1、2.1曲线参数方程的概念及圆的参数方程1、参数方程的概念：、参数方程的概念：如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点1、参数方程的概念：、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合
2、成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？xy500o0,y 令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010 所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为
3、时投放物资，可以使其准确落在 指定位置 txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、参数方程的概念：、参数方程的概念：如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？(),().xf tyg t（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组(2)所确定的点
4、所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上,那么方程那么方程(2)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程,联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数,简称参数简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明：参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义几何意义,也可以没有明也可以没有明显意义。显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样曲
5、线参数方程形式也不一样1.3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：、参数方程的概念：一般地一般地,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x,y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数例例1:已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6,a)在曲线在曲线C上上,求求a的值。的值。23,()21.xttyt为参数变式变式:练习11、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是()A、（、（
6、1，4）；）；B、C、D、21,(43xttyt 为参数）25(,0);16(1,3);25(,0);16B 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上.（1）求常数）求常数a;（2）求曲线）求曲线C的普通方程的普通方程.212,().xttyat 为参数,aR解解:(1)由题意可知由题意可知:1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲线曲线C的方程为的方程为:x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得:12xt代入第二个方程得代入第二个方程得:21(),2xy2(1)4xy为所求.训练2：思考题
7、：动点思考题：动点M作等速直线运动作等速直线运动,它在它在x轴和轴和y轴方向的轴方向的速度分别为速度分别为5和和12,运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2),求点求点M的的轨迹参数方程。轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得tytx12251所以，点M的轨迹参数方程为tytx12251参数方程求法参数方程求法:（1）建立直角坐标系）建立直角坐标系,设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为 （2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义物理意义,建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证
8、明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程2、圆的参数方程、圆的参数方程)()(sincossin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三，设，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt-555-5rM0 0M(x,y)cossinxryr (为参数为参数)sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaO5-5-55v(a,b)oP(x,y)O
9、1),(111yxP(a,b)r11111(,),(,)(,),O a brOrOP x yOP x y圆心为、半径为 的圆可以看作由圆心为原点、半径为 的圆平移得到 设圆上任意一点是圆 上的点平移得到的由平移公式 有又又所以所以sincosrbyraxbyyaxx11例例1 1、已知圆方程、已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程化为标准方程，(x+1)2+(y-3)2=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)25232cos()sinxy例例、指
10、指出出参参数数方方程程为为参参数数 所所表表示示圆圆的的圆圆心心坐坐标标、半半径径，并并化化为为普普通通方方程程。例3.如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。yoxPMQ)(sin3cossin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM3、已知点、已知点 P(x,y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，上动点，求（求（1）x2+y2 的最值，的最值，（2）x+y
11、的最值，的最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），），（1）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos =14+2 sin(+).13(其中其中tan=3/2)x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。1313(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）24 x+y的最大值为的最大值为
12、5+，最小值为，最小值为5-。22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（+）=1 时时,d取最大值取最大值,最小值，最小值，分别为分别为 ，。4122221_4)0(sin2cos1，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2 2，1 1）练习练习:的最大值为则意一点上任为参数是曲线、22)4()5(,)(sincos2),(2yxyxyxPA、36 B、6 C、26 D、25（）A的交点。为参数求它与曲线为参数程为、若已知直线的参数方)(sin2cos2)(113yxttytx4.已知已知M是正三角形是正三角形ABC的外接圆上的任意的外接圆上的任意 一点一点,求证求证：|MA|2+|MB|2+|MC|2为定值。为定值。
