1、定义定义 1凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数(或微分或微分)的方程的方程，一、微分方程一、微分方程称为称为微分方程微分方程，有时有时简称为方程简称为方程，未知函数是一元，未知函数是一元函数的微分方程函数的微分方程称做常微分方程称做常微分方程，未知函数是多元未知函数是多元函数的微分方程函数的微分方程称做偏微分方程称做偏微分方程.本教材仅讨论常微本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程分方程，并简称为微分方程.(1)y=kx,k 为常数；为常数；例如，下列方程都是微分方程例如，下列方程都是微分方程(其中其中 y,v,q q 均为均为未知函数未知函数).).(2)(y-2xy)dx+x2 dy=
2、0；(3)mv(t)=mg-kv(t)；微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为称为微分方程的阶微分方程的阶.例如，方程例如，方程(1)-(3)为一阶微为一阶微分方程，分方程，通常，通常，n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,y(n)=0，其中其中 x 是自变量，是自变量，y 是未知函数，是未知函数，F(x,y,y,y(n)是已知函数，是已知函数，而且一定含有而且一定含有 y(n).;112yay (4).,(0sindd22为为常常数数lglgt q qq q(5)方程方程(4)-(5)为二阶微分方程为二阶微分方程.定
3、义定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解函数，都叫做该方程的解.二、微分方程的解二、微分方程的解 若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的间不能合并，则称此解为该方程的通解通解(或一般解或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的为方程的特解特解.例如方程例如方程 y =2x 的解的解 y=x2+C 中含有一个任意中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同
4、，常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的因此，这个解是方程的通解；通解；如果求满足条件如果求满足条件 y(0)=0 的解，代入通解的解，代入通解 y=x2+C 中，中，得得 C=0，那么，那么 y=x2 就是方程就是方程 y =2x 的特解的特解.二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是,|0000yyyyxxxx 及及即即 y(x0)=y0 与与 y(x0)=y 0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题初值问题.求解某初值问题，就是求方程的特解求解某初值问题，就是求方程的特解.用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称用来确定
5、通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件为初始条件.)(,|0000yxyyyxx 即即通常一阶微分方程的初始条件是通常一阶微分方程的初始条件是例例 1 验证函数验证函数 y=3e x xe x 是方程是方程y +2y +y=0的解的解.解解 求求 y=3e x xe x 的导数，的导数，y =-=-4e x+xe-x,y =5e x-xe-x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，代入原方程的左边，(5e x-xe-x)+2(-4e x+xe-x)+3e x xe x=0，即函数即函数 y=3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所以该函数是所给二阶微分方程的解
6、所给二阶微分方程的解.得得 C=2，故所，故所求特解为求特解为 y=2x2.例例 2 验证方程验证方程 的通解的通解xyy2 为为 y=Cx2 (C 为为任意常数任意常数)，并求满足初始条件并求满足初始条件 y|x=1=2 的特解的特解.解解 由由 y=Cx2 得得y =2Cx,将将 y 及及 y 代入原方程的左、右两边，代入原方程的左、右两边，左边有左边有 y=2Cx，,22Cxxy 而右边而右边所以函数所以函数 y=Cx2 满足原方程满足原方程.又因为该函数含有一个任意常数，又因为该函数含有一个任意常数，所以所以 y=Cx2 是一是一阶微分方程阶微分方程.2的通解的通解xyy 将初始条件将
7、初始条件 y|x=1=2 代入通解，代入通解，例例 3设一个物体从设一个物体从 A 点出发作直线运动，点出发作直线运动，在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍.求物体求物体运动规律运动规律(或称运动方程或称运动方程)解解首先建立坐标系：取首先建立坐标系：取 A 点为坐标原点，点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向物体运动方向为坐标轴的正方向(如图如图)，并设物体并设物体在时刻在时刻 t 到达到达 M 点，其坐标为点，其坐标为 s(t).显然，显然，s(t)是时是时间间 t 的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的
8、未知函数，求的未知函数，s(t)的导数的导数 s(t)就是物体运动的速度就是物体运动的速度 v(t).由题意，知由题意，知v(t)=2t，以及以及s(0)=0.ASOMs(t)因为因为 v(t)=s(t)，因此，求物体的运动方程已化，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题成了求解初值问题 ,0|,2)(0tstts积分后，得通解积分后，得通解 s(t)=t2+C.故初值问题的解为故初值问题的解为 s(t)=t2，也是本题所求的物体的运动方程也是本题所求的物体的运动方程.再将初始条件再将初始条件 代入通解中，得代入通解中，得 C=0，例例 4已知直角坐标系中的一条曲线通过点已知直角坐标系中的
