1、第九章第九章 微分方程初值问题的数值解法微分方程初值问题的数值解法内容提纲内容提纲 引言引言 Euler法及其改进法及其改进 Runge-Kutta方法方法 线性多步法线性多步法 误差分析误差分析 数值解法的收敛性、相容性和稳定性数值解法的收敛性、相容性和稳定性 边值问题数值解法简介边值问题数值解法简介 引言引言 初值问题的数值解法初值问题的数值解法:求初值问题的解在一系列节点的值求初值问题的解在一系列节点的值 y(xn)的近似值的近似值 yn 的方法的方法.本章数值解法的特点本章数值解法的特点:都是采用都是采用“步步进式进式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步步向前推进即求解过程顺着节点排列
2、的次序一步步向前推进.基本知识基本知识:(1)(1)定理定理1:1:如果函数如果函数 f(x,y)在区域在区域 上连续上连续,且关于且关于 y 满足满足Lipschitz条件条件常微分方程初值问题常微分方程初值问题:00(,),()dyfx yxa bdxy xy求未知函数求未知函数 y=y(x).(,)|,Dx yaxb yR121212|(,)(,)|(,),(,),0f x yf x yL yyx yDx yDL 此时此时Lipschitz条件显然成立条件显然成立.故常用故常用 在在D上连续有界来代上连续有界来代替替 f(x,y)关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件.注注:如
3、无特别说明如无特别说明,总假设总假设(1)(1)的解存在唯一且足够光滑的解存在唯一且足够光滑.在在f(x,y)对变量对变量 y 可微的情形下可微的情形下,若偏导数若偏导数 连续有界连续有界,则则可取可取L为为除了要保证除了要保证(1)(1)有唯一解外有唯一解外,还需保证微分方程本身是稳定的还需保证微分方程本身是稳定的,即即(1)(1)的解连续依赖于初始值和函数的解连续依赖于初始值和函数 f(x,y).也就是说也就是说,当初当初始值始值 y0 及函数及函数 f(x,y)有微小变化时有微小变化时,只能引起解的微小变化只能引起解的微小变化.(其中其中L 称为称为LipschitzLipschitz常
4、数常数),),则对任何则对任何 ,初值问题初值问题(1)(1)在在 a,b 上存在唯一连续可微解上存在唯一连续可微解 y=y(x).00(,)xyDfy(,)(,)max|x yDf x yLyfy定理定理2:2:如果函数如果函数 f(x,y)在区域在区域 上关于上关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,则则(1)是稳定的是稳定的.(,)|,Dx yaxb yR单步迭代单步迭代:计算计算 yn+1时仅用时仅用 yn;初值问题初值问题(1)与下列积分方程的解等价与下列积分方程的解等价:00()(,()xxy xyf t y tdt初值问题的数值解就是求一系列节点初值问题的数值解就是求一系列
5、节点上函数上函数 y=y(x)的近似值的近似值 .称为称为步长步长.一般取等步长一般取等步长 h.01naxxxb01,nyyy1iiixxx多步迭代多步迭代:计算计算 yn+1时除用时除用 yn 外外,还要用到还要用到 yn 1,yn 2,;k 步迭步迭代要用到代要用到 yn 1,yn 2,yn k+1.显式单步迭代显式单步迭代:1(,)nnnnyyhxyh隐式单步迭代隐式单步迭代:11(,)nnnnnyyhxyyh(2)(2)一、一、EulerEuler方法及其改进方法及其改进 将将 a,b n 等分等分,记记,(0,1,)kbahxakhknn微分法微分法:111100()()()()(
6、)(,)0,1,1()kkkkkkkkkkky xy xy xy xy xxxhyyh f xykny xy积分法积分法:11(1)()()(,()kkxkkxy xy xf t y tdt积分项利用矩形公式计算积分项利用矩形公式计算 11(,()(,)()()(,)kkxkkkkkkxf t y t dth f xyy xy xh f xy1.1.显式显式EulerEuler方法方法()TaylorTaylor公式推导公式推导:2111()()()(),2(,)0,1,1kkkkkkkkkkkhy xy xhy xyxxyyh f xyknEulerEuler公式几何意义公式几何意义:P1P
