1、常微分方程教程丁同仁、李承治编主要参考书：v东北师范大学数学系编写的高等学校教材常微分方程v复旦大学数学系金福临等编写的常微分方程（上海科技出版社第二版）；v南京大学数学系叶严谦等编写的常微分方程讲义；v中山大学数学希望高雄等编写的常微分方程（高教第二版）.第一章第一章 基本概念基本概念1.1 1.1 微分方程模微分方程模型型例例1 求平面上过点求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程倍的曲线方程.解:设所求的曲线方程为).(xfy 由导数的几何意义,应有,2)(xxf即.2)(2CxCdxxxf又由条件:曲线过(1,3),即,3)1(f于是得.2C故所
2、求的曲线方程为:.22 xy例例2 物理冷却过程的数学模型物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中,在时刻0t时,测得它的温度为,1500Cu10分钟后测量得温度为 试决定此物.1001Cu体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度.这 里假设空气的温度保持在ut.24 Cua解:Newton 冷却定律冷却定律:1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范围内在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.设物体
3、在时刻 的温度为 根据导数的物理意义,则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律,得到 t).(tu.dtdu),(auukdtdu其中 为比例系数.此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.0k注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式,以后再介绍.utut例例3 R-L-C电路电路 如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.解:电路的电路的Kirchhoff第二定律第二
4、定律:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零.设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),则电流 经过电感L,电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律,得到,CQRIdtdIL.0)(CQRIdtdILte因为 于是得到,dtdQI.)(122dttdeLLCIdtdILRdtId这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.例例4 数学摆数学摆 数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.lm解:Newton第二定律第二定律
5、:.maF 取反时针运动方向为计量摆与铅垂线 所成的角 的正方向.则由Newton第二定律,得到摆的运动方程为.sin22lgdtd附注1:如果研究摆的微小振动,即当 比较小时,可以取 的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:sin22.dgld t附注2:假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力系数为 则摆的运动方程为:,.22lgdtdmdtd附注3:假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作用,则摆的运动方程为:).(122tFmllgdtdmdtd例例5 追击问题v 假设敌舰从原点出假设敌舰从原点出 发以发以速度速度a沿沿y轴正向行驶，同时轴正向行驶，同时有鱼雷
6、从点有鱼雷从点 出发以出发以速度速度b追击敌舰，求鱼雷的追击敌舰，求鱼雷的运动路线（称为追线）。运动路线（称为追线）。),(P000yx解:设时间设时间t，敌舰到达，敌舰到达R(0,at)，鱼雷到，鱼雷到达达P(x,y),追赶时追赶时,鱼雷总是向敌舰鱼雷总是向敌舰所在的位置方向追赶，即所在的位置方向追赶，即dt时刻时刻内，鱼雷的运动方向为内，鱼雷的运动方向为 ，设，设在时刻在时刻t+dt，鱼雷到达，鱼雷到达 则则P,P,R三点一线，如右图所示。三点一线，如右图所示。PR),(dyydxxP0 xatydxdyatydxdyx从而从而即即此为带有微分的方程此为带有微分的方程.战争分类：正规战争，
7、游击战争，混合战争战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关第一次世界大战第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型提出预测战役结局的模型例6 正规战与游击战0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为
8、甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g 取决于战争类型取决于战争类型x(t)甲方兵力，甲方兵力，y(t)乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设:)()(tvybxytuxayx,xxgbx br p 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x,y)=ay,a 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率a=ry py,ry 射击率，射击率，py 命中率命中率如正规战争：双方均以正规部队作战如正规战争：双方均以正规部队作战甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力b 甲方每个士兵的杀伤率甲方每个士兵的杀伤率v
9、事实上，很多问题的处理都归结为一个(或几个）带有微分的方程，如：传染病模型传染病模型 经济增长模型经济增长模型正规战与游击战正规战与游击战药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用人口预测和控制人口预测和控制烟雾的扩散与消失烟雾的扩散与消失万有引力定律的发现万有引力定律的发现 把联系自变量、未知函数及未知函数导数把联系自变量、未知函数及未知函数导数 （或微分）的关系式称为（或微分）的关系式称为微分方程微分方程.1.2 基本概念基本概念如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导
10、数，则称为偏微分方程偏微分方程.本书主要介绍常微分方程.有时就简称微分方程或方程.未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的方程的阶阶.定义定义1.1:例如下面的方程都是微分方程;2 .)1(xdxdy;0 .(2)ydxxdy;0 .)3(322xdtdxtxdtxd;sin35 .)4(2244txdtxddtxd.0 .)5(2222uzyxyuxu一阶常微分方程一阶常微分方程二阶常微分方程四阶常微分方程二阶偏微分方程(6)式是n阶常微分方程的一般形式（n 阶隐式方程阶隐式方程）。n 阶显式方程阶显式方程的一般形式为),()1()(nnyyyxFy0),(.)6()(nyyyxFn阶常微分方程
11、在方程(6)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y,y,的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn)(ny通解与特解通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下:定义定义1.2在区间 上连续，且有直到n阶的代入方程(6)，得到在区间 则称为方程(6)在区间 上的一个解.)(xyI)(xy导数.如果把 上关于 的恒等式,即Ix0)(,)(),(,()(nxxxxF)(xyI设函数从定义1.2可以直接验证：1.函数 是方程c
12、xy2022 xdtxdtctcxsincos21xdxdy2在区间(-，+)上的解，其中C是任意的常数.2.函数是方程和是独立的在区间(-，+)上的解，其中1c2c任意常数.3.函数 是方程nnnxcxcxcecy33221)(,0)1()(dxdyyyynn在区间(-，+)上的解，其中nccc,21是任意的常数.从上面的例子中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等（也可以不含任意常数）.把n阶常微分方程定义定义1.30),()(nyyyxF的含有n个独立的任意常数nccc,21),(21ncccxy的解称为该方程的通解通解，
13、如果方程的解不包)(xy含任意常数，则称它为特解特解.由隐式表出的通解称为通积分通积分例如 函数 是方程nnnxcxcxcecy33221)(,0)1()(dxdyyyynn在区间(-，+)上的通解，其中nccc,21是任意的常数.而 y=1而是方程的一个特解。v例 自由落体设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度 垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.0)0(vv解:如图建立坐标系.设y=y(t)为t时刻物体的位置坐标.则易得物体下落所满足的方程为y=-g （*）其中 g 是重力加速度.初值问题初值问题(*),201Hcvc这表明方程(*)有无数个解，原因是未考
14、虑初始状态。为了确定相应的运动，考虑初始条件：0)0(0)y,)0(vvHy于是，得到所要求的自由落体的运动方程为得Htvgty022121221ctcgty是通解，其中 是两个任意常数。21,cc容易验证 综上所述，自由落体的问题可归结为求如下初值问题（柯西问题（cauchy)）的解：000)(t y,)(vHtygy对于一般的n 阶方程，初值问题（柯西问题）的一般提法是：.)1(0)0()1(,0)0(,0)0()1(,()(nyxnyyxyyxynyyyxFny例 求方程的满足初值条件的解.0 yy1)4/(,1)4/(yy解:方程通解为xcxcycossin21求导数后得xcxcysincos21将初值条件代入，得到方程组122/212/2122/212/2cccc解出2,021cc故所求特解为xycos21.2 微分方程及其解的几何解释微分方程及其解的几何解释为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程的一个特解的图象是平面上的一条曲线，称为方程的积分曲线积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族积分曲线族.积分曲线族。通解积分曲线，特解线素，线素场，方向场，等斜线
