1、第九节抛物线(一)第七章平面解析几何考考 纲纲 要要 求求1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2理解数形结合的思想理解数形结合的思想.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、抛物线的定义一、抛物线的定义平面内到定点平面内到定点F的距离等于到定直线的距离等于到定直线l(定点不在定直线定点不在定直线上上)的距离的点的轨迹是抛物线其中定点叫做焦点，定直的距离的点的轨迹是抛物线其中定点叫做焦点，定直线叫做准线线叫做准线注意：注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线直线垂直
2、的一条直线二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中注意：表中各式的各式的p0)标准方程标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形图形焦点焦点F FFF准线准线x=-x=y=-y=p2p2p2p2标准方程标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py范围范围x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0对称轴对称轴x轴轴y轴轴顶点顶点(0,0)离心率离心率e=1焦半径焦半径 =+x1=+=+y1=+p2p2p2p2三、圆锥曲线的统一定义三、圆锥曲线的统一定义(属知识拓展属知识拓展)平面内到定点平面内到定点F和定直线和
3、定直线l的距离之比为常数的距离之比为常数e的点的轨迹，的点的轨迹，当当0e1时，时，轨迹为双曲线轨迹为双曲线基础自测基础自测1(2012东莞市一模东莞市一模)已知抛物线已知抛物线C的顶点为原点，焦点在的顶点为原点，焦点在x轴轴上，直线上，直线yx与抛物线与抛物线C交于交于A，B两点，若两点，若P(2,2)为为AB的中的中点，则抛物线点，则抛物线C的方程为的方程为()Ay24x By24xCx24y Dy28x解析：解析：依题意可设抛物线方程为依题意可设抛物线方程为y22px(p0)，直线，直线yx与抛物线与抛物线C交于交于A，B两点，则点两点，则点A在原点，因为在原点，因为P(2,2)为为AB
4、的中点，所以点的中点，所以点B的坐标为的坐标为(4,4)，代入抛物线方程得，代入抛物线方程得p2.故选故选A.答案：答案：A2.(2012西安市月考西安市月考)设抛物线设抛物线y2=8x上一点上一点P到到y轴的距离是轴的距离是4，则点，则点P到该抛物线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12解析：解析：据已知抛物线方程可得其准线方程为据已知抛物线方程可得其准线方程为x2，又由，又由点点P到到y轴的距离为轴的距离为4，可得点，可得点P的横坐标的横坐标xP4，由抛物线定义可，由抛物线定义可知点知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|x
5、P xP2426.故选故选B.答案：答案：Bp23若动点若动点P到点到点F(2,0)的距离与它到直线的距离与它到直线x+2=0的距离相等，的距离相等，则点则点P的轨迹方程为的轨迹方程为_解析解析：由抛物线定义知点，由抛物线定义知点，P的轨迹是以的轨迹是以F(2,0)为焦点，直线为焦点，直线x2为准线的抛物线，所以为准线的抛物线，所以p4，所以其方程为，所以其方程为y28x.答案答案：y28x4(2011厦门市模拟厦门市模拟)若抛物线若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的焦点与椭圆 =1的右焦点重合，则的右焦点重合，则p的值为的值为_解析解析：椭圆椭圆 1的右焦点为的右焦点为(2,0)，所以抛物线，
6、所以抛物线y22px的焦点为的焦点为(2,0)，则，则p4.答案答案：4考考 点点 探探 究究考点一考点一求抛物线的标准方程及准线方程求抛物线的标准方程及准线方程【例【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：抛物线的准线方程：(1)过点过点(-3,2)；(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上；上；(3)已知抛物线已知抛物线C的顶点在原点，焦点的顶点在原点，焦点F在在x轴的正半轴上，设轴的正半轴上，设A，B是抛物线是抛物线C上的两个动点上的两个动点(AB不垂直于不垂直于x轴轴)，但，但|AF|+|BF|=8，线段线段AB的
7、垂直平分线恒经过定点的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)思路点拨思路点拨：对于对于(1)与与(2)从方程形式看，求抛物线的标准从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定；从实际分析，一般需确定p和确和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论；对于定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论；对于(3)由已由已知知“抛物线抛物线C的顶点在原点，焦点的顶点在原点，焦点F在在x轴的正半轴上轴的正半轴上”，可设，可设抛物线方程为抛物线方程为y2=2px(p0)，利用抛物线的定义可解决，利用抛物线的定义可解决解析解析：(1)设所求的抛物线方程为
