的系数由方程的系数a a，b b，c c而定，因此：而定，因此：探索新知探索新知（1 1）x x 叫做一元二次方程叫做一元二次方程 ax ax2 2bxbxc c0(a0)0(a0)的求的求根公式根公式.242bbaca（2 2）利用）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.21（3 3）由求根公式可知，一元二次方程）由求根公式可知，一元二次方程最多有最多有 个个实数根，也可能有实数根，也可能有 个个实根或者没有实根实根或者没有实根.（4 4）一般地，式子）一般地，式子b b2 24ac4ac叫做方程叫做方程a
3、xax2 2bxbx c c0(a0)0(a0)的根的判别式，通常用的根的判别式，通常用希腊字母希腊字母表示它，即表示它，即b b2 24ac.4ac.探索新知探索新知1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0+bx+c=0(a0)的根的根的情况：的情况：(1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根.2.2.根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，的情况，这方面的知识主要用来求取值
4、范围等问题这方面的知识主要用来求取值范围等问题.探索新知探索新知例例1 1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根下列方程两个根x x1 1，x x2 2的和与积的和与积.解：x1+x2=-（-6）=6 x1x2=-15（1 1）x-6x-15=0 x-6x-15=0典题精讲典题精讲解：方程化为4x-5x+1=0 x1+x2=x1x2=（2）3x+7x-9=04545（3 3）5x-1=4x5x-1=4x解：x1+x2=x1x2=3393741典题精讲典题精讲 例例2 2 已知关于已知关于x的方程的方程 ，m m 取何值时取何值时,（1 1）方程
5、有两个不相等的实数根；）方程有两个不相等的实数根；解：解：（1 1）要使方程有两个不等实根，只需）要使方程有两个不等实根，只需 ，所以当所以当 时，方程有两个不等的实根时，方程有两个不等的实根.022122mxmx 214222mm 44144422mmmm 441 4161622mmmm 2015m 20150mm 34m 34典题精讲典题精讲 例例2 2 已知关于已知关于x的方程的方程 ，m m 取取何值时何值时,(2)方程有两个相等的实数方程有两个相等的实数根；根；解：（解：（2）要使方程有两个相等实根，只需）要使方程有两个相等实根，只需 所以当所以当 时，方程有两个相等的实根时，方程有
6、两个相等的实根.20150mm 34m 34典题精讲典题精讲022122mxmx 例例2 2 已知关于已知关于x的方程的方程 ，m m取何值时取何值时,(3),(3)方程没有实数根方程没有实数根.解：（解：（3 3）要使方程没有实数根，只需）要使方程没有实数根，只需 所以当所以当 时，方程没有实数根时，方程没有实数根.022122mxmx 20150mm 34m 34典题精讲典题精讲再根据方程根的情况列出不等式，并求解；式子 x 就得到方程的根，当理解并掌握根与系数的关系：x1+x2=-解：（2）要使方程有两个相等实根，只需（3）由求根公式可知，一元二次方程最多有 个实数根，也可能有 个实根或
7、者没有实根.例2 已知关于x的方程 ，m取何值时,(3)方程没有实数根.、请完成下列表格，并找出规律:（1）x 叫做一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：、请完成下列表格，并找出规律:探究：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：（4）一般地，式子b24ac叫做方程ax2bx c0(a0)的根的判别式，通常用希腊字母表示它，即b24ac.8、不解方程，判断下列方程根的情况：（3）x24x90；利用判别式判定下列方程的根的情况：关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则k 的取值范围是_、请完成下列表格，并找出规律:方程x1x2x1+x2x1.x2
8、X-2x-3=0X-5x+6=0X+2x+1=02x-3x+1=0-132-32365-11-2-11212123课堂作业课堂作业.一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是的根的情况是 ()A.有一个实数根有一个实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.没有实数根没有实数根D.方程方程x2-3x+1=0的根的情况是的根的情况是()A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.没有实数根没有实数根 D.只有一个实数根只有一个实数根A.下列一元一次方程中，有实数根的是下列一元一次方
9、程中，有实数根的是 ()A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 课堂作业课堂作业.关于关于x的方程的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则有实数根，则k 的的取值范围是取值范围是_k1/4.若一元二次方程若一元二次方程 x2+有两个相等的实有两个相等的实数根，那么数根，那么 的值为的值为()A.-4 B.4 C.1/4 D.-1/4 C0nxmm mn n课堂作业课堂作业.利用判别式判定下列方程的根的情况：利用判别式判定下列方程的根的情况：（1）2x23x10；（2）16x224x90；（3）x24x90；（4）3x210 x2x28x
10、.解解:（1）有两个不相等的实数根；）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；）有两个相等的实数根；（3）无实数根；）无实数根；（4）有两个不相等的实数根）有两个不相等的实数根.课堂作业课堂作业8 8、不解方程，判断下列方程根的情况：、不解方程，判断下列方程根的情况：解：解：,0452kkxxacb424542kk542kk122k220k无论k取何值，0122k 所所以此方程有两个以此方程有两个不不相相等等的实数根。的实数根。课堂作业课堂作业9、关于、关于x的方程的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等有两个不相等的实数的实数根，求根，求k的取值的取值范围范围.k-1/2，
11、且，且k0.10、已知：、已知：a，b，c是是ABC的三边，若方程的三边，若方程 有有两个等根两个等根，试试判断判断ABC的形状的形状.acbxcbax2)(22222 解：利用解：利用 0，得出，得出a=b=c.ABC为等边三角形为等边三角形.课堂作业课堂作业 根与系数的关系（根与系数的关系（韦达定理韦达定理）：若若一元二次方程一元二次方程 ax+bx+c=0ax+bx+c=0（a0a0）有两）有两实数实数根根 x x1 1，x x2 2，则则 .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的项系数的比比.acxxabxx2121.,课堂小结课堂小结已知方程根的情况求字母的取值范围时：已知方程根的情况求字母的取值范围时：1.1.先计算判别式；先计算判别式；2.2.再根据方程根的情况列出不等式，并求解；再根据方程根的情况列出不等式，并求解；3.3.若二次项系数出现了字母，应注意若二次项系数出现了字母，应注意“二次项二次项系数不为系数不为0”.课堂小结课堂小结