7、2Pk也称折线法也称折线法 P0 xy2.2.梯形法梯形法 称之为梯形公式称之为梯形公式.这是一个隐式公式这是一个隐式公式,通常用迭代法求解通常用迭代法求解.具体具体做法做法:取取 先用先用EulerEuler法求出初值法求出初值 ,即即 ,将其代将其代入梯形公式的右端入梯形公式的右端,使之转化为显式公式使之转化为显式公式,即即 注注:当当 f(x,y)关于关于y满足满足Lipschitz条件且步长条件且步长h 满足满足 直至满足直至满足:若采用梯形公式计算若采用梯形公式计算()中的积分项中的积分项,则有则有111111()()(,()(,()2(,)(,)2kkkkkkkkkkkkhy xy
8、 xf xy xf xy xhyyf xyf xy(0)1ky(0)1(,)kkkkyyh f xy(1)()111(,)(,)2llkkkkkkhyyf xyf xy(1)()11|llkkyy(1)11lkkyy类似地类似地,可得可得23,kkyy()112h L 时时,迭代格式迭代格式()收敛收敛.3.3.改进的改进的EulerEuler方法方法 把把EulerEuler法作为预报法作为预报(称为预估公式称为预估公式),),把隐式的梯形公式作为校把隐式的梯形公式作为校正正(称为校正公式称为校正公式),),则得改进的则得改进的EulerEuler方法方法:1111(,)(,)(,)2kkk
9、kkkkkkkyyh f xyhyyf xyf xy或或11(,)(,(,)2kkkkkkkkhyyf xyf xyh f xy也称为预估也称为预估-校正法校正法.有时为了方便有时为了方便,预估预估-校正格式也写成下面形式校正格式也写成下面形式:11122121(,)(,)kkkkkkyyKKKh fxyKh fxh yhK二、单步法的局部截断误差及精度二、单步法的局部截断误差及精度 Def 1:先假设先假设 ,再估计误差再估计误差这种误差称为单步迭代法在这种误差称为单步迭代法在 xk+1处的局部截断误差处的局部截断误差.()kky xy,1()()(,(),)k hkkkkRy xy xhx
10、y xhDef 2:若某种数值方法的局部截断误差为若某种数值方法的局部截断误差为 ,则称该数则称该数值方法的精度为值方法的精度为P 阶的阶的.1()pO h注注:通常情况下通常情况下,P 越大越大,h 越小越小,则截断误差越小则截断误差越小,数值方法越数值方法越精确精确.设设 1 10 0.Euler.Euler方法是一阶方法方法是一阶方法.()kkyy x所以所以EulerEuler方法为一阶方法方法为一阶方法.而而 211211()()()(),2()()(,()()kkkkkkkkkkky xy xh yxh yxxy xy xh fxy xO h122,11(,),()()()2kkk
11、kk hkkkyyh fxyhRy xyyO h2 20 0.梯形法是二阶方法梯形法是二阶方法.2312311123111()()()()()2()()()()()22()()()()()()()2kkkkkkkkkkkkkkhy xy xhy xyxO hhy xy xhy xyxO hhy xy xh y xy xyxyxO hTaylorTaylor展开展开 将将 代入上式代入上式,得得 1()()()kkyxyxO h311()()()()()2kkkkhy xy xy xy xO h11131131111()()()()2(,)(,)()2(,()(,)()2kkkkkkkkkkkk