9、一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点，且在该曲线上任一点 P(x,y)处的切线斜率处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为 y=y(x)，根据导数的根据导数的几何意义及本题所给出的条件，几何意义及本题所给出的条件，y =y2，即即,1dd2yyx 积分得积分得.1Cyx 又由于已知曲线过点又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得，代入上式，得.23 C所以，求此曲线的方程为所以，求此曲线的方程为.123yx 得得一般地，微分方程的每一个解都是一个一元一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数函
10、数 y=y(x)，其图形是一条平面曲线，我们称其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的它为微分方程的积分曲线积分曲线.通解的图形是平面上的通解的图形是平面上的一族曲线，称为一族曲线，称为积分曲线族积分曲线族，特解的图形是积分特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线曲线族中的一条确定的曲线.这就是微分方程的这就是微分方程的通解与特解的几何意义通解与特解的几何意义.一、可分离变量方程一、可分离变量方程第六章微第六章微 分分 方方 程程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程二、齐次方程二、齐次方程一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)
11、=0.一、可分离变量方程一、可分离变量方程例如：形如例如：形如y =f(x)g(y)的微分方程，称为的微分方程，称为可分离变量方程可分离变量方程.(1)分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为xxfyygd)(d)(1 使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.的形式，的形式，(2)两边积分两边积分两边同时积分，得两边同时积分，得,d)(1yyg 左边左边.d)(xxf 右边右边故方程通解为故方程通解为.d)(d)(1Cxxfyyg 我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常而把
12、积分所带来的任意常数明确地写上数明确地写上.例例 1 求方程求方程.1)cos(sin2的通解的通解yxxy 解解分离变量，得分离变量，得,d)cos(sin1d2xxxyy 两边积分，得两边积分，得,)sin(cosarcsinCxxy 这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解例例 2 求方程求方程.的通解的通解xyy 解解分离变量，得分离变量，得,d1dxxyy 两边积分，得两边积分，得,1e|1xyC ,1ln|ln1Cxy 化简得化简得.0,1,e2221 CxCyCC则则令令,1e1xyC 另外，另外，y=0 也是方程的解，也是方程的解，因此因此 C2 为任意常数为任意常数xCy2
13、所所以以.xCy 求解过程可简化为：求解过程可简化为：,ddxxyy 两边积分得两边积分得,ln1lnlnCxy 即通解为即通解为,lnlnxCy ,xCy 其中其中 C 为任意常数为任意常数.中的中的 C2 可以为可以为 0，这样，方程的通解是这样，方程的通解是分离变量得分离变量得例例 3 求方程求方程 dx+xydy=y2dx+ydy 满足初始满足初始条件条件 y(0)=2 的特解的特解.解解将方程整理为将方程整理为.d)1(d)1(2xyyxy 分离变量，得分离变量，得,1dd12 xxyyy两边积分，两边积分，有有.ln21)1ln()1ln(212Cxy 化简，得化简，得,)1(12
14、2 xCy即即1)1(22 xCy将初始条件将初始条件 y(0)=2 代入，代入，.1)1(322 xy为所求之通解为所求之通解.得得 C=3.故所求特解为故所求特解为例例 4.)(dd )均均是是正正的的常常数数与与其其中中(的的通通解解求求方方程程akaykyxy 解解分离变量分离变量得得,d)(dxkayyy 即即.dd)11(xkayyay 两边积分，得两边积分，得.lnlnCkaxyay 经整理，得方程的通解为经整理，得方程的通解为,e1kaxCay 也可写为也可写为.e1kaxCay 形如)5.2()(xygdxdy.)(的连续函数是这里uug方程称为齐次方程,求解方法:方程化为引
15、入新变量作变量代换,)(10 xyu,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy这里由于解以上的变量分离方程02.30变量还原二、可化为变量分离方程类型二、可化为变量分离方程类型例4求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2将变量分离后得xdxudu2udxdux两边积分得:cxu)ln(即为任意常数ccxcxu,0)ln(,)(ln(2代入原来变量,得原方程的通解为,0)ln(,00)ln(,)ln(2cxcxcxxyxdxudu2例6求下面初值问题的解0)1(,)(22yxdydxyxy解:方程变形为2
16、)(1xyxydxdy这是齐次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux将变量分离后得xdxudu21两边积分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21变量还原得cxxyxy2)(1.1,0)1(cy可定出最后由初始条件故初值问题的解为)1(212xyxdxudu21三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式一阶微分方程的下列形式)()(xQyxPy 称为一阶线性微分方程，简称称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程一阶线性方程.其中其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含左边的每项中仅含 y 或或 y，且均为且均为 y
