1、 二次函数的二次函数的几种解析式及求法几种解析式及求法 1.1.熟记熟记二次函数的几种表达式二次函数的几种表达式2.2.能能根据题目的已知条件，灵活根据题目的已知条件，灵活选择适当的表达式，选择适当的表达式，求求二次函数二次函数的解析式。的解析式。3.3.在遇到实际问题时在遇到实际问题时,能通过数能通过数学学建模应用建模应用二次函数的解析式解二次函数的解析式解决实际问题决实际问题回忆回忆：回忆回忆：二次函数常用的几种解析式已知抛物线上三点的坐标三点的坐标，通常选择一般式。通常选择一般式。(1)已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。通常选择顶点式。已知抛
2、物线与与x轴的交点坐标轴的交点坐标，选择交点式选择交点式。1、一般式、一般式2、顶点式、顶点式3、交点式、交点式(2)当抛物线发生平移的变化，只要确定得变化以后新的顶点坐标,就将新的顶点坐标代入顶点式，就可以求得新函数的解析式(如果原函数是一般式，一般将原函数先化为顶点式顶点式)2.1axy kaxy2.22)(.3hxaykhxay2)(.4二次函数几种特殊解析式的顶点二次函数几种特殊解析式的顶点:顶点在原点，（0,0）.对称轴为y轴，即直线x=0.顶点在Y轴上，（0,k）.对称轴为y轴，即直线x=0.顶点在X轴上，（h,0）.对称轴是直线x=h.顶点在象限内，（h,k）.对称轴是直线x=h
3、.5.y=a(x+m)2+b(x+m)+c+nm是左负右正平移量，是左负右正平移量，n是上正下负平移量。是上正下负平移量。自自2008年百色市年百色市25题考了二次函数的变换（旋题考了二次函数的变换（旋转）求其解析式后，求二次函数变换后的解析式转）求其解析式后，求二次函数变换后的解析式便成了各市考函数知识的一个热点题目，便成了各市考函数知识的一个热点题目，2011年年桂林市考了二次函数旋转、平移后求其解析式，桂林市考了二次函数旋转、平移后求其解析式，2012年变换后求其函数解析式仍然是一个热点题，年变换后求其函数解析式仍然是一个热点题，预计预计2015年中考数学命题趋势，在重点考查数学年中考数
4、学命题趋势，在重点考查数学基础知识和基本技能基础知识和基本技能的同时，的同时，仍然仍然注重考查学生注重考查学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力用意识与推理能力，能结合实际背景和相关学科，能结合实际背景和相关学科中的数学问题，对数学知识本身的意义进行理解中的数学问题，对数学知识本身的意义进行理解和应用。和应用。例例:已知二次函数已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示，求其解析式。求其解析式。解法一：解法一：一般式一般式设解析式为顶点C（1，4）对称轴 x=1A(-1,0)与 B关于 x=1对称B（3，0）A(-1,0)、B
5、（3，0）和C（1，4）在抛物线上即：求二次函数解析式巩固例题解之得：解之得：例例:已知二次函数已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示，求其解析式。求其解析式。解法二：顶点式解法二：顶点式设解析式为：顶点C（1，4）又A(-1,0)在抛物线上，a =-1即：h=1,k=4.解法三：交点式解法三：交点式设解析式为抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A(-1,0)、B（3，0）y=a(x+1)(x-3)又点C（1，4）在抛物线上 4=a (1+1)(1-3)a=-1 y=-(x+1)(x-3)即：例例:已知二次函数已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示，求其解析式。求其解析式。比较归纳比
6、较归纳：本题刚才采用一般式、顶点式和本题刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。求解比用一般式求解简便。二次函数是初中代数的重要内容之一，二次函数是初中代数的重要内容之一，也是也是历年中考的重点历年中考的重点。这部分知识命题形。这部分知识命题形式比较灵活，既有式比较灵活，既有填空题、选择题填空题、选择题，又有，又有解答题解答题，而且常与，而且常与方程、几何图形方程、几何图形等综合等综合在一起，出现在在一起，出现在压轴题压轴题之中。之中。因此，熟练因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会掌握二次函数的相关知识
7、，会灵活运用一灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。式是解决综合应用题的基础和关键。将抛物线将抛物线 向左平移向左平移4个单位，再个单位，再向下平移向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解法一：将二次函数的解析式解法一：将二次函数的解析式 转化为顶点式得：转化为顶点式得：（左减右加）（左减右加）(1)由由 向左平移向左平移4个单位得：个单位得：（2）再将）再将 向下平移向下平移3个单位得个单位得（上加下减）（上加下减）即：所求的解析式为即：所求的解析式为 平移规律：平移规律：
8、y=a(x-m)2+b(x-m)+c+n（m左负右正左负右正，n上正下负上正下负）跃跃欲试跃跃欲试yxCAOB（，）（，）（，（，）（，），）将抛物线将抛物线 向左平移向左平移4个单位，再向下平个单位，再向下平移移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解法二：将二次函数的解析式转化为顶点式得：所以原函数的顶点坐标为（，）依题意抛物线向左平移个单位后，再将抛物线向下平移个单位，将新的顶点坐标（，）代入顶点式得：2)5(2 xy即：所求的解析式为：得顶点坐标（，）得新的顶点坐标是（，）已知二次函数的图像过原点，当已知二次函数的图像过原点，当x=1时，时，y有最小