12、kkhy xyy xy xy xyhf xyf xyO hhf xy xf xyO h11111(,)11(,()(,)|()kkkkkxkkff xy xf xyy xyy而而代入上式得代入上式得:13(,)11(1|)()()2kxkkhfy xyO hy当当h充分小时充分小时,若若 ,则可选取则可选取 h,使得使得|1fLy故梯形法的精度为故梯形法的精度为2.同样可以证明同样可以证明改进的改进的EulerEuler法也是二阶方法法也是二阶方法.梯形法的梯形法的局部截断误差局部截断误差为为:3,111()(),12k hkkkkkkhRy xyfxx 1(,)|12kxhfy从而从而111
13、(,)(,)33,11(,)11|21|2()(1|)()()2kkkxxk hkkxhfhfyyhfRy xyO hO hy例例1:1)0(20,2yxxyydxdy取步长取步长 h=2/10,2/20,2/30,2/40,分别用欧拉法、改进的欧拉法分别用欧拉法、改进的欧拉法和梯形法求解和梯形法求解.解解:记记 f(x,y)=y x y2,xk=k h (k=0,1,2,n)(1).Euler法法:yk+1=yk+h(yk xk yk2)(k=0,1,n)y0=1当当 h=2/10时时,n=10.由由Euler公式可得公式可得:k01234yk+11.21.38241.5061.53504
14、1.46503k56789yk+11.32877 1.17077 1.02113 0.89169 0.783788(2).改进的改进的Euler法法:2212210()()2(),0,1,1kkkkkkkkkkkkkkhyyyx yyh yx yxyh yx yknyk01234yk+11.19121.343841.423481.419051.3473k56789yk+11.237261.114240.994151 0.884751 0.788666(3).梯形法梯形法(计算过程略计算过程略)221111(),0,1,2kkkkkkkkhyyyx yyxykn(1)2()()21111()()
15、,0,1,2,2lllkkkkkkkkhyyyx yyxyl n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05误差误差 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256Euler法误差法误差:改进的改进的Euler法误差法误差:n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05误差误差 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004-101234500.511.5预预-校方法校方法,h=0.2时时误差最大值误差最大值:0.0123-101234500.511.52欧拉方法欧拉方法,h=0.2时时误差最大值误差最大值:0.1059
16、xexxy 211)(解析解解析解:三、三、Runge-Kutta 方法方法1 1、Taylor 级数级数法法 设初值问题设初值问题 有解有解 y(x),由由Tayler公式得公式得:00(,),(),yf x yy xyaxb2()11()()()()()()2!pppkkkkkhhy xy xhy xyxyxO hp令令当当 时时,有有 .此时此时为为 p 阶阶Taylor方法方法.p=1时即为时即为Euler公式公式.称之为称之为Taylor级数法级数法.其中其中例例2:取步长取步长 h=0.1,用一阶、二阶和四阶用一阶、二阶和四阶Taylor方法求解下列方法求解下列初值问题初值问题2(
17、)12!ppkkkkkhhyyh yyyp()()(),0,1,2,iikkyyxip()()()iikkyyx111()()pkky xyO h解解:(1)一阶一阶Taylor法法21,0.2(0)1yyxy210.1kkkyyyk01234yk+11.11.2211.37008 1.55779 1.80046(2)二阶二阶Taylor法法232231()220.10.122!kkkkyyyyyyyyyk01234yk+11.111.24689 1.42175 1.65263 1.97088(3)四阶四阶Taylor法法324(4)3523423451(2)6624240.10.10.10.
