1、高中数学必修二教学课件第一章第一章 空间几何体空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积瞧，多么宏伟壮观的金字塔！这将需要多少沙石？瞧，多么宏伟壮观的金字塔！这将需要多少沙石？我们的身边存在着各种各样的几何体、建筑或者装饰时我们的身边存在着各种各样的几何体、建筑或者装饰时,都需要知道它们的表面积或体积，以便计算用料和工时，都需要知道它们的表面积或体积，以便计算用料和工时，如何计算呢？如何计算呢？赫尔佐格赫尔佐格“鸟巢鸟巢(nest)”(nest)”德梅隆德梅隆1.1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推导
2、过程导过程.（难点）（难点）2.2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积与体积积.（重点）（重点）3.3.熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系，培养转熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系，培养转化与化归的思想与空间想象能力化与化归的思想与空间想象能力.（难点）（难点）几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？图与其表面积的关系吗？空间问题空间问题平
3、面问题平面问题 正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的和，也就是体，它们的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积展开图的面积 一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？面积？知识探究知识探究棱柱的侧面展开图是什么？如何计算
4、它的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h棱柱的侧面展开图棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立体将空间图形问题转化为平面图形问题，是解立体几何问题最基本、最常用的方法几何问题最基本、最常用的方法.特别提醒特别提醒 棱锥的侧面展开图是什么？如何棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？计算它的表面积？侧面展开侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图hh棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图侧面展开侧面展开
5、hhh h正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面积之和积之和hhh例例1 1 已知棱长为已知棱长为a a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABCS-ABC，求它的表面积，求它的表面积分析：分析：四面体的展开图是由四个全等的等边三角形四面体的展开图是由四个全等的等边三角形
6、组成组成因为因为BC=aBC=a，o o3 3S SD D=S SB B s si in n6 60 0=a a,2 2所以所以2 2SBCSBC11331133S=BC SD=aS=BC SD=aa=a.a=a.22242224因此，四面体因此，四面体S-ABC S-ABC 的表面积为的表面积为交交BCBC于点于点D D【解析解析】先求先求SBCSBC的面积，过点的面积，过点S S作作SDBC，D DB BC CA AS S22223 344a=3a.a=3a.4 4知识应用知识应用圆柱的表面积圆柱的表面积OO Or2S2 r2 r2 r(r).圆柱表面积lllr2圆柱的侧面展开图是一个矩形
7、，圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的表面积圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的侧面展开图是一个扇形，2Srrr(r).圆锥表面积llr2lO OrS S圆台的表面积圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么的侧面展开图是什么?22S(rrrr).圆台表面积llr2lO OrO O r2 r圆台的侧面展开图是一个扇环，圆台的侧面展开图是一个扇环，lO OrOO rlO O OrS2 r(r)柱lSr(r)锥l22S(rrrr)台ll圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么
8、关系？r rr r上底扩大上底扩大r r0 0上底缩小上底缩小lO Or【提升总结提升总结】15cm20cm15cm知识应用知识应用例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15 cm15 cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆，盆壁长壁长15 cm.15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已已知每平方米用知每平方米用100 100 毫升油漆，涂毫升油漆，涂100100个这样的花盆个这样的花盆需要多少油漆（需要多少油漆（取取3.143.14，结果精确到，
9、结果精确到1 1 毫升，可毫升，可用计算器）？用计算器）？分析：分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积.15cm20cm15cm轾犏创犏臌22221515201.51515201.5S=S=()+()+15+15+15-15-()()22222222221000(cm)0.1(m).=涂涂100100个花盆需油漆：个花盆需油漆：0.10.1100100100=1000100=1000（毫
10、升）（毫升）.答：答：涂涂100100个这样的花盆约需要个这样的花盆约需要10001000毫升油漆毫升油漆.【解析解析】如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆正方体、长方体以及圆柱的体积公式柱的体积公式.它们的体积公式可以统一为它们的体积公式可以统一为ShV（S S为底面面积，为底面面积，h h为高）为高）柱体体积柱体体积一般柱体的体积也是一般柱体的体积也是 VSh，其中其中S S为底面面积，为底面面积，h h为柱体的高为柱体的高圆锥的体积公式是圆锥的体积公式是ShV31（其中（其中