17、 或或 y 的一次项的一次项.它的特点它的特点是：右边是已知函数，是：右边是已知函数，称为一阶线性齐次微分方程，简称称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程线性齐次方程，0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐次微分为一阶线性非齐次微分方程，简称方程，简称线性非齐次方程线性非齐次方程.通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.,0)(yxPy若若 Q(x)若若 Q(x)0，则方程成为，则方程成为1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程0)(yxPy是可分离变量方程是可分离变量方程.,d)(dxxPyy 两边积分，得两边
18、积分，得,lnd)(lnCxxPy 所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为.ed)(xxPCy分离变量，得分离变量，得例例 6 求方程求方程 y +(sin x)y=0 的通解的通解.解解所给方程是一阶线性齐次方程，且所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x)=sin x，,cosdsind)(xxxxxP由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为.ecosxCy 则则例例 7求方程求方程 (y-2xy)dx+x2dy=0 满足初始满足初始条件条件 y|x=1=e 的特解的特解.解解将所给方程化为如下形式：将所给方程化为如下形式：,021dd2 yxxxy这是一个线性齐次
19、方程，这是一个线性齐次方程，,21)(2xxxP 且且则则 ,1lnd12d)(22xxxxxxxP由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解,e12xCxy 将初始条件将初始条件 y(1)=e 代入通解，代入通解，.e12xxy 得得 C=1.故所求特解为故所求特解为2.一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法设设 y=C(x)y1 是非齐次方程的解，是非齐次方程的解，将将 y=C(x)y1(其中其中 y1 是齐次方程是齐次方程 y +P(x)y=0 的解的解)及其导数及其导数 y =C (x)y1+C(x)y 1 代入方程代入方程).()(xQyxPy 则有则有),()()(
20、)()(111xQyxCxPyxCyxC 即即),()()()(111xQyxPyxCyxC 因因 y1 是对应的线性齐次方程的解，是对应的线性齐次方程的解，因此有因此有,0)(11 yxPy故故),()(1xQyxC 其中其中 y1 与与 Q(x)均为已知函数，均为已知函数，,d)()(1CxyxQxC 代入代入 y=C(x)y1 中，得中，得.d)(111xyxQyCyy 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程),()(xQyxPy 所以可以通过积分所以可以通过积分求得求得且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程且含有一个任意常数，所以它
21、是一阶线性非齐次方程)()(xQyxPy 的通解的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为,ed)(1 xxPy于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：.de)(ed)(d)(xxQCyxxPxxP上述讨论中所用的方法，是将常数上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定变为待定函数函数 C(x)，再通过确定再通过确定 C(x)而求得方程解的方法，而求得方程解的方法，称为称为常数变易法常数变易法.例例 8 求方程求方程 2y -y=ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易
22、法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy 这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为程的通解为,e2xCy 将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得设所给线性非齐次方程的解为设所给线性非齐次方程的解为,e)(2xxCy ,e21e)(2xxxC 于是，有于是，有,ede21)(22CxxCxx 因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为.eee)(22xxxCxCy 解法解法二二 运用通解公式求解运用通解公式求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy ,e2
23、1)(,21)(xxQxP 则则则则 ,2d21d)(xxxxP ,edee21de)(22d)(xxxxxPxxxQ代入通解公式，得原方程的通解为代入通解公式，得原方程的通解为.eee)e(222xxxxCCy ,ee2d)(xxxP 例例 9 求解初值问题求解初值问题 .1)(,cosyxyyx解解使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：,cos11xxyxy 则与其对应的线性齐次方程则与其对应的线性齐次方程01 yxy的通解为的通解为.xCy 设所给线性非齐次方程的通解为设所给线性非齐次方程的通解为.1)(xxCy 于是，有于是，有 .
