1、不等式的性质不等式的性质（1 1）对于）对于“甲的年龄大于乙的年龄甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种，你能换一种不同的叙述方式吗？不同的叙述方式吗？（2 2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？得出甲与丙哪个高吗？（3 3）我的年龄大于你的年龄）我的年龄大于你的年龄,2,2年后我们年龄的关系，年后我们年龄的关系，1010年后我们年龄的关系又会怎样年后我们年龄的关系又会怎样?要想解决上述问题，请进入本节课的学习！要想解决上述问题，请进入本节课的学习！1.1.掌握不等式性质及各自成立的条件掌握不等式性质及各自成立的条件.（重点）（重
2、点）2.2.能利用不等式的性质比较大小和证明不等式能利用不等式的性质比较大小和证明不等式.（难点）（难点）思考思考1 1 在前面三个例子中，根据我们学习的在前面三个例子中，根据我们学习的不等关系，如何加以描述呢？不等关系，如何加以描述呢？提示提示:（1 1）可以描述成）可以描述成“乙的年龄小于甲的年龄乙的年龄小于甲的年龄”.（2 2）由题意知，甲的身高一定大于丙的身高）由题意知，甲的身高一定大于丙的身高.（3 3）2 2年后我的年龄依然大于你的年龄，年后我的年龄依然大于你的年龄，1010年后也年后也一样一样.思考思考2 2 同学们结合上面的例子，能否同学们结合上面的例子，能否推测一下不等式的性
3、质呢？推测一下不等式的性质呢？提示：提示：性质性质1 1（对称性）（对称性）如果如果abab，那么，那么baba;如果如果ba,bb.ab.性质性质1 1表明，把不等式的左边和右边交换位置，表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向所得不等式与原不等式异向.性质性质2 2（传递性）（传递性）如果如果abab，且，且bc,bc,则则ac.ac.证明：证明：根据两个正数之和仍为正数，得根据两个正数之和仍为正数，得这个性质也可以表示为这个性质也可以表示为0()()000.abababbcbcbcacac,.cb baca性质性质3 3 如果如果ab,ab,则则a+cb+c.a+cb
4、+c.证明：证明：因为因为ab,ab,所以所以a-b0.a-b0.因此因此(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b0,(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b0,即即(a+c)-(b+c)0.(a+c)-(b+c)0.因此因此a+cb+c.a+cb+c.性质性质3 3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得到的不等式与原不等式同向到的不等式与原不等式同向.由性质由性质3 3很容易得出很容易得出abcab(b)c(b)acb.要点归纳：要点归纳：性质性质3 3推论推论1 a+bc1 a+bcac-bac-b （移项法则（移项法则）不等式中的任意
5、一项都可以把它的符号变成相反的不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边符号后，从不等式的一边移到另一边.性质性质3 3推论推论2 2 如果如果ab,cd,ab,cd,则则a+cb+d.a+cb+d.（同向不等式可加同向不等式可加）可推广到可推广到 几个同向不等式的两边分别相加，所得几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向到的不等式与原不等式同向.思考思考3 3 不等式还有什么其他性质吗？不等式还有什么其他性质吗？解答：解答：性质性质4 4 可乘性可乘性 如果如果ab,c0,ab,c0,则则acbc;acbc;如果如果ab,cb,c0,则则a
6、cbc.acb0,cd0ab0,cd0,则则acbd.acbd.可推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同可推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向不等式同向.性质性质4 4推论推论2 2 如果如果ab0ab0,则则a an nbbn n(nN(nN+，n1).n1).性质性质4 4推论推论3 3 如果如果ab0ab0,则则 (nN(nN+,n1).,n1).nnab11abacbdabcd例例.应用不等式的性质，证明下列不等式：应用不等式的性质，证明下列不等式：(1)(1)已知已知abab，ab0,
7、ab0,求证：求证：；(2)(2)已知已知abab，cd,cbab00，0cd,0c 0,a bb-a b,cb,cb,-c-d,ab,-c-d,根据性质根据性质3 3的推论的推论2 2，得，得a+(-c)b+(-d),a+(-c)b+(-d),即即a-cb-d.a-cb-d.(3)(3)因为因为0cd,0cb0,ab0,所以所以 .因此因此110cd 11abcd .abcd 从以上几个不等式的证明过程，可以看到：应用从以上几个不等式的证明过程，可以看到：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一证的不等式，
8、是证明不等式的常用方法之一.1.1.（20132013北京高考）设北京高考）设a,b,ca,b,cR,R,且且ab,ab,则则()A.acbc A.acbc B.B.11ab C.aC.a2 2bb2 2 D.a D.a3 3bb3 3解析解析:y=xy=x3 3在在(-,+)(-,+)上为增函数上为增函数,所以所以a a3 3bb3 3.D D2.2.（20122012浙江高考）设浙江高考）设a0a0，b0.b0.（）A.A.若若2 2a+2a=2+2a=2b b+3b+3b，则，则a ab B.b B.若若2 2a a+2a=2+2a=2b b+3b+3b，则，则ababC.C.若若2 2
9、a a-2a=2-2a=2b b3b3b，则，则a ab D.b D.若若2 2a a-2a=2-2a=2b b-3b-3b，则，则a ab b解析解析:当当0a 0a b b时，显然时，显然2 2a a2 2b b，2a 2a 2b 2b3b3b，所，所以以2 2a a+2a+2a2 2b b+3b+3b，即，即2 2a a+2a+2a2 2b b+3b+3b成立成立.所以它的逆否所以它的逆否命题：若命题：若2 2a a+2a=2+2a=2b b+3b+3b，则，则a ab b成立，故成立，故A A正确正确.B.B错误，错误，当当0 0 a a b b时，由时，由2 2a a 2 2b b，
10、2a2a3b3b，知，知2 2a a-2a-2a与与2 2b b-3b-3b的大小关系不确定，所以的大小关系不确定，所以C C不正确，不正确，D D不正确不正确.3.3.对于实数，给出下列论述：对于实数，给出下列论述：其中正确的命题是其中正确的命题是 .22,abacbc 若若则则22,acbcab若若则则220,abaabb 若若则则 110,abab 若若则则0,baabab 若若则则0,abab若若则则0,abcabcacb 若若则则1.1.熟记本节熟记本节“四性质两法则四性质两法则”.2.2.证明不等式时步步都要有依据证明不等式时步步都要有依据(注意两数差的符注意两数差的符号，利用已经证明过的性质等号，利用已经证明过的性质等).).3.3.性质性质4 4及其推论有条件的限制及其推论有条件的限制.4.4.注意各个性质的形式注意各个性质的形式.在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大.郁达夫