8、设所求的抛物线方程为y22px或或x22py(p0)，过点过点(3,2)，42p(3)或或92p2.p 或或p .所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为y2 x或或x2 y，前者的准线方，前者的准线方程是程是x ，后者的准线方程是，后者的准线方程是y .239443921398(2)令令x0得得y2，令，令y0得得x4，抛物线的焦点为抛物线的焦点为(4,0)或或(0，2)当焦点为当焦点为(4,0)时，时，4，p8，此时抛物线方程，此时抛物线方程y216x.焦点为焦点为(0，2)时，时，2，p4，此时抛物线方程为，此时抛物线方程为x28y.所求的抛物线的方程为所求的抛物线的方程为y216x或或x2
9、8y，对应的准，对应的准线方程分别是线方程分别是x4，y2.(3)设抛物线的方程为设抛物线的方程为y22px(p0)，其准线为，其准线为x .设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|BF|8，x1 x2 8，即，即x1x28p.p2p2p2p2p2Q(6,0)在线段在线段AB的中垂线上，的中垂线上，|QA|QB|，(x16)2y(x26)2y ，y 2px1，y 2px2，(x1x2)(x1x2122p)0，AB与与x轴不垂直，轴不垂直，x1x2，故故x1x2122p8p122p0，即，即p4.从而抛物线方程为从而抛物线方程为y28x，其准线方程为，其准线方程为x2.点评：点评：(1)
10、求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，再由条件确定参的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，再由条件确定参数数p的值这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为的值这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解(2)应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个如本题第依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个如本题第(3)小小题
11、根据抛物线的顶点在原点及顶点在题根据抛物线的顶点在原点及顶点在x轴设出方程，再将抛物线轴设出方程，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，产生所设方程中上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，产生所设方程中的参变量，分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进的参变量，分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进行，难度不大，但基础性较强行，难度不大，但基础性较强变式探究变式探究1.(1)设斜率为设斜率为2的直线的直线l过抛物线过抛物线y2=ax(a 0)的焦点的焦点F，且和，且和y轴交于点轴交于点A.若若OAF(O为坐标原点为坐标原点)的面积为的面积为4，则抛物线方程，则抛物线方程
12、为为()Ay2=4x By2=8xCy2=4x Dy2=8x(2)已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线轴上，抛物线过点过点(4，-2)，则抛物线的标准方程是，则抛物线的标准方程是_.解析：解析：(1)抛物线焦点抛物线焦点F坐标为坐标为 ，故直线，故直线l的方程为的方程为y2 ，它与，它与y轴交点坐标为轴交点坐标为A ，SOAF 4，得，得a264，a8，即抛物线方程为，即抛物线方程为y28x.故选故选B.(2)设抛物线方程为设抛物线方程为x22py(p0)，因抛物线过点，因抛物线过点(4，2)，422p(2)，p4.抛物线方程为抛物线方程为x28y
13、.答案：答案：(1)B(2)x28y12考点二考点二求以非标准方程形式给出的抛物线的焦求以非标准方程形式给出的抛物线的焦点坐标或准线方程点坐标或准线方程【例【例2】设设a 0，aR，则抛物线，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为的焦点坐标为()A(a,0)B(0，a)C.D随随a符号而定符号而定思路点拨思路点拨：将抛物线方程化为标准形式，对照标准方程即将抛物线方程化为标准形式，对照标准方程即可求得可求得解析解析：由由y4ax2得得x2 y，所以焦点，所以焦点F的坐标是的坐标是 .故选故选C.答案答案：C变式探究变式探究2抛物线抛物线x=ay2的焦点的焦点F是椭圆是椭圆 =1的左焦点，则的左焦点，则