24、sindcos)(CxxxxC将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得,cos11)(xxxxC 因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为.sin11)(sinxxxCxCxy 将初始条件将初始条件 y()=1 代入，得代入，得 C=，).sin(1xxy 所 以，所 以，所求的特解，即初值问题的解为所求的特解，即初值问题的解为例例 10求方程求方程 y2dx+(x-2xy-y2)dy=0 的通解的通解.解解将原方程改写为将原方程改写为,121dd2 xyyyx这是一个关于未知函数这是一个关于未知函数 x=x(y)的一阶线性非齐次的一阶线性非齐次方程，方程，,21)(2yyyP 其中其
25、中它的自由项它的自由项 Q(y)=1.代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有 yCxyyyyyydeed21d2122),e1()e(e12112yyyCyCy 即所求通解为即所求通解为).e1(12yCyx 第七章微第七章微 分分 方方 程程第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例例例 1 设曲线过点设曲线过点(1,1)，且其上任意点，且其上任意点 P 的切的切线在线在 y 轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程.解解设所求的曲线方程设所求的曲线方程为为 y=y(x)，P(x,y)为其上为其上任意点，任意
26、点，则过点则过点 P 的切线方的切线方程为程为),(xXyyY 其中其中(X,Y)是切线上动点是切线上动点,(x,y)是曲线上任意固定的点是曲线上任意固定的点.xyOP(x,y)L令令 X=0，得切线在，得切线在 y 轴上的截距为轴上的截距为 Y=y-xy，y-xy =3y，这是一阶线性齐次方程，其通解为这是一阶线性齐次方程，其通解为.2xCy 因曲线过点因曲线过点(1,1).代入方程，得代入方程，得 C=1.所 以 曲 线所 以 曲 线方程为方程为.12xy 由题意得由题意得例例 2 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比他下落的速度成正比(比
27、例系数为常数比例系数为常数 k 0)，起跳时的速度为起跳时的速度为 0.求下落的速度与时间之间的函求下落的速度与时间之间的函数关系数关系.解解设下落速度为设下落速度为 v(t)，则加速度则加速度 a=v (t)运运动动，物体所受的外力为：物体所受的外力为：F=mg kv，于是，由牛顿第二定律可得于是，由牛顿第二定律可得 mg-kv=mv ，又由题意得初始条件又由题意得初始条件v|t=0=0，可见，初值问题可见，初值问题 0)0(,vkvmgvm 是一个一是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为阶线性非齐次微分方程，其通解为.etmkCkvmg 由由 v(0)=0 得得 C=mg.)1(tmkkm
28、gv e即为所求的函数关系即为所求的函数关系.所以，特解所以，特解例例 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，物体的初始物体的初始温度为温度为 200 C，且由，且由 200 C 冷却到冷却到 100 C 需要需要 40 s.已知已知(冷却定律冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差：冷却速率与物体和介质的温度差成正比成正比.其介质其介质(冷却剂冷却剂)温度始终保持为温度始终保持为 10 C，并求物并求物体温度降到体温度降到 20 C 所需的时间所需的时间.解解设物体温度为设物体温度为 q q=q q(t)，则物体的冷却速率则物体的冷却速率为为 q q (
29、t).由冷却定律可得由冷却定律可得 q q(t)应满足的微分方程为应满足的微分方程为q q (t)=-kq q(t)-10(k 0)，试求物体温度试求物体温度 q q 与时间与时间 t 的函数关系的函数关系,另由题意知另由题意知 q q(t)所满足的初始条件为所满足的初始条件为q q|t=0=200.于是，初值问题是于是，初值问题是 .200|,10)()(0ttktq qq qq q解此初值问题，得特解解此初值问题，得特解q q(t)=10+190e-kt.因此，得因此，得.199ln401 k由于由于 q q(40)=100，即即 100=10+190e-40k，最后，将最后，将 q q=
30、20 代入上式，代入上式，.s 1589ln19ln19ln40 t即物体温度降到即物体温度降到 20 C 大约需要大约需要 2 min38 s.从而得物体温度从而得物体温度 q q 与时间与时间 t 的函数关系为的函数关系为 199ln40e19010)(ttq q40199lne19010t 4019919010t 并解出并解出一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构第七章微第七章微 分分 方方 程程第四节第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法三、应用举例三、应用举例一、二阶线性微分方程解的结构一、
