1、如何破解二次函数压轴题20 xx.06.07难学难教学生无从下手，老师视为畏途：1.面对此类问题，学生一般只完成前面一、二问，后面问题基本不看，即使优秀同学也非常恐惧；2.老师出于现实考量，一般放弃后面问题的讲解，一来实在难讲；二来风险太大，投入产出不成比例.二次函数压轴题面临的问题_1错失良机学生错失提升思维能力和水平的机会，在初中阶段，大多数同学的知识结构是零散的，不系统的.二次函数压轴题中渗透了函数的思想，方程的思想，数形结合的思想，分类讨论，类比归纳等数学思想，本人认为还应该加上一个极为重要的数学思想即：点、线、式.甚至我个人认为这个思想应该放在函数问题的首要位置.二次函数压轴题面临的
2、问题_2 二次函数压轴题是以二次函数为背景，探讨点、线、角、面、恒等式证明等问题.现有解题体系有四个显著的特点：二次函数压轴题的特点对图形高度依赖。1几何为主代数为辅。2逻辑跳跃太大。3思维过程冗长。4本人提出的解题体系特点 实际上，“点”、“线”、“式”触及了解题核心，简化思维过程，易于学生的理解和掌握。对图形依赖大大降低。1代数为主，几何为辅。2逻辑线条清晰。3思维过程简洁。4完全建构了新的思维体系，归根结底三个字：点，线，式由线思点，由点到线，由线到式。如图，已知二次函数L1:和二次函数L2:图象的顶点分别为M,N,与 轴分别交于点E,F.(1)函数 的最小值为 _；当二次函数L1，L2
3、 的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是_；（2）当EFMN.时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）；（3）若二次函数L2 的图象与x轴的右交点为A(m,0)，当AMN为等腰三角形时，求方程 的解.223(0)yaxaxaa223(0)yaxaxaa2(1)1(0)ya xa 点：E、F、M、N线：EF=MN；式：两点距离公式，求a点：A、M、N线：AM=AN，AM=MN，AN=MN式：两点距离公式，求m中考数学压轴题探究1设抛物线的解析式为yax，过点B1（1,0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1,2);过点B2（,0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；过点B
4、n（,0)（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得RtAnBnBn+1。（1）求a的值；（2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长；（3）在系列RtAnBnBn+1中，探究下列问题：当n为何值时，RtAnBnBn+1是等腰直角三角形？设1kmn(k,m均为正整数)，问：是否存在RtAkBkBk+1与RtAmBmBm+1相似？若存在，求出相似比，若不存在，说明理由.112n点：Bn，An，Bn+1，线：AnBn，BnBn+1式：AnBn=BnBn+1点：Ak，Bk，Bk+1，Am，Bm，Bm+1线：AkBk，Bk Bk+1，AmBm，BmBm+1 式：1111kkkk
5、kkkkmmmmmmmmA BB BA BB BA BB BB BA B或者中考数学压轴题探究212 中考数学压轴题探究 在直角坐标系中，我们常常遇到等腰直角三角形及45的构建问题。个人认为，在坐标系中解决问题，尽可能以代数思想为主，几何方法为辅。因此我开始探索此类问题代数化方法。开锁法也就应运而生了。将静态的几何问题，用动态的代数方法进行处理的一种手段。可广泛应用于等腰直角三角形及45的构建问题。主要通过构建一线三直角，利用全等处理。美中不足之处在于辅助线构造繁杂，特别在涉及参数的分类讨论时，容易出现漏解。传统方法开锁法探索“开锁法”的基本步骤例1：A（4,1），若将点A绕原点旋转90得到点
6、B，求点B坐标.显然点B的坐标为（1，4）或（1，4）注意此时B1，B2存在对称关系例2：A（a,b），若将点A绕原点旋转90得到点B，求点B坐标.点B的坐标为（b，a）或（b，a）一般情况下“开锁法”例3：如图，已知ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，A(1,3)，C(2,2)，求点B坐标。因为ABC是等腰直角三角形点B可视为点A绕点C顺时针旋转90而成将点C（2，2）平移到原点C（0，0）则点A（1，3）平移后对应点为A（3，1）将点A（3，1）绕原点顺时针旋转90得点B（1，3），将点C 平移回点C（2，2），所以点B（1，3）平移后即为点B（3，5）解：任意情况下“开锁法”解：例
7、4：如图，已知ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，A(a,b)，C(c,d)，求点B坐标。ABC是等腰直角三角形点B可视为点A绕点C顺时针旋转90而成将点C（c，d）平移到原点C（0，0）则点A（a，b）平移后为A（ac，bd）将点A绕原点顺时针旋转90，得点B（bd，ca）将点C（0，0）平移回点C（c，d）点B（bd，ca）平移后即为点BB点坐标为（bdc，cad）“开锁法”基本步骤此问题分三种情况：1.若两定点已知，可直接通过“开锁法”确定第三点坐标；2.一定点一动点，可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标；3.同一参数两动点，可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标。【开锁法】第一
8、步，将等腰直角三角形直角顶点平 移至原点位置；第二步，将斜边上一点绕原点旋转90；第三步，将等腰直角三角形平移回原位，求出另一点坐标。【开锁过程】第一步，将钥匙平移至锁眼位置；第二步，将钥匙绕锁眼旋转90；第三步，将钥匙平移回原位，开 锁过程结束。类比一下整个过程，两者是否有异曲同工之妙。“开锁法”示例_1抛物线 与直线 交于C、D两点，点P是y轴右侧抛物线上一个动点，过点P作PEx轴于点E，交直线CD于点F是否存在点P，使PCF45，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.2722yxx 122yx122yx“开锁法”示例_1物线 与直线 交于C、D两点，点P是y轴右侧抛物线上一个动点，
9、过点P作PEx轴于点E，交直线CD于点F是否存在点P，使PCF45，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.2722yxx 122yx方法一、点：C，D线：开锁法或矩形构造法得出H式：联立抛物线及CH直线方程.方法二、点：C，D线：开锁法或矩形构造法得出点H式：联立抛物线及CH直线方程.“开锁法”示例_1 抛物线 与直线 交于C、D两点，点P是y轴右侧抛物线上一个动点，过点P作PEx轴于点E，交直线CD于点F是否存在点P，使PCF45，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.2722yxx 122yx122yx002121,.90(2,2)(0,0)(2,)90(,2)(,32)(,3