18、126242!3!4!kkkkkkyyy yyyy yyyyyyyyk01234yk+11.11111.24996 1.42848 1.66644 1.99942记记由由得得称为称为xk,xk+1上的平均斜率上的平均斜率.故故2 2、Runge-Kutta方法方法11()()()()kkkky xy xyxxh1()()()()(,()kkky xy xhyy xh fy*(,()Kfy只要对只要对K*提供不同的算法提供不同的算法,就会得出不同的计算公式就会得出不同的计算公式.如取如取则得改进的则得改进的Euler公式公式,它是利用它是利用xk,xk+1两点的斜率值两点的斜率值K1,K2 的的
19、算术平均值作为算术平均值作为K*,精度比精度比Euler法高法高.则得则得Euler公式公式;取取*1()()kky xy xhK*(,)kkKf xy*1212111(),(,),(,)2kkkkKKKKf xyKf xyhKRunge-Kutta法的法的基本思想基本思想:设法在设法在xk,xk+1内多预报几个点的斜率内多预报几个点的斜率,再将它们的加权平再将它们的加权平均值作为平均斜率均值作为平均斜率K*一般显式一般显式Runge-Kutta公式公式为为:1111(,1,2,rkkiiiiikiki jjjyyhc kkf xh yhkir其中其中 为待定参数为待定参数,且且 .称为称为r
20、 级级Runge-Kutta方方法计算公式法计算公式.,iii jc 10注注:式中待定参数的确定式中待定参数的确定:先将先将式右端在式右端在(xk,yk)处展成处展成h的幂的幂级数级数(即将即将 yk+1 展成展成 h 的幂级数的幂级数);再将再将 y(xk+1)作作Taylor 级数展开级数展开;最后比较两式中最后比较两式中hk(k=0,1,2,)的系数的系数,以确定出所有待定参数以确定出所有待定参数.即可得即可得 p 个方程个方程,从而确定出待定参数从而确定出待定参数.代入表达式即可得到计代入表达式即可得到计算公式算公式.如果要求两个表达式的前如果要求两个表达式的前p+1项完全重合项完全
21、重合,即局部截断即局部截断误差达到误差达到 ,则称则称式为式为 p 阶阶 r 级级的的Runge-Kutta方法方法.常用的是常用的是 r=2,3,4 级的级的R-K方法方法,且适当选取参数使得且适当选取参数使得 p=r.如要求如要求:2311232()11112!3!()()()()()()2!kkpppkkkkkyyrhr hr hhhy xy xhy xyxyxO hp()12(),(),()pkkpkryxryxryx1()pO hRunge-Kutta方法的推导方法的推导(以以r=2为例为例):当当r=2 时时11 122122211()(,)(,)kkkkkkyyh c kc kk
22、f xykf xh yhk则则1122211(,)(,)kkkkkkyyhc f xyhc f xh yhk记记(,),(,),(,)kkxxkkyykkff xyffxyffxy1222112221 111 12223122221 1,(,)(,)()(),()()()()kkkkxykkkxykfkf xh yhkf xyhfk fO hyyc kc khyccf hcfk fhO h又又(,),kkxyyf xyfyff f23123()()()()()2()()2kkkkkxyhy xy xh yxyxO hhyh fff fO h(1)常用的二阶常用的二阶Runge-Kutta方法方
23、法:预估预估-校正算法校正算法(2)这是一个四个参数三个方程的非线性方程组这是一个四个参数三个方程的非线性方程组.它有一个自由度它有一个自由度.称满足上述方程组的一族公式为二级二阶称满足上述方程组的一族公式为二级二阶Runge-Kutta方法方法.为使局部截断误差为为使局部截断误差为 ,比较上述两式右端同次幂系数比较上述两式右端同次幂系数,应应取取3()O h122222111/21/2cccc122211/2,1cc112121()/2(,)(,)kkkkkkyyh kkkfxykfxh yhk122210,1,1cc1212122(,)(,)kkkkhhkkyyhkkfxykfxyk注注:
24、二级二级Runge-Kutta方法的精度最高是二阶的方法的精度最高是二阶的,不可能达到三阶不可能达到三阶.要提高计算方法的阶要提高计算方法的阶,就必须增加预报点就必须增加预报点.常用的三阶常用的三阶Runge-Kutta方法方法(r=3):(1)Heun(休恩休恩)方法方法 中间点方法中间点方法 (3)122211/4,3/4,2/3cc1121222133(3)/4(,)(,)kkkkkkyyh kkkfxykfxh yhk11231112122312(4)/6(,)(,)(,2)kkkkkkkkyyh kkkkfxykfxh yhkkfxh yhkhk三阶三阶Kutta方法方法 (1)三阶
25、三阶Heun方法方法 标准标准(经典经典)四阶四阶Runge-Kutta方法方法 (2)1131112133223233(3)/4(,)(,)(,)kkkkkkkkyyh kkkfxykfxh yhkkfxh yhk常用的四阶常用的四阶Runge-Kutta方法方法(r=4):11234111212211322243(22)/6(,)(,)(,)(,)kkkkkkkkkkyyh kkkkkfxykfxh yhkkfxh yhkkfxh yhk(2)称为称为Gill(吉尔吉尔)方法方法 1123411121222122131222222242322(22)(22)/6(,)(,)(,)(,)kk
26、kkkkkkkkyyh kkkkkfxykfxh yhkkfxh yhkhkkfxh yhkhk注注:从理论上讲从理论上讲,可以构造任意高阶的计算方法可以构造任意高阶的计算方法.但事实上但事实上,精度精度的阶数与预报点的个数之间并非等量关系的阶数与预报点的个数之间并非等量关系.预报点的个数预报点的个数 r123456789r 10精度的阶数精度的阶数123445667 r-2一般情况下一般情况下,四阶四阶Runge-Kutta方法已可满足精度要求方法已可满足精度要求.例例3:用经典用经典Runge-Kutta方法求解下列初值问题方法求解下列初值问题(取取 h=0.1)2,01(0)1yxyxy
27、 解解:0010.1,0,1,0.1(0,1,9)kkhxyxxk标准标准Runge-Kutta公式为公式为:1123412132430.1(22)/622(0.05)0.052(0.05)0.052(0.1)0.1kkkkkkkkkkyykkkkkxykxykkxykkxyk计算结果见下表计算结果见下表.为比较在相同计算量条件下近似解的精度为比较在相同计算量条件下近似解的精度,表表中列出了中列出了Euler法法(h=0.025)和改进的和改进的Euler法法(h=0.05)在相应节在相应节点上的计算结果点上的计算结果.xiEuler法法h=0.025改进改进Euler法法h=0.05经典经典
28、R-K法法h=0.1准确解准确解0.11.1114391.1153801.1155121.1155130.21.2552091.2639141.2642081.2642080.31.4346671.4490891.4495761.4495760.41.6535171.6747561.6754731.6754740.51.9158491.9451711.9461621.9461640.62.2261782.2650402.2663542.2663560.72.5894852.6395612.6412552.6412580.83.0112713.0744793.0766193.0766230.93
29、.4976063.5761443.5788043.5788091.04.0551924.1515734.1548394.154845注注:用表中每种方法计算用表中每种方法计算 yi 都需要计算四次都需要计算四次 f 的值的值,即它们的计即它们的计算量基本相等算量基本相等.四、四、单步单步法的进一步讨论法的进一步讨论收敛性、相容性与稳定性收敛性、相容性与稳定性注注:由定义可知由定义可知,数值方法的收敛性并不涉及计算过程的舍入误数值方法的收敛性并不涉及计算过程的舍入误差差,只与方法的截断误差有关只与方法的截断误差有关.若格式收敛若格式收敛,则整体截断误差必趋则整体截断误差必趋于零于零.Def:(整