31、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式二阶微分方程的如下形式y +p(x)y +q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程，简称简称二阶线性方程二阶线性方程.f(x)称为称为自由项自由项，当当 f(x)0 时时，称为称为二阶线性非齐次二阶线性非齐次微分方程微分方程，简称简称二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程.当当 f(x)恒为恒为 0 时时，称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，简称简称二阶线性二阶线性齐次方程齐次方程.方程中方程中 p(x)、q(x)和和 f(x)都是自变量都是自变量的已知连续函数的已知连续函数.这类方程的特点是：右边是已知这类方程的特
32、点是：右边是已知函数或零，左边每一项含函数或零，左边每一项含 y 或或 y 或或 y，且每项均为且每项均为 y 或或 y 或或 y 的一次项，的一次项，例如例如 y +xy +y=x2 就就是二是二阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程.而而 y +x(y)2+y=x2 就不是二就不是二阶线性方程阶线性方程.定理定理 1如果函数如果函数 y1 与与 y2 是线性齐次方程的是线性齐次方程的两个解，两个解，y=C1 y1+C2 y2仍为该方程的解仍为该方程的解，证证因为因为 y1 与与 y2 是方程是方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个解，的两个解，,0)()(111 yxqyxpy与与.0
33、)()(222 yxqyxpy所以有所以有其中其中 C1，C2 是任意常数是任意常数.则函数则函数,2211yCyCy 又因为又因为,2211yCyCy 于是有于是有y +p(x)y +q(x)y)()()(221122112211yCyCxqyCyCxpyCyC )()()()(22221111yxqyxpyCyxqyxpyC =0所以所以 y=C1y1+C2y2 是是 y +p(x)y +q(x)y=0 的解的解.定义定义设函数设函数 y1(x)和和 y2(x)是定义在某区间是定义在某区间 I 上上的两个函数，的两个函数，k1 y1(x)+k2 y2(x)=0不失一般性，不失一般性，考察两
34、个函数是否线性相关，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，事实上，事实上，当当 y1(x)与与 y2(x)线性相关时，有线性相关时，有 k1 y1+k2 y2=0，其中其中 k1,k2 不全为不全为 0，,012211kkyyk 则则设设如果存在两个不全为如果存在两个不全为 0 的常数的常数 k1和和 k2，使使在区间在区间 I 上恒成立上恒成立.则称函数则称函数 y1(x)与与 y2(x)在区间在区间 上上是是线性相关线性相关的，否则称为的，否则称为线性无关线性无关.即即 y1 与与 y2
35、 之比为常数之比为常数.反之，若反之，若y1 与与 y2 之比为常数，之比为常数，,21 yy设设则则 y1=y2，即，即 y1-y2=0.所以所以 y1 与与 y2 线性相关线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，则它们因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；线性相关；例如函例如函数数 y1=ex，y2=e-x，常数，常数，而而 21yy所以，它们是线所以，它们是线性无关的性无关的.如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关.定理定理 2如果函数如果函数 y1 与与 y2 是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个线性无关的特解，的两
36、个线性无关的特解，y=C1 y1+C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，证证因为因为 y1 与与 y2 是方程是方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的的解，解，所以，由定理所以，由定理 1 知知 y=C1 y1+C2 y2 也是该方程的解也是该方程的解.又因为又因为 y1 与与 y2 线性无关，即线性无关，即 y1 与与 y2 之比不为常数，之比不为常数，故故C1 与与C2不能合并为一个任意常数，不能合并为一个任意常数，因此因此 y=C1 y1+C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解是二阶线性齐次方程的通解.则则其中其中 C1,C2为任意常数为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个所
37、以它们中任一个都不能用另一个(形如形如 y1=ky2 或或 y2=k1 y)来表示来表示.定理定理 3如果函数如果函数 y*是线性非齐次方程的一个是线性非齐次方程的一个特解，特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解是线性非齐次方程的通解.证证因为因为 y*与与 Y 分别是线性非齐次方程分别是线性非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)和线性齐次方程和线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的解，的解，所以有所以有y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，Y +p(x)Y +q(x)Y=0.Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则则