10、2)7232211 70(),.(,).22 2PHCDHPHCPCHCDHm mHHCmmCP mmHHPP mmP mmmmmmmPQ作垂足为显然为等腰直角三角形点 可视为点 绕点顺时针旋转而成点在直线上，设将平移至原点，则将绕原点顺时针旋转，则将平移至 点，则平移后即为把代入抛物线，舍223 13(,)6 18P同理“开锁法”示例_2（2017深圳）如图，抛物线 经过点A（1,0），B（4,0），交y轴于点C；将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求BE的长.213222yxx 2222,.,41,.23(3,3).(4,0)13:312.2,229100.9.(5,3)
11、.(54)(3)10HBBECHBEHBHCBMNOCNHHMBNCMHm NHMBnmnmnmnHBlyxyxxxxxxEBE QQ作垂足为构造的外接矩形易证：设“开锁法”示例_3抛物线 与直线 交于A、B两点，其中点A在y轴上，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PMAB，垂足为M，连接PA使PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标.2932yxx132yx0022901(,3)(0,3)21(0,0)(,)2190()213(3)22139(3)322293()332222PAMPAMMABM ttAMMAttAPttMMPPttPttyxx
12、tttt QQ为等腰直角三角形点 可视为点 绕点顺时针旋转而成点在直线上设，将点平移至原点，则将点绕原点逆时针旋转，则，将点平移至点，则平移后即为，把，代入抛物线:3153(,)22P “开锁法”示例_4（2017哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过A（4,0），B（0,4）两点，与x轴交于另一点C，直线yx5与x轴交于点D，与y轴交于点E。点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EFEP，且点F在第一象限，过点F作FMx轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）.2142y
13、xx 022202290114(,4)(0,5)221(,1)2901(1),2.1(15),5.5.2PEFFPEyxxP tttEEP tttPFtttEEFFFtttEFEP EFMtPdFEt Q为等腰直角三角形点 可视为点 绕点 逆时针旋转而成，.将点 平移至原点，将点绕原点逆时针旋转则，解：将点平移至 点，则平移后点依题即为意：，“开锁法”示例_5（2017成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，
14、点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由 2142yx“开锁法”示例_5（2017成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线CP是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由 2142yx 011012111.90(0,0)(2,21(,)(0)
15、4,2.(2,2)2(,01)90(22)(22)PMP NPFMFFPmPMmFFMMmP t t tyxtPmMMFFmPF Q若四边形为正方形，则正方形的中心点可视为点 绕点 顺时针旋转而成.将 点平移至原点，则将 点绕原点顺时针旋转，则，将 平是以点 为直角顶点的等腰直角三移设至 点，则平移后即为，把代入角.抛物线形，为21201212222.317,317().90()421(2)42 2),.6,0().317622mmmmM mmmMPmmFmmm 舍去点可视为点 绕点时针旋转而成.同理可得：，舍去 综上所述，逆“开锁法”示例_6（2017山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物
16、线 与x轴交于点A(1，0)和点B(1，0)，直线y2x1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标.21yx“开锁法”示例_6（2017山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A(1，0)和点B(1，0)，直线y2x1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所
17、有符合条件的G点的坐标.21yx222120021(21)()2121(22)20.,2.(21),(2,23)90(0,0)(2,4).90(4PyxP t tyxttyxxtxttxt xtP t tQ ttPGQPPPQQG QQ平移后抛物线的顶点 在直线上设，则平移后抛物线为，若 为等腰直角三角形直角顶点.点 可视为点 绕点 逆时针旋转而成.将 点平移至原点，则将点绕原点逆时针旋转，则，12002)(421)04(0,9)(0,9)90(0)(0 0)(2,23)90(232)GPPGGt txtGQGGPQGGbGGQ ttbQPtbtGGP Q将点平移至 点，则平移后即为，若 为等
18、腰直角三角形直角顶点.同理可得若 为等腰直角三角形直角顶点.点 可视为点 绕点 顺时针旋转而成，设，将 平移至原点，,，则将绕原点顺时针旋转，则，将平移至 点，则平移后即为312(232)(21)2322114(0,4)(0,9)(0,4)PPtbtbP t ttbttbttbGGG Q，综上所述，满足题意的点，“开锁法”示例_7在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限平移该抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q若点M在直线AC下方，且为平移前抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三
19、角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标.mouzhong2212212(,1)1(,)1121(0,1)(4,3):121(),2(2,3)2132132(15,52)(15,25)5ACP t ttMPQMM ttttMMQMPyxxAClyxyxtxt xtQ tttt QQ，抛物线设以、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形。当为直角顶点时当 为直角顶点时,点可视达式：，为点表绕001212221(2,3)(0,0)(2,2)(2,2)(2,2)(2,3)(2,2)(,5)12190542(4,1)(2,7)2(4,1)(2,790QPPPMQ ttQQQ ttt ttMMttttMMPMM 平移至原点，则点绕原点则点平移至，则点 顺时针旋转而成将点平移后将点顺时针旋转，将点点平移后即为点当 为直角顶点时,同理可得点，1234)(4,1)(2,7)(15,52)(15,25)MMMM，21212yxx