9、值有最小值为为-1，求其解析式。，求其解析式。尝试牛刀一解：解：设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为 x=1,y=-1,顶点（顶点（1，-1）。）。又（又（0，0）在抛物线上，）在抛物线上，a =1 即：即：已知二次函数与已知二次函数与x 轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（），点（0，1）在图像上，求其解析式。）在图像上，求其解析式。解：解：设所求的解析式为设所求的解析式为抛物线与抛物线与x轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（-1，0）、（）、（1，0）又又点（点（0，1）在图像上）在图像上 a=-1即：即：尝试牛刀二尝试牛刀三解：解：二次函数解析式为二次函数解析式为
10、（1）由）由 向右平移向右平移1个单位得：个单位得：（左减右加）（左减右加）（2）再把）再把 向上平移向上平移4个单位得：个单位得：（上加下减）（上加下减）即：所求的解析式为即：所求的解析式为 将二次函数将二次函数 的图像向右平移的图像向右平移1个单个单位，再向上平移位，再向上平移4个单位，求其解析式。个单位，求其解析式。.已知图象上三点坐标，通常选择一般式求出已知图象上三点坐标，通常选择一般式求出a、b、c。.已知图象顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式求已知图象顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式求a、h、k。.已知图象与已知图象与x x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x
11、x1 1、x x2 2，通常选择交点式，通常选择交点式求求a a、x x1 1、x x2 2。3.3.确定二次函数的解析式的确定二次函数的解析式的关键是关键是根据题目的已知条根据题目的已知条件，件，恰当地恰当地选择选择一种函数表达式，一种函数表达式，灵活应用灵活应用。无论采用无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。1.二次函数常用解析式：二次函数常用解析式：2.求二次函数解析式的一般方法：用待定系数法求二次函数解析式的一般方法：用待定系数法.当抛物线发生平移的变化时当抛物线发生平移的变化时,也也可以根据可以根据:“左负右正，下负上正左负右正，
12、下负上正”的法则，来求得新函数的解析式的法则，来求得新函数的解析式y=a(x-m)2+b(x-m)+c+n如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为的最大高度为3.6m3.6m，跨度为，跨度为7.2m7.2m一辆卡车车一辆卡车车高高3 3米，宽米，宽1.61.6米，它能否通过隧道？米，它能否通过隧道？即当即当x=OC=1.62=0.8米时，过米时，过C点点作作CDAB交抛物线于交抛物线于D点，假设点点，假设点D坐坐标为标为(0.8，）。若若y=CD3米，米，则卡车可以通过。则卡车可以通过。分析：分析：卡车能否通过，只要看卡卡车能否通过，只要看卡
13、车在隧道正中间时，其车高车在隧道正中间时，其车高3米是否米是否超过其位置的拱高。超过其位置的拱高。探索探索:如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为3.6m3.6m，跨度为，跨度为7.2m7.2m一辆卡车车高一辆卡车车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，它能否通过隧道？米，它能否通过隧道？解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0），B（3.6，0），P（0，3.6）。又P（0，3.6）在图像上，当x=OC=0.8时，卡车能通过这个隧道。谢谢！谢谢！课后探究：如图,已知抛物线 的图象与 轴交于A、C两点，（1）若
14、抛物线 与 关于 轴对称，求 的解析式；（2）若点B是抛物线 上一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，请判断点D是否在 上，并说明理由；（3）探索：当点B分别位于 在 轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.4:21xylx2l1lx2l1l2lx1lkhxayl22)()1(的解析式为设(0,4)C(2,0),2,0)A(2顶点坐标是、过l,1,440,42aaaxy得422xyl 的解析式为),(,)2(112yxBlD设上在
15、点)4,(,2111xxBlB上在点对称关于、是平行四边形四边形OCA,ABCD)4,(ODB211xxD对称关于、4:)4,(22211xylxxD的坐标代入将右边左边上在2Dl:解.4),(0,(2,0),)0,2(211轴对称关于与顶点坐标是、轴的交点与xllCAxlDByxCAO1l2l|4|2sss,ABCD(3)11yyACABC则的面积为设平行四边形0,B .1yxa轴上方时在当点的增大而增大随的正比例函数且它是关于111,4ysyys 既无最大值也无最小值s04,B .1 yxb轴下方时在当点增大而减小随正比例函数且它是关于111,4ysyys但它没有最小值有最大值时当,16,
16、41sy轴上也在它的对称点轴上在此时yy)4,0(D,)4,0(B16 最大此时是菱形平行四边形垂直于sABCDBDAC如图,已知抛物线 的图象与 轴交于A、C两点，（1）若抛物线 与 关于 轴对称，求 的解析式；（2）若点B是抛物线 上一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，请判断点D是否在 上，并说明理由；（3）探索：当点B分别位于 在 轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.4:21xylx2l1lx2l1l2lx1l:解DByxCAO1l2lDByxCAO1l2lDByxCAO1l2l