38、又因为又因为 y =Y +y*，y =Y +y*，所以所以y +p(x)y +q(x)y =(Y +y*)+p(x)(Y +y*)+q(x)(Y+y*)=(Y +p(x)Y +q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*)=f(x).求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求线性齐次方程求线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的线性的线性无关的两个特解无关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的通解 Y=C1 y1+C2 y2.(2)求线性非齐次方程求线性非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的的一个特解一个
39、特解 y*.那么，线性非齐次方程的通解为那么，线性非齐次方程的通解为 y=Y+y*.又又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，数，故故 y=Y+y*中含有两个任意常数中含有两个任意常数.即即 y=Y+y*是线性非齐次方程是线性非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的通解的通解.这说明函数这说明函数 y=Y+y*是线性非齐次方程的解，是线性非齐次方程的解，y +p(x)y +q(x)y=f1(x)+f2(x)，分别是分别是与与且且*2*1yyy +p(x)y +q(x)y=f1(x)，和和y +p(x)y +q(x)y=f2(
40、x)则则*2*1yy 是方程是方程 的特解的特解.定理定理 4设二阶线性非齐次方程为设二阶线性非齐次方程为的特解，的特解，证证因为因为 y1*与与 y2*分别是分别是 与与 的特解，的特解，y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f 1(x)，与与y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f 2(x).于是有于是有)()()(*2*1*2*1*2*1yyxqyyxpyy =f 1(x)+f 2(x)，所以有所以有=y1*+p(x)y1*+q(x)y1*+y2*+p(x)y2*+q(x)y2*即即 y1*+y2*满足方程满足方程，二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法如果
41、二阶线性微分方程为如果二阶线性微分方程为y +py +qy=f(x)，其中其中 p、q 均为常数，均为常数，则称该方程为则称该方程为二阶常系数线二阶常系数线性微分方程性微分方程.设二阶常系数线性齐次方程为设二阶常系数线性齐次方程为y +py +qy=0.考虑到左边考虑到左边 p，q 均为常数，均为常数，我们可以猜想该方程我们可以猜想该方程具有具有 y=erx 形式的解，其中形式的解，其中 r 为待定常数为待定常数.将将 y =rerx,y =r2erx 及及 y=erx 代入上式，代入上式，erx(r2+pr+q)=0.1.二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法由于由于erx
42、 0，因此，只要，因此，只要 r 满足方程满足方程r2+pr+q=0，即即 r 是上述一元二次方程的根时，是上述一元二次方程的根时，y=erx 就是就是式的解式的解.方程方程称为方程称为方程的的特征方程特征方程.特征方特征方程根称为程根称为特征根特征根.得得1 特征方程具有两个不相等的实根特征方程具有两个不相等的实根 r1 与与 r2，xrxryy21ee21 和和,e)(2121常数常数且且 xrryy.ee21211xrxrCCy 2 特征方程具有两个相等的实根，特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解特解 y
43、1=erx.还需再找一个与还需再找一个与 y1 线性无关的特解线性无关的特解 y2，为此，设为此，设 y2=u(x)y1，其中其中 u(x)为待定函数为待定函数.将将 y2 及及其一阶、二阶导数其一阶、二阶导数 y 2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x)，y 2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x)，代入方程代入方程 y+py +qy=0 中，得中，得因而它的通解为因而它的通解为所以所以 y1 与与 y2 线性无关，线性无关，都是都是 的解，的解，即即 r1 r2.那么，这时函数那么，这时函数.221prr 即即.0)()2(e2 uqprruprurx2pr 注意到注意到 是