30、体截断误差整体截断误差)称称 为某一数值方法在点为某一数值方法在点 xk 处的整体截断误差处的整体截断误差.它不仅与它不仅与 xk 有关有关,也也与与xk-1,xk-2,x1,x0 有关有关.()kkkey xy则称该单步法收敛则称该单步法收敛.Def:对满足解存在唯一性条件的初值问题对满足解存在唯一性条件的初值问题(1),如果一个显式单如果一个显式单步法步法(3)产生的近似解对于任一固定的产生的近似解对于任一固定的 ,均均有有 00,),xxbxxnh0lim()nhyy x1.收敛性收敛性由于由于 ,且且 关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,得得 则存在常数则存在常数 c 0
31、 使得使得 且单步法中函数且单步法中函数 关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,则则 定理定理1:若初值问题的一个单步法的局部截断误差为若初值问题的一个单步法的局部截断误差为 记记 证证:由局部截断误差的定义知由局部截断误差的定义知1,()(1)pn hRO hp(,)x y h111()()pnnney xyO h1,1()()(,(),)()pn hnnnnRy xy xhxy xhO h()(,(),)nnnyy xhxy xh11|()|pny xych1(,)nnnnyyhxyh(,)x y h1|()|(,(),)(,)|(1)|()|nnnnnnnnnyyy xyhx
32、y xhxy hhLy xy故故 从而有从而有 故故 若若 y(x0)=y0,则则e0=0,由不等式由不等式 得得 111111|()|()|(1)|nnnnnpney xyy xyyychhLe111112112+10+11+10|(1)(1)|1(1)(1)|1(1)(1)(1)(1)|(1)1(1)|(1)1ppnnpnpnnnpnechhLchhLechhLhLechhLhLhLhLehLchhLehL210112hLhLhLhLe！0(1)nnhLhLe+(+1)1(+1)11|1(1)1nhLppnhLnecechhehLL设单步法为设单步法为 注注:定理表明定理表明,数值方法的整
33、体截断误差比局部截断误差低一阶数值方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.收敛的方法至少是一阶方法收敛的方法至少是一阶方法.在该定义条件下在该定义条件下,Euler方法是一阶方法是一阶的的,预估预估-校正方法是二阶校正方法是二阶.当当f(x,y)关于关于 y 也满足也满足Lipschitz条件条件,r 级级Runge-Kutta方法中的方法中的 关于关于 y 也满足也满足Lipschitz条件条件,故定故定理中的条件得到满足理中的条件得到满足,解的收敛性得到保证解的收敛性得到保证.由于由于R n,h0(h0),且且 xn为任意点为任意点,故该式相当于用近似方程故该式相当于用近似方程 当当x=x
34、n+1固定时固定时,所以有所以有 10(+1)nnhxxba+=-()11|1pb-a Lpncehec hL2.相容性相容性通过在通过在 x=xn 处求解近似方程而获得原方程的近似解处求解近似方程而获得原方程的近似解.因此因此,必须必须要求当要求当h0 时时,近似方程应逼近于原方程近似方程应逼近于原方程.来代替来代替 因此因此,要使要使 h0 时时,近似方程的极限状态为原微分方程近似方程的极限状态为原微分方程,需且只需且只需下列极限成立需下列极限成立:由于由于 由于假设由于假设 是连续函数是连续函数,故上式可表示为故上式可表示为 Def:如果当如果当h0时时,近似方程逼近微分方程近似方程逼近
35、微分方程,则称数值公式则称数值公式与原微分方程相容与原微分方程相容.相容的充要条件相容的充要条件:事实上事实上:Remark:可以证明若单步法的阶大于或等于可以证明若单步法的阶大于或等于1,则单步法与微分方则单步法与微分方程相容程相容;反之反之,如果单步法与微分方程相容如果单步法与微分方程相容,且且 关于关于 y 满满足足Lipschitz条件条件,则单步法至少为一阶方法则单步法至少为一阶方法.(h0)(1)若单步法的阶大于或等于若单步法的阶大于或等于1,由由 知知 即单步法与微分方程相容即单步法与微分方程相容.故有故有 (2)如果单步法与微分方程相容如果单步法与微分方程相容,且且 关于关于y