11、S S为底面面积，为底面面积，h h为高），为高），它的体积是同底等高的圆柱的体积的它的体积是同底等高的圆柱的体积的 31圆锥体积圆锥体积探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系的关系棱锥体积棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系等底等高等底等高的三棱锥的三棱锥体积相等体积相等.ShV31（其中（其中S S为底面面积，为底面面积，h h为高）为高）.由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的面
12、积乘高的 13 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的的 ，即棱锥的体积，即棱锥的体积31台体体积台体体积由于圆台由于圆台(棱台棱台)是由圆锥是由圆锥(棱锥棱锥)截截成的，因此可以利用两个锥体的体成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台积差，得到圆台(棱台棱台)的体积公式的体积公式(过程略过程略)根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSSh P-ABCDP-A B C DP-ABCDP-A B C DV=V-VV=V-V1(SS SS)h3棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式1V(SS SS
13、)h3，其中其中 ,分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h h为棱台为棱台（圆台）的高（圆台）的高SS 分别为上、下底分别为上、下底面面积，面面积，h h 为台体高为台体高SS，S S为底面面积，为底面面积，h h为锥体高为锥体高S S为底面面积，为底面面积，h h为柱体高为柱体高柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31ShV S0 ShV31SS 上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小公式有公式有它的统它的统一性一性.【提升总结提升总结】例例3 3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/c
14、m7.8 g/cm3 3）六角螺帽共重六角螺帽共重5.8 kg5.8 kg，已知底面是正六边形，边长为，已知底面是正六边形，边长为12 mm12 mm，内孔直径为，内孔直径为10 mm10 mm，高为，高为10 mm10 mm，问这堆螺帽，问这堆螺帽大约有多少个（大约有多少个（取取3.143.14，可用计算器）？，可用计算器）？知识应用知识应用【解析解析】六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即差，即22310126 103.14()1042V=创创32956()mm32.956().cm=所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为5.85.810001000（
15、7.87.82.9562.956）252252（个）（个）.答：答：这堆螺帽大约有这堆螺帽大约有252252个个1.1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为()()A.48+A.48+B.48+B.48+C.36+C.36+D.36+D.36+12 212 224 224 2A A【解析解析】选选A.A.由三视图得棱锥如图所示，由三视图得棱锥如图所示，AOAO底面底面BCDBCD，O是是BDBD的中点，的中点，BC=CD=6BC=CD=6，BCCDBCCD，AO=4AO=4，AB=AD.AB=AD.S SBCDBCD=6 66=18,6=18,S S
16、ABDABD=6 6 4=12 .4=12 .取取BCBC的中点的中点E E，连接，连接AEAE，OE.OE.可得可得BCAEBCAE，AE=AE=所以所以S SABCABC=S=SACDACD=6 65=15,5=15,所以所以S S全全=18+12 +15+15=48+12 .=18+12 +15+15=48+12 .12122222AO+OE=5,12222.2.（20122012新课标全国卷）如图所示：新课标全国卷）如图所示：网格纸上小正方形的边长为网格纸上小正方形的边长为1 1，粗线画出的是某几何体的三视粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（图，则此几何体的体积为（）A.
17、6 B.9 A.6 B.9 C.12 D.18 C.12 D.18【解析】【解析】选选B B.由题意知，此几何体是三棱锥，由题意知，此几何体是三棱锥，其高其高h=3h=3，相应底面面积为，相应底面面积为S=S=，16 32=1 1663 93 92 21 11 1V V=S Sh h=9 9 3 3=9 9.3 33 3B B3.3.已知一个圆柱底面直径和母线长均为已知一个圆柱底面直径和母线长均为 4 4，则该圆柱，则该圆柱 的体积为的体积为 ()A.A.2 2 B.B.4 4 C.C.8 8 D.D.1616 D D4.4.（20122012山东山东高考高考）如图）如图,正方体正方体1111
18、1111ABCD-A B C DABCD-A B C D的棱长为的棱长为 1,1,E,FE,F分别为线段分别为线段1111AA,B CAA,B C上的点上的点,则三棱锥则三棱锥1 1D-EDFD-EDF的体积为的体积为 _._.1 16 6【解析】【解析】因为因为E点在线段点在线段1AA上上,所以所以1DED11S1 122 ,又因为又因为F点在线段点在线段1B C上上,所 以 点所 以 点F到 平 面到 平 面1DED的 距 离 为的 距 离 为1,1,即即h1,所 以所 以111DEDFF DEDDED1111VVSh13326.答案答案：16 5.5.（20122012上海高考）若一个圆
19、锥的侧面展开图是面积上海高考）若一个圆锥的侧面展开图是面积为为2 2 的半圆面的半圆面,则该圆锥的体积为则该圆锥的体积为_._.解析解析 如图如图,2 21 1l=2l=22 2 l=2,=2,又又 2 2 r r=lr=1,r=1,所以所以 h=h=3,故体积故体积3332 21 1V=V=r h=r h=.答案：答案：33 P O r l h P l 2r 33柱体、锥体、台体柱体、锥体、台体的表面积的表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台 圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS 圆锥圆锥转化的思想转化的思想柱体、锥体、台柱体、锥体、台体的体积体的体积ShV31锥体锥体hSSSSV)(31台体台体柱体柱体ShV SS 0S联系的观点联系的观点 不能把希望叫做白日做梦，也不能把白日之梦叫做希望。本节结束，谢谢观看！