44、特征方程的重根，是特征方程的重根，所以有所以有 r2+pr+q=0及及 2r+p=0.且且 er x 0，因此只要因此只要 u(x)满足满足,0)(xu则则 y2=uerx就是就是 式的解，式的解，.e)(ee2121rxrxrxxCCxCCy 为简便起见，取方程为简便起见，取方程 u(x)=0 的一个解的一个解 u=x，于是得到方程于是得到方程 且与且与 y1=erx 线性无关的解线性无关的解 y2=xerx.因此，因此，式的通式的通解为解为3 特征方程具有一对共轭复根特征方程具有一对共轭复根 r1=a a+ib b 与与 r2=a a ib.b.这时有两个线性无关的特解这时有两个线性无关的
45、特解 y1=e(a a+ib b)x 与与 y2=e(a a-ib b)x.这是两个复数解，这是两个复数解，为了便于在实数为了便于在实数范围内讨论问题，范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解我们再找两个线性无关的实数解.由欧拉公式由欧拉公式xxxsinicosei (这公式我们将在无穷级数章中补证这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得，可得),sini(cose1xxyxb bb ba a )sini(cose2xxyxb bb ba a 于是有于是有,cose)(2121xyyxb ba a .sine)(i 2121xyyxb ba a 由定理由定理 1 知，以上两个函数知，以上两个
46、函数 ea ax cosb bx 与与 ea ax sinb bx均为均为 式的解，式的解，).sincos(e21xCxCyxb bb ba a 且它们线性无关且它们线性无关.因此，这时方程因此，这时方程的通解为的通解为 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：为特征根法，其步骤是：(1)写出所给方程的特征方程；写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；求出特征根；(3)根据特征根的三种不同情况，写出对应的根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解特解，并写出其通解.特征根方程的通解xrxrCCy21ee21rxxCC
47、ye)(21 一对共轭复根r1,2=a b i两个不等的实根r1,r2两个相等的实根r1=r2=r(b 0)12e(cossin)xyCxCxabb例例 1求方程求方程 y -2y -3y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-2r 3=0,它有两它有两个不等的实根个不等的实根 r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无其对应的两个线性无关的特解为关的特解为 y1=e-x 与与 y2=e3x,所以方程的通解为所以方程的通解为.ee321xxCCy 例例 2求方程求方程 y -4y +4y=0 的满足初始条件的满足初始条件 y(0)=1，y(0)=4 的特解的特解.解解
48、该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-4r+4=0，,e)221xxCCy （.e)(2e22122xxxCCCy 将将 y(0)=1，y(0)=4 代入上两式，得代入上两式，得 C1=1，C2=2，y=(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为其对应的两个线性无关的特解为 y1=e2x 与与 y2=xe2x因此，所求特解为因此，所求特解为 它有它有重根重根 r=2.例例 3求方程求方程 2y +2y +3y=0 的通的通解解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 2r2+2r+3=0，它，它有共轭复根有共轭复根424422,1 r.i 52121 ,21 a a即即,521
49、b b对应的两个线性无关的解为对应的两个线性无关的解为,25cose211xyx ,25sine212xyx .521sin521cose2121 xCxCyx例例 4求方程求方程 y +4y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2+4=0，它有共轭，它有共轭复根复根 r1,2=2i.即即a a=0，b b=2.对应的两个线性对应的两个线性无关的解无关的解 y1=cos 2x.y2=sin 2x.所以方程的通解为所以方程的通解为.2sin2cos21xCxCy 2.二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法1 自由项自由项 f(x)为多项式为多项式
50、Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=Pn(x),其中其中 Pn(x)为为 x 的的 n 次多项式次多项式.),(*xQxynk 当原方程当原方程 中中 y 项的系数项的系数 q 0 时时，k 取取 0；当当 q=0，但但 p 0 时时，k 取取 1；当当 p=0，q=0 时，时，k 取取 2.因为方程中因为方程中 p、q 均为均为常数且多项式的导数仍为多项式，常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设所以可设 式的式的特解为特解为其中其中 Qn(x)与与 Pn(x)是同次多项式，是同次多项式，例例 5求方程求方程 y -2y +y=x2 的一个特
