1、2022年年12月月3日星期六日星期六三个公理及推论的应用三个公理及推论的应用平面的基本性质平面的基本性质公理公理1:如果一条直线上的两个点在如果一条直线上的两个点在平面内平面内,那么这条直线上所有的点那么这条直线上所有的点都在这个平面内都在这个平面内.A B 平面的基本性质平面的基本性质公理公理2:如果两个平面有一个公共点，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所那么它们还有其他的公共点，且所有的这些点的集合是一条过这个点有的这些点的集合是一条过这个点的直线的直线lP平面的基本性质平面的基本性质公理公理3:经过不在同一条直线上的三经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面
2、个点，有且只有一个平面.A B C平面平面ABC平面的基本性质平面的基本性质推论推论1:经过一条直线和这条直线外经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面的一点，有且只有一个平面.A B Ca平面的基本性质平面的基本性质推论推论2:经过两条相交直线，有且只经过两条相交直线，有且只有一个平面有一个平面.abP平面的基本性质平面的基本性质推论推论3:经过两条平行直线，有且只经过两条平行直线，有且只有一个平面有一个平面.ab 练习练习（2)2)两个平面可以把空间分成两个平面可以把空间分成_部分，部分，三个平面呢三个平面呢?_。（1 1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，三条直线相交于一
3、点，用其中的两条确定平面，四条直线相交于一点呢四条直线相交于一点呢?_?_。最多确定的平面数是最多确定的平面数是_;看看答案吧看看答案吧看看答案吧看看答案吧363或或44，6，7或或8应用：应用：一、证明三点共线问题：一、证明三点共线问题：.,:,.1111111111111在同一条直线上求证依次相交于面直线与平的各边和对角线所在的设平行四边形例FEDCBAFEDCBAABCDABA1DC1E1CB1D1F1l证明三点共线的方法：证明三点共线的方法：1先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上；先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上；2证明三点在两平面的交线上；证明三点在两
4、平面的交线上；.,:,.21111111三点共线求证交于点交于点与平面对角线中如图所示正方体例MOCMBDACOBDCCADCBAABCD MABCDA1B1C1D1O二、证明三线共点问题：二、证明三线共点问题：例题例题3：四面体四面体ABCD中，中，E、G分别为分别为BC、AB的中点，的中点，F在在CD上，上，H在在AD上，且上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：求证：EF、GH、BD交于一点。交于一点。ABCDEFGHO证明三线共点的方法：证明三线共点的方法：证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又往往是两平面的交线往往是两平面的交
5、线三、画平面交线问题三、画平面交线问题已知：已知：直线直线abc,al=A,bl=B,cl=Cabc,al=A,bl=B,cl=C求证：求证：a,b,c,la,b,c,l共面共面a aA A证明：证明：又又al=A,bl=B,al=A,bl=B,ababa,b,c,la,b,c,l共面共面b bc cB BC Cl la、b确定平面a、b确定平面l l且l且l,同理b、c确定平面同理b、c确定平面B Bb bl l,l、bl、b,而l、b而l、b与与重重合合在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，画出过画出过M、N、P三点的截面。三点的截面。ADCBA1B1C1D1MPNADCA1B
6、1C1D1BNMPADCA1B1C1D1PNMB 例例5、直线直线ABAB、BCBC、CACA两两相交，交点分别为两两相交，交点分别为A A、B B、C C，判断这三条直线是否共面，并说明理由。判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图如图)解解：这三条直线共面，因为直线：这三条直线共面，因为直线AB和直线和直线AC相交于点相交于点A，所以直线，所以直线AB和和AC确定一确定一个个 平面平面.(推论推论2)因为因为BAB，CAC，所以，所以B，C，故，故BC (公理公理1)因此直线因此直线AB，BC，CA都在平面都在平面内，即它们共面内，即它们共面.四、证明共面问题四、证明共面问题解法二解法二
7、:因为因为A在直线在直线BC外，所以过点外，所以过点A和直线和直线BC确定确定平面平面.(推论推论1)，因为，因为A，BBC，所以，所以B.故故AB，同理同理AC ，所以，所以AB，AC，BC共面共面.解法三解法三:因为因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面三点可以确定平面.(公理公理3)因为因为A，B，所以，所以AB .(公理公理1)同理同理BC ，AC ，所以，所以AB，BC，CA三直线共面三直线共面.证共面问题：可先由公理证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其
8、余元素都在此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合题目变型：题目变型：求证三角形求证三角形ABCABC的三条边在同一个平面内。的三条边在同一个平面内。方法一：利用公理方法一：利用公理3方法二：利用推论方法二：利用推论方法三：利用推论方法三：利用推论练习练习证明两两相交而不通过同一点的四条直线证明两两相交而不通过同一点的四条直线 必在同一平面内。必在同一平面内。分析：分析：（1）直线）直线a、b、c、d两两相交，不过同一点且无三线共点。两两相交，不过同一点且无三线共点。设直线设直线a、b相交点相交
9、点A，a、c相交点相交点C，b、c相交点相交点BabAcCBdMN（2）若有三线共点，设相交于点）若有三线共点，设相交于点AabcAdBCD1.三个公理的符号表示及其作用三个公理的符号表示及其作用2.公理公理3的三个推论：的三个推论：推论推论1 经过一条直线和这条直线经过一条直线和这条直线外外的一点，有且的一点，有且只有一个平面只有一个平面 推论推论2 经过两条经过两条相交相交直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面推论推论3 经过两条经过两条平行平行直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面3.公理公理3及其三个推论的作用是及其三个推论的作用是确定平面确定平面4.证明若干个点、线共面的
10、方法证明若干个点、线共面的方法(先证其中某些点、线确定一个平面先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、再证剩余点、线落在此平面内线落在此平面内)五、五、【小结小结】3条直线相交于一点时：条直线相交于一点时：三条直线相交于一点，用其中的两条确三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，定平面，最多最多可以确定可以确定3个。个。（1）、）、3条直线共面时条直线共面时（2）、每）、每2条直线确定一平面时条直线确定一平面时4条直线相交于一点时：条直线相交于一点时：三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多最多可以确可以确定定6个。个。（1）、）、4条直线全共面时条直线全共面时（2）、有）、有3条直线共面时条直线共面时（c）、每）、每2条直线都确定条直线都确定一平面时一平面时2个平面分空间有两种情况：个平面分空间有两种情况：两个平面把空间分成两个平面把空间分成3或或4个部分。个部分。（1）两平面没有公共点时）两平面没有公共点时（2）两平面有公共点时）两平面有公共点时3个平面个平面（2）（1）（3）（4）（5）3个平面把空间分成个平面把空间分成4，6，7或或8个部分。个部分。
