1、6.1 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C=1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.6.1.1 引出微分方程的两个实例引出微分方程的两个实例sm20的速度行驶,制动时获得加速度,sm4.02a求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知4.0dd22ts,00ts200ddtt
2、s由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202.02说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).机动 目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),()1()(nnyyyxfy(n 阶显式微分方程)一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或机动 目录 上页 下页 返回 结束,00ts200ddtts引例24.022ddxy 使方程成为恒等式的
3、函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解,初始条件初始条件 其图形称为积分曲线积分曲线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0Axt00ddttx的特解.解解:22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2
4、这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得:,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求所满足的微分方程.PQxyox解解:如图所示,yYy1)(xX 令 Y=0,得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,转化 6.2.1 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 0 )(d )(
5、11xNxxMyyNyMd)()(22)()(ygxfdxdydxxfygdy)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(ygxfdxdydxxfygdy)()(dxxfygdy)()(yxxy23dd的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 0d)1(d2yxxyx解解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2
6、即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束)1(sin2yxy解解:令,1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan(C 为任意常数)所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束.dd的通解求方程yxexy解解:分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe(C 0 )子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件,
7、得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 结束 成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgv t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束 cm100.
8、cm12S开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度 h 随时间 t 的变r解解:由水力学知,水从孔口流出的流量为tVQddhgS262.0即thgVd262.0d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到),0d(dhhhhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 cm100rhhdhho对应下降体积hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解问题:hhhthgd)200(d262.021000th将方程分离变量:hhhgtd)200(262.0d2321机动 目录 上页 下页 返
9、回 结束 gt262.0两端积分,得g262.0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始条件,得5101514262.0gC因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:)310107(265.4252335hhgt1000thcm100rhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)找出事物的
10、共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2)2)根据物理规律列方程(如:例4,例 5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln机动 目录 上页 下页 返回 结束 形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程.令,x
11、yu,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:.tanxyxyy.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu
12、分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x)0,0)(ddyxPxy若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特
13、解xxPCed)()()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexcxy则xxPeCd)()(xPxxPeCd)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeCxPd)()(xxPexQxCd)()(ddCxexQxCxxPd)()(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 两两边边积积分分得得 Cxylnlnln ,即即 Cxylnln 将通解中的任意常数将通解中的任意常数 C换成待定函数换成待定函数)(xC,即令即令xxCy)(为方程（为方程（1 1）的通解）的通解,将其
14、代入方程将其代入方程(1)(1)得得()lnxC xx.于是于是 xxxCln1)(,所所以以 CxxxxxxxC2)(ln21lndlndln)(,将将所所求求的的)(xC的的代代入入式式(3 3),得得原原方方程程的的通通解解为为 2(ln)2xyxCx.)1(12dd25xxyxy解解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2)1(xCy用常数变易法常数变易法求特解.令2()(1),ycxx则2()(1)2(1)yc xxcx代入非齐次方程得12()(1)c xx 解得322()(1)3c xxC故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(机动 目录
15、上页 下页 返回 结束 伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)2)ln(ddyxaxyxy2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解:令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为z将1 yz1)ln(22xaCxy2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程,再
16、用常数变易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束(雅各布第一 伯努利)
17、书中给出的伯努利数在很多地方有用,瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.6.2.6 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式二阶线性微分方程的一般形式()()()yP x yQ x yf x二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程()()0yP x yQ x y )(11yCxP )(11yCxQ0证毕)(),
18、(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC)()(2222yxQyxPyC(叠加原理)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解)()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性
19、相关与 线性无关概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn,0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，,sin,cos,122xx在(,)上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;若存在不全为不全为 0 的常数)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21,kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy(无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数
20、思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0,则)(),(21xyxy必线性相关相关机动 目录 上页 下页 返回 结束)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如例如,方程0 yy有特解,cos1xy,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21xytan21y为任意常21,(CC0)()(yxQyxPy)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解.证证:将)(*)(xyxYy代入方程左
21、端,得)*(yY)*()(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy)()(YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ复习 目录 上页 下页 返回 结束)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程xyy 有特解xy*xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxC
22、eyx特 征 根通 解032 yyy求方程的通解.解解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 3 3 求方程求方程032 yyy满足初始条件满足初始条件1)0(,1)0(yy的特解的特解 .解解 032 yyy的特征方程为的特征方程为0322 rr,所以所以,特征根特征根2i1,2i121r
23、r.所以所以,所给微分方程的通解所给微分方程的通解为为 )2sin2cos(21xCxCyxe,由初始条件由初始条件1)0(y,得得11C，又因为，又因为 2ecos2esin2e(cos22sin2)xxxyxCxxx 2e(sin22cos2)xCxx,由由1)0(y得得2211C,从而得从而得22C.6.2.7 二阶常系数非齐次 线性微分方程 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形
24、式,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束)(xQex)()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx型)()(xPexfmx 为实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中 为待定多项式,)(xQ)()(*xQxQeyx)()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程,得)(xQ(1)若 不是特征方程的根,02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为.)(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式)(xfyqypy(2)若 是特征方程的单根,02
25、qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*(3)若 是特征方程的重根,02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2)(xQ)()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即1332 xyyy求方程的一个特解.解解:本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 xexyyy265 求方程的通解.解解:本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数,得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx,2机动 目录 上页 下页 返回 结束