14、a的的值为值为_考点三考点三利用抛物线的定义求距离和的最小值利用抛物线的定义求距离和的最小值【例【例3】设设P是抛物线是抛物线y2=4x上的一动点上的一动点(1)求点求点P到点到点A(-2,1)的距离与点的距离与点P到直线到直线x=-1的距离之和的距离之和的最小值；的最小值；(2)若若B(3,2)，求，求|PB|+|PF|的最小值的最小值思路点拨：思路点拨：由抛物线方程为由抛物线方程为y2=4x知此抛物线的焦点为知此抛物线的焦点为F(1,0)，准线是，准线是x=-1，由抛物线的定义知：点，由抛物线的定义知：点P到直线到直线x=-1的距的距离等于点离等于点P到焦点的距离于是，问题转化为：在曲线上
15、求一到焦点的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点点P，使点，使点P到点到点A(-2,1)与到点与到点F(1,0)的距离最小的问题，从而的距离最小的问题，从而获得问题的解答获得问题的解答解析解析：(1)由于由于A(-2,1)，F(1,0)，P为抛物线上任意一点，为抛物线上任意一点，则则|AP|+|PF|AF|=，从而知点，从而知点P到点到点A(-2,1)的的距离与点距离与点P到到F(1,0)的距离之和的的距离之和的最小值为最小值为 ，所以点，所以点P到点到点 A(-2,1)的距离与点的距离与点P到直线到直线x=-1的距离之和的最小值也为的距离之和的最小值也为 .(2)如图所示，自点如图所示，自点
16、B作作BQ垂直于抛物线的准线于点垂直于抛物线的准线于点Q，交，交抛物线于点抛物线于点P1，此时，此时，|P1Q|=|P1F|，那么那么|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即最小值为，即最小值为4.101010点评：点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，由于抛物线的定义在利用上有较大的灵活性，因的定义有关，由于抛物线的定义在利用上有较大的灵活性，因此，此类问题也有一定的难度本题中的两小问有一个共性，此，此类问题也有一定的难度本题中的两小问有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为都是利用
17、抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短两点间线段距离最短”，使，使问题获解问题获解变式探究变式探究3(2012泰安市月考泰安市月考)已知点已知点M是抛物线是抛物线y2=4x上的一点，上的一点，F为抛物线的焦点，为抛物线的焦点，A在圆在圆C：(x-4)2+(y-1)2=1上，则上，则|MA|+|MF|的的最小值为最小值为_.解析：解析：依题意得依题意得|MA|MF|(|MC|1)|MF|(|MC|MF|)1，由抛物线的定义知，由抛物线的定义知|MF|等于点等于点M到抛物线到抛物线x1的的准线的距离，结合图形不难得
18、知，准线的距离，结合图形不难得知，|MC|MF|的最小值等于圆的最小值等于圆心心C(4,1)到抛物线的准线到抛物线的准线x1的距离，即为的距离，即为5，因此所求的最，因此所求的最小值为小值为4.答案：答案：4 考点四考点四与焦点弦有关的问题与焦点弦有关的问题【例【例4】(2012安徽卷安徽卷)过抛物线过抛物线y2=4x的焦点的焦点F的直线交的直线交该抛物线于该抛物线于A，B两点，两点，O为坐标原点若为坐标原点若|AF|=3，则，则AOB的的面积为面积为()A.B.C.D22222点评：点评：凡涉及焦点弦的问题，往往能利用抛物线的定义来解凡涉及焦点弦的问题，往往能利用抛物线的定义来解决，因此正确
19、理解和掌握抛物线的定义和性质，将会给解题带来决，因此正确理解和掌握抛物线的定义和性质，将会给解题带来方便方便4(2011江西卷江西卷)已知过抛物线已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点弦为的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则|AB|=x1+x2+p；x1x2=，y1y2=-p2.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1.(2012四川卷四川卷)已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点原点O，并且经过点，并且经过点M(2，y0)若
20、点若点M到该抛物线焦点的距离为到该抛物线焦点的距离为3，则则|OM|=()A2 B2 C4 D2235高考预测高考预测1.(2012郑州市质量预测郑州市质量预测)如图，过如图，过抛物线抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的直线的直线l交抛交抛物线于点物线于点A，B，交其准线于点，交其准线于点C，若，若|BC|=2|BF|，且，且|AF|=3，则此抛物线方程，则此抛物线方程为为()Ay2=9xBy2=6xCy2=3xDy2=x3解析：解析：|BC|2|BF|，由抛物线的定义知由抛物线的定义知BCD30，又，又|AE|AF|3，|AC|6，即，即F为为AC的中点，的中点，p|FD|EA|.故抛物线方程为故抛物线方程为y23x.故选故选C.答案：答案：C12322(2011苏州市调研苏州市调研)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，动点中，动点P到到定点定点F 的距离与到定直线的距离与到定直线l：x=-1的距离相等的距离相等(1)求动点求动点P的轨迹的轨迹E的方程；的方程；(2)过点过点F作倾斜角为作倾斜角为45的直线的直线m交轨迹交轨迹E于点于点A，B，求，求AOB的面积的面积