36、 满足满足Lipschitz条件条件,则则关于关于 单步法的收敛性以及收敛性定理都是在计算过程中无任何单步法的收敛性以及收敛性定理都是在计算过程中无任何舍入误差的前提条件下建立的舍入误差的前提条件下建立的,但在实际计算时通常会有舍入误但在实际计算时通常会有舍入误差及其积累差及其积累,数值求解微分方程的过程是一个递推公式数值求解微分方程的过程是一个递推公式,必须考必须考 即与微分方程相容的单步法至少为一阶方法即与微分方程相容的单步法至少为一阶方法.Remark:在定理条件下在定理条件下,Euler方法、预估方法、预估-校正方法以及校正方法以及Runge-Kutta方法都与原微分方程相容方法都与原
37、微分方程相容.中连续中连续,且关于变量且关于变量y 满足满足Lipschitz条件条件,则单步法收敛的充要条则单步法收敛的充要条件为相容性条件成立件为相容性条件成立.Th1.设增量函数设增量函数 在区域在区域 3.稳定性稳定性 如果数值方法在计算过程中舍入误差的积累越来越大如果数值方法在计算过程中舍入误差的积累越来越大,得不得不到有效控制到有效控制,则称其是不稳定的则称其是不稳定的;反之如果计算结果对初始数据反之如果计算结果对初始数据的误差及计算过程中的误差不敏感的误差及计算过程中的误差不敏感,即舍入误差不增长即舍入误差不增长,则称相则称相应的算法是稳定的应的算法是稳定的.数值方法的稳定性有各
38、种定义数值方法的稳定性有各种定义,这里仅考虑这里仅考虑绝对稳定性概念绝对稳定性概念.虑误差积累能否得到控制虑误差积累能否得到控制.Remark:从上面的定义可知从上面的定义可知,单步法是绝对稳定的单步法是绝对稳定的,与模型方程与模型方程 设某数值方法在节点设某数值方法在节点 xn 处对初值问题的数值解为处对初值问题的数值解为 yn,实际计实际计算得到的近似解为算得到的近似解为 ,称为第称为第 n 步数值解得扰动步数值解得扰动.=-Def:若某种数值方法在计算若某种数值方法在计算 yn 时有扰动时有扰动 但在计算后面的但在计算后面的 ym(m n)由由 引起的误差引起的误差 满足满足 则称该数值
39、方则称该数值方法是绝对稳定的法是绝对稳定的.设设 f(x,y)关于关于 y 满足满足Lipschitz条件条件,下面仅对典型方程下面仅对典型方程(模型方模型方程程)进行讨论进行讨论.(其中其中为复常数为复常数,且且 )(1)Euler显式公式显式公式:几个常用公式的稳定性几个常用公式的稳定性要求误差不增加要求误差不增加,即即 必须必须中的复数中的复数以及所用步长以及所用步长 h 有关有关.若对复平面上的某个区域若对复平面上的某个区域G,当当 时单步法绝对收敛时单步法绝对收敛,则称则称G为单步法的绝对收敛域为单步法的绝对收敛域,G与实与实轴的交集称为绝对稳定区间轴的交集称为绝对稳定区间.显然绝对
40、稳定域越大显然绝对稳定域越大,数值方法的数值方法的绝对稳定性越好绝对稳定性越好.将将Euler显式公式用于模型方程显式公式用于模型方程 ,则有则有设设 yn 有误差有误差 ,参与运算的量为参与运算的量为 由此引起的由此引起的 yn+1 有误差有误差 ,则实际得到近似则实际得到近似 yn+1的量为的量为 ,即即故有故有故故当当为实数时为实数时,得绝对稳定区间为得绝对稳定区间为(-2,0).即即 是保持绝对稳定性对步长是保持绝对稳定性对步长 h 所加的限制所加的限制.因此因此Euler法的法的绝对稳定域为绝对稳定域为(Euler法是条件稳定的法是条件稳定的):(2)梯形公式梯形公式:将梯形公式用于模型方程将梯形公式用于模型方程 ,则有则有由于由于设设当当x=Re(h)0时时,上式右端总小于上式右端总小于1.故梯形法的绝对稳定区域故梯形法的绝对稳定区域为为:Re(h)0,即左半平面即左半平面.(3)四阶经典四阶经典R-K方法方法:四阶经典四阶经典R-K方法用于模型方程方法用于模型方程 ,则有则有故四阶经典故四阶经典R-K方法的绝对稳定域为方法的绝对稳定域为:扰动满足扰动满足:
