1、3.2.2基本初等函数基本初等函数的导数公式及导数的导数公式及导数的运算法则的运算法则高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式:1(),()f xcfx、若则 2(),()nf xxfx、若则 3()sin,()f xxfx、若则 4()cos,()f xxfx、若则 01nn xcosxsin x5(),()xf xafx、若则 6(),()xf xefx、若则 7()log,()xaf xfx、若则 8()ln,()f xxfx、若则 lnxaaxe1lnxa1x常函数常函数幂函数幂函数三角函数三角函数指数函数指数
2、函数对数函数对数函数可以直接使用的基本初等函数的导数公式可以直接使用的基本初等函数的导数公式11:()0;2:();3:(sin)cos;4:(cos)sin;5:()ln(0);6:();17:(log)(0,1);ln18:(ln);nnxxxxaCxnxxxxxaaa aeexaaxaxx 公式公式公式公式公式公式公式且公式导数的运算法则导数的运算法则:法则法则1:两个函数的两个函数的和和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和(差差),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:两个函数的两个函数的积的导数积的导数,等于第一个函数的导数乘第二
3、个函数等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数,即即:()()()()()()f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的两个函数的商的导数商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函等于第一个函数的导数乘第二个函数数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平再除以第二个函数的平方方.即即:2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x由由法则法则2:()()()()C f xC f xC fxC fx例例1:求下列函数的导数求下列函数的
4、导数:222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23)1;yxxxyxyxyxx答案答案:;41)1(32xxy ;)1(1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy 112.).2yx求函数的图象上点(2,处的切线方程23.690,.yxxy曲线的一条切线方程为求切点的坐标4.3(1,3).y 求曲线上过点的切线方程看几个例子:2log2.yx例3.已知x，求曲线在点 处的切线方程cos5.6yxx例4.已知，求曲线在点 处的切线方程)65(2123xy00,),xy解：设切点(01,2kyx又切线0001(),2yyx xx切线方程：74切线过(4,),
5、20014yx00071(4)42yxx，200017224yxx0017xx解得:或149),44切点为(1，)或(7,11491(1)(4)4242yxyx切线方程：或24104490 xyxy 即：或14题型二：导数的综合应用题型二：导数的综合应用例例7.已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1
6、x-x12.,2,1xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2(2,2 xyS因为两切线重合因为两切线重合,.02204)2(222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4.0001205%()(1 5%).0110.0tpp tpptp例：假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中
7、为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0 1）0()1.05ln1.05tp tp解：由导数公式：10(10)1.05 ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。0510p 思考：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？0()1.05ln1.05,tp tp(10)5 0.080.4p 3:5284(80100).100 xx例日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：c(x
8、)=求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;(1)90%;(2)98%.解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。252845284(100)5284(100)()100(100)xxc xxx=(25284(100)x20(100)5284(1)(100)xx 25284()(100)c xx.8纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52 4元/吨。25284(1)(90)52.84(10090)c纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨。25284(2)(98)1321(10098)c例例4.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得:t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点.(2)即即t3-12t2+32t=0,解得解得:t1=0,t2=4,t3=8,0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.
